Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Любой вектор на плоскости можно составить из двух неколлинеарных векторов: p = xa + yb. Построй части разложения на сетке, найди коэффициенты, разложи вектор AM в параллелограмме и найди длину проекции вектора.
- Россия: 9 класс
Подсказки для взрослых
По российской программе разложение вектора по двум неколлинеарным векторам изучают в 9 классе (геометрия, глава «Векторы», Атанасян). Проекцию вектора на вектор и скалярное произведение в школьной программе берут на углублённом уровне; задание о проекции здесь относится к нему.
Теорема: если векторы a и b не коллинеарны, то любой вектор p можно записать единственным образом как p = xa + yb. Числа x и y называют коэффициентами разложения (координатами в базисе). Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, и из них не получится ничего, кроме векторов того же направления.
Чтобы найти x и y, сравнивают координаты: из p = xa + yb получается система двух уравнений. В задачах на параллелограмм поступают иначе: выражают нужный вектор через два вектора, выходящих из одной вершины, например AM = AB + BM. Частая ошибка — взять половину стороны за целую, и ещё одна — перепутать знак коэффициента при b.
Длина проекции вектора a на вектор b равна (a·b) : |b|: скалярное произведение, делённое на длину b. Не забудь разделить на |b|.