نتیجه‌های قضیهٔ کسینوس‌ها

این کارگاه تکمیلی است و به «قضیهٔ کسینوس‌ها» در هندسهٔ ۲ (پایهٔ یازدهم) تکیه دارد. ضلع‌های مثلث a و b و c و زاویه‌های روبه‌رویشان α و β و γ‌اند. قضیهٔ کسینوس‌ها: a^۲ = b^۲ + c^۲ − ۲bccosα. از آن به دست می‌آید ۲bccosα = b^۲ + c^۲ − a^۲.

نتیجه. فرض کن a طول بزرگ‌ترین ضلع مثلث باشد. اگر a^۲ < b^۲ + c^۲ باشد، مثلث تندزاویه است. اگر a^۲ > b^۲ + c^۲ باشد، مثلث بازاویه (منفرجه) است. اگر a^۲ = b^۲ + c^۲ باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. دلیلش علامت کسینوس بزرگ‌ترین زاویه است: مثبت، منفی یا صفر.

مسئلهٔ ۱. مجموع مربع‌های دو قطر متوازی‌الاضلاع برابر مجموع مربع‌های هر چهار ضلع آن است: BD^۲ + AC^۲ = ۲a^۲ + ۲b^۲ که a و b دو ضلع مجاورند. برای اثبات قضیهٔ کسینوس‌ها را در مثلث‌های ABD و ACD می‌نویسیم (زاویه‌های α و ⁦۱۸۰° − α⁩) و جمع می‌کنیم.

مسئلهٔ ۲. قضیهٔ کسینوس‌ها گاهی به یک معادلهٔ درجهٔ دوم می‌رسد. ریشه‌ای که با شرط مسئله نمی‌خواند کنار گذاشته می‌شود، چون طول نمی‌تواند منفی باشد. شکل‌ها با مقیاس رسم شده‌اند: هر خانهٔ صفحه ۱ سانتی‌متر است.