Теоремы Ролля и Лагранжа, правило Лопиталя и ряд Маклорена
Найди, где касательная горизонтальна, найди точку из теоремы Лагранжа, вычисли предел 0/0 с помощью производных и найди коэффициент ряда Маклорена для cosh x.
- Великобритания: Year 13
- Иран: 12 класс
- Афганистан: 12 класс
- Палестина: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе этой темы нет (теоремы Ролля и Лагранжа, правило Лопиталя и ряды изучают в вузе), но она продолжает тему «Производная» из 11 класса. Теорема Ролля: если f непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри него и f(a) = f(b), то где-то между a и b выполняется f′(c) = 0: касательная горизонтальна. Теорема Лагранжа: даже если значения на концах разные, где-то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды: f′(c) = f(b) − f(a)b − a.
Правило Лопиталя: если числитель и знаменатель стремятся к нулю, то предел отношения fxg(x) равен пределу отношения f′xg′(x). Производную берут отдельно у числителя и отдельно у знаменателя, а не у всей дроби.
cosh(x) = (ex + e−x) : 2 и sinh(x) = (ex − e−x) : 2 — гиперболические функции (в книгах их пишут ch x и sh x). Производная cosh(x) равна sinh(x), и наоборот. Коэффициент при xn в ряде Маклорена равен fn(0) : n!.