دایرهٔ محیطی، دایرهٔ محاطی، چهار ضلعی مرسوم به دایره و روابط طولی

این کارگاه برای صنف نهم است (فصل دوم، «دایرهٔ محیطی، دایرهٔ محاطی»، «خصوصیات چهار ضلعی مرسوم به دایره»، «روابط طولی در دایره» و «طاقت یک نقطه نظر به یک دایره»). نقطه‌های رنگه را می‌شود کش کرد؛ عددهای زیر شکل در همان لحظه حساب می‌شوند.

دایرهٔ محیطی مثلث از هر سه رأس می‌گذرد. مرکز آن O نقطهٔ تقاطع ناصف عمودی‌های اضلاع است، چون هر نقطهٔ ناصف عمودی از دو سر ضلع به یک فاصله است. در مثلث منفرج‌الزاویه O بیرون مثلث می‌افتد.

دایرهٔ محاطی مثلث با هر سه ضلع مماس است. مرکز آن I نقطهٔ تقاطع ناصف‌الزاویه‌های زوایاست، چون هر نقطهٔ ناصف‌الزاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است. I همیشه داخل مثلث است.

در چهار ضلعی مرسوم به دایره (چهار رأس روی یک دایره) زوایای مقابل متممه‌اند: ∠A + ∠C = ۱۸۰°. اگر دو وتر AB و CD در P یکدیگر را قطع کنند، PA×PB = PC×PD.