نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص

این کارگاه برای پایهٔ دهم است (فصل «مثلثات»، نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص).

یک مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع ۲ را با ارتفاعش نصف کن. نصفِ آن مثلث قائم‌الزاویه‌ای است با زاویه‌های ⁦۳۰، ۶۰⁩ و ۹۰ درجه؛ وترش ۲ است، ضلعِ کوتاهش ۱ و ارتفاعش با رابطهٔ فیثاغورس: √(۲^۲ − ۱^۲) = √۳. از همین مثلث: ⁦sin ۳۰° = ۱۲، cos ۳۰° = √۳۲، sin ۶۰° = √۳۲، cos ۶۰° = ۱۲⁩.

قطر یک مربع با ضلع ۱ زاویهٔ ۴۵ درجه می‌سازد و دو ضلعِ کنارش برابرند، پس tan ۴۵° = ۱ و sin ۴۵° = cos ۴۵° = √۲۲. خطی که از مبدأ می‌گذرد و با محور x زاویهٔ α می‌سازد، شیبش tanα است.

نسبت مثلثاتی به اندازهٔ زاویه متناسب نیست: sin ۶۰° دو برابرِ sin ۳۰° نیست و sin ۳۰° هم ۳۰۹۰ نیست. همیشه از مثلث بخوان. اینجا فقط زاویه‌های تند (بین ۰ و ۹۰ درجه) را در نظر می‌گیریم.