Парабола: фокус, директриса и уравнение

В российской программе этой темы нет: в 8–9 классах параболу изучают лишь как график функции y = ax², а определение через фокус и директрису встречается в углублённых курсах. Если рассечь конус плоскостью, в сечении получится кривая, которую называют коническим сечением. Парабола, эллипс и гипербола — конические сечения, и каждую можно задать расстояниями до данных точек или прямой.

Парабола — это множество точек, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой D (директрисы): MF = MK. Если вершина в начале координат, а фокус F(p;0), то директриса — прямая x = −p, а уравнение параболы y² = 4px (в учебниках аналитической геометрии его чаще пишут как y² = 2p₁x, где p₁ = 2p — расстояние от фокуса до директрисы).

С вершиной S(x₀;y₀) и ветвями вверх или вниз уравнение имеет вид (x − x₀)² = 4p(y − y₀); фокус — F(x₀;y₀ + p), директриса — y = y₀ − p. Если p положительно, ветви направлены вверх.