بردار در فضا: اندازه، فاصله و کسینوس‌های هادی

این کارگاه با فصل ۳ هندسهٔ ۳ دوازدهم («بردار در فضا») هماهنگ است. در دستگاه مختصات سه‌بعدی هر نقطه سه مختصات دارد و هر بردار را a = xi + yj + zk می‌نویسیم. مثلاً ۲۳۶ همان ۲i + ۳j + ۶k است.

اندازهٔ بردار قطر مکعب مستطیلی است که یال‌هایش مؤلفه‌های آن‌اند: |a| = √(x^۲ + y^۲ + z^۲). فاصلهٔ دو نقطهٔ A و B اندازهٔ بردار AB = OB − OA است و هر مختصات وسط پاره‌خط، میانگین مختصات هم‌نام دو سر است.

اگر ⁦α، β⁩ و γ زاویه‌های بردار با محورهای ⁦x، y⁩ و z باشند، کسینوس هر کدام برابر مؤلفهٔ آن محور تقسیم بر اندازهٔ بردار است. مجموع مربع‌های این سه کسینوس ۱ می‌شود. اشتباه‌های رایج: جمع مؤلفه‌ها به‌جای مربع‌ها، فراموش کردن جذر، و تفریق مختصات به ترتیب نادرست.