قضیه‌های دایره و قضیهٔ ناصف زاویهٔ مثلث
ثابت کنید که دو مماس از یک نقطه مساوی اند و بیاموزید که ناصف زاویهٔ مثلث ضلع مقابل را به نسبت دو ضلع دیگر تقسیم می‌کند.
- ایران: پایهٔ ۱۱
- سوریه: صنف ۱۱
- اوکراین: صنف ۸
- روسیه: صنف ۸
- آلمان: صنف ۹
- بریتانیا: سال ۱۱
رهنما
از یک نقطهٔ بیرون دایره دو مماس بر دایره رسم می‌شود. با کش کردن نقطه می‌بینید که طول دو مماس همیشه مساوی است؛ ولی اندازه کردن اثبات نیست. برای اثبات از مثلث‌های قایم‌الزاویهٔ OAP و OBP استفاده می‌کنیم: مماس بر شعاع عمود است و دو شعاع مساوی اند.
ناصف زاویهٔ A در مثلث ABC ضلع BC را در نقطهٔ D قطع می‌کند و BD : DC = AB : AC. نسبت دو قسمت ضلع مقابل با نسبت دو ضلع مجاور زاویه مساوی است؛ نه این‌که D نقطهٔ وسطی باشد.
طول ناصف از AD۲ = AB×AC − BD×DC به دست می‌آید. این مبحث در کتاب‌های درسی صنف ۹ تا ۱۲ افغانستان نیامده و برای دانش‌آموزان علاقه‌مند اضافه شده است.