Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Прямая в пространстве задаётся точкой и направляющим вектором, а плоскость — точкой и вектором нормали. Запиши их уравнения и проверь, какие точки им принадлежат.
- Россия: 11 класс
- Германия: 12 класс
- Франция: 11 класс
- Великобритания: Year 13
- Иран: 12 класс
- Сирия: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе отдельной темы «уравнения прямой и плоскости в пространстве» нет: в 11 классе изучают координаты точек и векторов в пространстве и скалярное произведение, а уравнения плоскости и прямой разбирают в углублённом курсе и в профильных классах. Поэтому тема нужна ученикам, которые уже знакомы с векторами в пространстве. Прямую записывают так: r⃗ = a⃗ + td⃗, где a⃗ — радиус-вектор точки прямой, d⃗ — направляющий вектор, t — любое действительное число. Каждому значению t соответствует одна точка прямой.
Плоскость задают одной её точкой и вектором нормали n⃗, перпендикулярным плоскости. Точка P лежит в плоскости, если вектор от заданной точки до P перпендикулярен n⃗, то есть n⃗·r⃗ = n⃗·a⃗. В координатах: Ax + By + Cz = D, где {A; B; C} — координаты вектора n⃗.
Типичные ошибки: начинают с точки B вместо точки A, теряют минусы у координат и складывают координаты вместо того, чтобы умножать их в скалярном произведении.