Квадратные уравнения и многочлены с комплексными корнями
Пойми, почему уравнение x² + 4x + 13 = 0 не имеет действительных корней, решай уравнения с комплексными корнями, отмечай корни на плоскости и находи недостающий корень кубического многочлена.
- Россия: 11 класс
- Франция: 12 класс
- Великобритания: Year 12
- Афганистан: 10 класс
- Сирия: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе комплексные числа изучают только на углублённом уровне, в 11 классе, но тема прямо продолжает квадратные уравнения 8 класса. Уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет действительные корни, только если дискриминант b2 − 4ac равен нулю или положителен. Если он отрицателен, квадратный корень из отрицательного числа равен i, умноженному на действительное число, поэтому корни комплексные: √(−16) = 4i.
Корни находят по формуле x = −b±√(b2 − 4ac)2a. Когда дискриминант отрицателен, оба корня имеют одинаковую действительную часть −b2a и противоположные мнимые части: они сопряжённые, то есть симметричные относительно действительной оси.
То же верно для любого многочлена с действительными коэффициентами: комплексные корни идут парами сопряжённых чисел.