Числові нерівності та їхні властивості

У 9 класі (алгебра, §1–3) числові нерівності починають із різниці: число a більше за число b, якщо різниця a − b додатна, і менше, якщо ця різниця від'ємна. Для будь-яких чисел a і b справджується одне й лише одне співвідношення: a > b, a < b або a = b.

Вислів «не більше» записують знаком ⩽, а «не менше» — знаком ⩾.

Тому порівняти два числа означає знайти знак їхньої різниці. Так само доводять нерівності: різницю перетворюють так, щоб було видно її знак.

Теореми: якщо a > b і b > c, то a > c. Якщо a > b, то a + c > b + c. Якщо a > b і c > 0, то ac > bc, а якщо c < 0, то ac < bc. Доведення: (a + c) − (b + c) = a − b, а це додатне число. Аналогічно: якщо a < b і b < c, то a < c.

Нерівності a > b і c > d називають нерівностями однакового знака. Їх можна додавати почленно: a + c > b + d. Якщо всі числа додатні, їх можна й множити почленно: ac > bd. Так оцінюють значення виразу. Але якщо числа можуть бути від'ємними, множити почленно не можна: −2 > −3 і 4 > 1, проте −8 > −3 неправильно. Наслідок: якщо a > b > 0, то aⁿ > bⁿ.