Графики функций y = ⁿ√x и степени с рациональным показателем
Сравни графики ³√x, ⁴√x и √x, найди область определения корня n-й степени и степени с рациональным показателем и сравнивай числа с помощью монотонности.
- Россия: 10 класс
- Украина: 10 класс
- Германия: 9 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе корень n-й степени как функция и степень с рациональным показателем изучают в 10–11 классах (алгебра и начала анализа). Арифметический корень n-й степени из a записывают ⁿ√a. Функция y = ²ᵏ⁺¹√x определена на всей числовой прямой: её график проходит через начало координат, функция нечётная и возрастает на ℝ, D(y) = ℝ, E(y) = ℝ.
Функция y = ²ᵏ√x определена на [0; +∞): D(y) = [0; + ∞), E(y) = [0; + ∞), она возрастает, не является ни чётной, ни нечётной, и её график начинается в точке (0; 0).
Функция y = xr, r ∈ ℚ, — степенная функция с рациональным показателем. Если несократимая дробь mn положительна, область определения — [0; +∞); если отрицательна, область определения — (0; +∞).
Возрастающую функцию используют для сравнения: для неотрицательных a и b из a < b следует ⁿ√a < ⁿ√b.