Следствия из теоремы косинусов
Вид треугольника по его наибольшей стороне (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), сумма квадратов диагоналей параллелограмма и задача о сторонах AB и BC. Тема из курса геометрии 9 класса: «Теорема косинусов».
- Россия: 9 класс
- Украина: 9 класс
- Германия: 9 класс
- Франция: 11 класс
- Сирия: 11 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе теорему косинусов изучают в 9 классе (геометрия, раздел «Решение треугольников»). Стороны треугольника обозначают a, b, c, а противолежащие им углы — α, β, γ. Теорема косинусов: a2 = b2 + c2 − 2bccosα. Отсюда 2bccosα = b2 + c2 − a2.
Следствие из теоремы косинусов. Пусть a — длина наибольшей стороны треугольника. Если a2 < b2 + c2, треугольник остроугольный. Если a2 > b2 + c2, треугольник тупоугольный. Если a2 = b2 + c2, треугольник прямоугольный. Причина — знак косинуса наибольшего угла: он положительный, отрицательный или равен нулю.
Задача 1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2, где a и b — соседние стороны. Её доказывают так: записывают теорему косинусов для треугольников ABD и ACD (углы α и 180° − α) и складывают равенства.
Задача 2. Теорема косинусов может привести к квадратному уравнению. Корень, который не подходит по условию (длина не может быть отрицательной), отбрасывают. Решение записывают по образцу: «Дано», «Найти», «Решение», «Ответ». Треугольники нарисованы в масштабе: 1 клетка на поле равна 1 см.