Многогранники, развёртки и кратчайшие пути

По российской программе тема изучается в 10 классе, в разделе «Многогранники»: многогранник, выпуклые и невыпуклые многогранники, развёртка. Кратчайшие пути на поверхности многогранника и теорема Эйлера относятся к углублённому уровню.

Многогранник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани; тогда отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит в многограннике. Для выпуклого многогранника В − Р + Г = 2 (В — вершины, Р — рёбра, Г — грани).

Развёртка — плоская фигура из граней, из которой можно склеить поверхность многогранника. Чтобы найти кратчайший путь по поверхности, разверни нужные грани в одну плоскость: кратчайшим путём будет отрезок прямой.

Частые ошибки: думать, что любая призма выпуклая, терять «2» в формуле Эйлера и идти по рёбрам вместо прямой на развёртке.