از قاطع تا مماس: تعریف مشتق

خط قاطع، دو نقطهٔ P و Q نمودار را وصل می‌کند. شیب آن، آهنگ تغییر متوسط است: f(x + h) − f(x)h. وقتی Q به P نزدیک می‌شود ⁦(h → ۰)⁩، قاطع به مماس تبدیل می‌شود.

مشتق در یک نقطه، حدِ شیب قاطع‌هاست: f′(x) = lim(h→۰)f(x + h) − f(x)h. یعنی شیب مماس در آن نقطه.

اگر نمودار در یک نقطه گوشه داشته باشد، شیب از چپ و از راست فرق می‌کند و مشتق وجود ندارد.