Теоремы об окружности и о биссектрисе угла
Докажи, что две касательные из одной точки равны, и узнай, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении двух других сторон.
- Россия: 8 класс
- Украина: 8 класс
- Германия: 9 класс
- Великобритания: Year 11
- Иран: 11 класс
- Сирия: 11 класс
Подсказки для взрослых
О равенстве отрезков касательных, проведённых из одной точки, говорят в 7–8 классах (окружность и касательная). Из точки вне окружности можно провести две касательные. Если двигать точку, видно, что длины касательных всегда равны; но измерение — ещё не доказательство. Для доказательства берут прямоугольные треугольники OAP и OBP: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а два радиуса равны.
Окружность, вписанная в угол, касается обеих его сторон, а её центр лежит на биссектрисе этого угла: он равноудалён от сторон угла. Поэтому отрезки касательных от вершины угла до точек касания равны.
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает BC в точке D, и BD : DC = AB : AC. Отношение двух частей противоположной стороны равно отношению двух прилежащих к углу сторон; D не обязательно середина. В российской программе отдельной теоремы о биссектрисе нет, но её доказывают через подобие треугольников (8 класс).
Длину биссектрисы можно найти по формуле AD2 = AB·AC − BD·DC.