Эллипс, гипербола и парабола

В российской программе этой темы нет (эллипс и гипербола встречаются лишь в углублённых курсах и на кружках), но она хорошо продолжает метод координат 9 класса. Эллипс — это множество точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек F и F′ (фокусов) постоянна и равна 2a. С центром в начале координат его уравнение x²a² + y²b² = 1, причём c² = a² − b², а фокусы — (±c;0). С центром (x₀;y₀): (x − x₀)²a² + (y − y₀)²b² = 1.

Гипербола — это множество точек, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов равен 2a. Её уравнение x²a² − y²b² = 1, причём c² = a² + b². Обрати внимание: у эллипса c меньше a, у гиперболы больше. Асимптоты гиперболы: y = ±ba(x − x₀) + y₀.

Чтобы проверить, как прямая расположена относительно кривой, подставь y из уравнения прямой в уравнение кривой и найди дискриминант полученного квадратного уравнения: если он положителен, общих точек две; если равен нулю, прямая касается кривой; если отрицателен, общих точек нет.