Свойства корня, степени с рациональным показателем, иррациональные уравнения

В российской программе корень n-й степени и степень с рациональным показателем изучают в 9 классе, а иррациональные уравнения — в 10 классе (алгебра и начала анализа).

Корень из степени. Для любого n: ⁿ√aⁿ = a для нечётного n и ⁿ√aⁿ = |a| для чётного n; например, √((−3)²) = |−3| = 3, а не −3. Для a ≥ 0, b > 0, n, k ∈ ℕ, n > 1, k > 1: ⁿ√(a : b) = ⁿ√a : ⁿ√b, ⁿ√(ᵏ√a) = ⁿᵏ√a, (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ). Множитель можно внести под знак корня: a · ⁿ√b = ⁿ√(aⁿ · b), и вынести из-под знака корня: ³√250 = ³√(125 · 2) = 5 · ³√2. Чтобы сравнить корни разных степеней, приведи их к общему показателю корня.

Для a > 0: a^mn = n√(a^m) = (n√a)^m, и для таких степеней действуют те же свойства, что и для степеней с целым показателем: a^p·a^q = a^{p + q}, a^p : a^q = a^{p − q}, (a^p)^q = a^pq, (ab)^p = a^p·b^p.

Возведение обеих частей уравнения в чётную степень даёт уравнение-следствие. Решив его, обязательно сделай проверку: подставь найденные корни в данное уравнение, так как среди них могут быть посторонние корни. При возведении обеих частей в нечётную степень получаем равносильное уравнение. Другой способ — метод замены переменной.