جواب کلی معادله‌های مثلثاتی

این کارگاه برای پایهٔ دوازدهم است (حسابان ۲، فصل مثلثات: معادله‌های مثلثاتی). معادلهٔ cos x = b را از روی نمودار حل می‌کنیم: خط y = b وقتی نمودار کسینوس را قطع می‌کند که |b| ≤ ۱. محور x عددهای معمولی را نشان می‌دهد، پس π ≈ ۳/۱۴.

برای cos x = b با |b| ≤ ۱ اگر α زاویه‌ای در [۰,π] با cosα = b باشد، جواب‌ها x = ±α + ۲nπ با n ∈ ℤ هستند (در کتاب‌ها اغلب حرف k را به جای n می‌گذارند). حالت‌های خاص ⁦cos x = ۰، cos x = ۱⁩ و cos x = −۱ بدون ± نوشته می‌شوند.

برای sin x = b اگر α زاویه‌ای در [ − π/۲,π/۲] با sinα = b باشد، دو دسته جواب داریم: x = α + ۲nπ و x = π − α + ۲nπ. هر دو را می‌شود در یک فرمول نوشت: x = (−۱)ⁿα + nπ. برای tan x = b جواب x = α + nπ است، که در آن α زاویه‌ای با تانژانت b است؛ برای cot x = b هم همین‌طور.

وقتی معادله به یک معادلهٔ درجهٔ دوم برحسب sin x یا cos x می‌رسد، با t = sin x مقدارهای t را پیدا می‌کنیم؛ هرکدام باید در [ − ۱,۱] باشد، وگرنه جواب نداریم.