Дисперсия случайной величины, геометрическое распределение и неравенство Чебышёва
Вычисляй дисперсию по таблице распределения, находи дисперсию суммы независимых величин, считай вероятность «до первого успеха» и оценивай отклонение от среднего по неравенству Чебышёва.
- Россия: 10 класс
- Франция: 11 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе дисперсию случайной величины, свойства математического ожидания и дисперсии, геометрическое и биномиальное распределения изучают в курсе «Вероятность и статистика» 9–10 классов (на углублённом уровне), а неравенство Чебышёва и теорему Бернулли — в 11 классе (углублённый уровень). Для базового курса это дополнение.
Дисперсия показывает, насколько значения случайной величины разбросаны вокруг математического ожидания: D(X) = M(X²) − (M(X))². Для независимых величин D(X + Y) = D(X) + D(Y), а постоянный множитель выносится в квадрате: D(aX) = a²·D(X). Для числа успехов в n испытаниях Бернулли M(X) = np, D(X) = npq, где q = 1 − p.
Если испытания повторяют до первого успеха (геометрическое распределение), то P(X = k) = qk − 1·p. Неравенство Чебышёва: P(|X − M(X)| ≥ ε) ≤ D(X) : ε². Оно даёт оценку сверху для любого распределения. Частые ошибки: забывают вычесть квадрат ожидания, не возводят множитель в квадрат, умножают вероятности вместо сложения дисперсий.