Камангир

Размещения и группы: перестановки и сочетания

Вырасти дерево вариантов, чтобы посчитать, кто может занять первое и второе места, выстраивай друзей в ряд, а потом пойми, почему группы людей считают реже, чем упорядоченные наборы.

Подсказки для взрослых

В российской программе перестановки, факториал, число сочетаний и треугольник Паскаля входят в раздел «Элементы комбинаторики» 10 класса (на углублённом уровне эта тема есть уже в 9 классе). Здесь мы знакомимся с ними на деревьях вариантов, как в задачах на перебор, и с факториалом n!; сочетание — это выбор k элементов из n, когда порядок не важен. После деревьев мы вводим обозначения из учебников: Pₙ = n!, Aₙᵏ и Cₙᵏ.

Ветвь дерева — это выбор, а путь от начала до конца — один упорядоченный набор. Когда человека уже выбрали, его нельзя выбрать снова, поэтому на следующем шаге ветвей на одну меньше.

Типичные ошибки, над которыми мы здесь работаем: складывать шаги (4 + 3) вместо того чтобы умножать, брать одного человека дважды, считать группу людей отдельно для каждого порядка и делить на 3 вместо 3!.