Перпендикуляр и наклонная, угол между прямой и плоскостью, двугранный угол

В российской программе эти темы изучают в 10 классе (геометрия, стереометрия): «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью», «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей». Здесь работаем так, как в школьном учебнике: через проекцию и линейный угол, без векторов и координат.

Тело везде — прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁: его нижнее основание ABCD, верхнее A₁B₁C₁D₁. Буквы на рисунке подписаны у отмеченных отрезков. Поверни тело и убедись, где в пространстве прямой угол, а где он только кажется прямым.

Перпендикуляр, наклонная, проекция: перпендикуляр — это отрезок, опущенный из точки на плоскость; наклонная — отрезок, проведённый из точки к плоскости (не перпендикулярный ей); проекция наклонной — отрезок между основанием перпендикуляра и концом наклонной. Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость; если точка принадлежит плоскости, расстояние равно нулю. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — расстояние от любой точки прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями — расстояние от любой точки одной плоскости до другой.

Угол φ между прямой и плоскостью: если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то φ = 0°; если прямая перпендикулярна плоскости, то φ = 90°; в остальных случаях φ — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Всегда 0° ≤ φ ≤ 90°. Угол между двумя параллельными плоскостями равен 0°. Двугранный угол измеряется своим линейным углом; угол между пересекающимися плоскостями не больше 90°.

Частые ошибки: складывают перпендикуляр и проекцию вместо теоремы Пифагора, принимают за угол между прямой и плоскостью угол в основании, а не угол между наклонной и её проекцией, считают плоскости перпендикулярными только потому, что они пересекаются.