Правильные многоугольники и вневписанная окружность треугольника
Найди сторону и апофему правильного многоугольника по радиусу описанной или вписанной окружности, а также радиус вневписанной окружности треугольника.
- Россия: 9 класс
- Украина: 9 класс
Подсказки для взрослых
Правильные многоугольники изучают в 9 классе (геометрия): около правильного многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность, и у этих окружностей общий центр. Пусть R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности (апофема), n — число сторон.
Тогда an = 2Rsin(180°/n), r = Rcos(180°/n), а через r сторона равна an = 2rtg(180°/n). Площадь S = 12Pr, где P — периметр.
Вневписанная окружность треугольника касается одной стороны и продолжений двух других. Вневписанные окружности в базовую программу не входят, но встречаются в углублённом курсе и в олимпиадных задачах. Её радиус ra = Sp − a, где S — площадь, p — полупериметр, a — сторона, которой окружность касается.
Чертежи выполнены в масштабе: 1 клетка равна 1 см.