Иррациональные неравенства и равносильные системы

В российской программе иррациональные неравенства разбирают в 10–11 классах на профильном и углублённом уровне; на базовом уровне они не изучаются. Метод: заменить неравенство равносильной системой или совокупностью.

Неравенство √f < g равносильно системе из трёх условий: f ≥ 0 (ОДЗ), g > 0 и f < g². Неравенство √f > g распадается на две системы: либо g < 0 и f ≥ 0, либо g ≥ 0 и f > g². Решения объединяют (совокупность).

Если справа стоит число, всё проще: √f < 2 равносильно 0 ≤ f < 4. Если справа отрицательное число, а ОДЗ выполнено, то √f > −3 верно всегда.

Возведение в квадрат даёт уравнение-следствие: у него могут появиться посторонние корни, поэтому нужна проверка. Равносильный переход проверки не требует, но нужно не потерять условие ОДЗ и знак правой части.

Рисуй решение на числовой прямой. В задачах, где нужна совокупность, можно нарисовать два промежутка.