Векторы в пространстве: длина, расстояние и направляющие косинусы
Вектор в пространстве — диагональ прямоугольного параллелепипеда. По координатам найди длину вектора, расстояние между двумя точками, середину отрезка и косинусы углов с осями.
- Россия: 11 класс
- Украина: 10 класс
- Германия: 12 класс
- Франция: 8 класс
- Великобритания: Year 12
- Иран: 12 класс
- Афганистан: 11 класс
- Сирия: 12 класс
- Палестина: 11 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе координаты вектора в пространстве и простейшие задачи на них изучают в 11 классе (геометрия); на углублённом уровне векторы в пространстве начинают уже в 10 классе. В пространственной системе координат у каждой точки три координаты, а вектор записывают так: a = xi + yj + zk или a⃗{x; y; z}. Например, {2; 3; 6} — это 2i + 3j + 6k.
Длина вектора — диагональ прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны координатам: |a| = √(x2 + y2 + z2). Расстояние между точками A и B — длина вектора AB = OB − OA, а каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Если α, β и γ — углы вектора с осями Ox, Oy и Oz, то косинус каждого угла равен координате вдоль этой оси, делённой на длину вектора. Сумма квадратов трёх косинусов равна 1. Типичные ошибки: складывают сами координаты вместо их квадратов, забывают извлечь корень, вычитают координаты в неправильном порядке.