قضیهٔ دوجمله‌ای برای توان کسری و تقریب

در درس دوجمله‌ای، بسط دوجمله‌ای را برای توان‌های طبیعی یاد می‌گیری: (۱ + x)^۳ = ۱ + ۳x + ۳x^۲ + x^۳. همین فرمول برای توان n که کسر یا منفی باشد هم کار می‌کند، اما این بار بسط هیچ‌وقت تمام نمی‌شود.

(۱ + x)ⁿ = ۱ + nx + n(n − ۱)۲!x^۲ + …. وقتی x کوچک است، x² از x خیلی کوچک‌تر است؛ پس چند جملهٔ اول جواب نزدیک می‌دهد.

مثال: √۱/۰۴ = (۱ + ۰/۰۴)^۱۲ ≈ ۱ + ۰/۰۴۲ = ۱/۰۲. فقط با دو جمله، جواب نزدیک می‌شود: ۱/۰۲.

قاعده: وقتی n عددی طبیعی نیست، بسط فقط برای |x| < ۱ درست است. روی خط اعداد نقطه را روی جای درست بگذار، ضریب را بنویس و بازهٔ درستی بسط را رسم کن.