بیضوی، هایپربولا و خط نظر به آن‌ها

بیضوی محل هندسی نقاطی است که مجموع فاصله‌هایشان از دو نقطهٔ ثابت F و ⁦F′⁩ (محراق‌ها) مساوی ۲a باشد. معادلهٔ آن با مرکز در مبدأ x^۲a^۲ + y^۲b^۲ = ۱ است، با c^۲ = a^۲ − b^۲ و محراق‌های (±c,۰). اگر مرکز (h,k) باشد: (x − h)^۲a^۲ + (y − k)^۲b^۲ = ۱.

هایپربولا محل هندسی نقاطی است که تفاضل فاصله‌هایشان از دو محراق مساوی ۲a باشد. معادلهٔ آن x^۲a^۲ − y^۲b^۲ = ۱ است، با c^۲ = a^۲ + b^۲. دقت کنید: در بیضوی c از a کوچک‌تر است و در هایپربولا بزرگ‌تر. مجانب‌های آن y = ±ba(x − h) + k اند.

برای دریافت حالت نسبی یک خط با مخروطی، y را از معادلهٔ خط در معادلهٔ مخروطی بگذارید. از معادلهٔ درجهٔ دوم حاصل، ممیز (دیسکریمینانت) را بگیرید: مثبت، دو نقطهٔ تقاطع؛ صفر، مماس؛ منفی، هیچ تقاطع.