اثبات به برهان خلف

این مبحث در هندسهٔ ۱ پایهٔ دهم («استدلال»، فصل اول، درس دوم) درس داده می‌شود. یک قضیه را می‌شود با برهان خلف ثابت کرد. اول فرض می‌کنیم حکم نادرست است («فرض کنیم چنین نیست»). از این فرض، با استدلال منطقی، به چیزی می‌رسیم که با یک اصل، یک قضیهٔ قبلی یا با فرض مسئله ناسازگار است («به تناقض رسیدیم»).

نتیجه: فرض ما نادرست بوده، پس قضیه درست است. این قضیه این‌طور ثابت می‌شود: دو خط عمود بر یک خط سوم با هم موازی‌اند. فرض کنیم a بر c عمود است و b هم بر c عمود است، ولی a و b در نقطهٔ M همدیگر را قطع می‌کنند. آن‌وقت از M دو خط می‌گذرد که هر دو بر c عمودند. این با این واقعیت ناسازگار است که از یک نقطه فقط یک خط بر خط داده‌شده عمود می‌شود.

به همین شیوه می‌شود ثابت کرد دو خط موازی با یک خط سوم با هم موازی‌اند (تناقض با اصل توازی: از نقطه‌ای خارج یک خط فقط یک خط موازی با آن می‌گذرد)، و شعاع در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است (اگر OM عمود باشد، از مایل OA بلندتر می‌شود).