Похідні синуса, показникової, логарифмічної та оберненої функцій
Перевір похідну sin x поблизу нуля, проведи дотичну до ex, використай ln x як дзеркальне відображення ex, щоб знайти його похідну, і застосуй правило оберненої функції до arctg.
- Україна: 11 клас
- Росія: 11 клас
- Франція: 11 клас
- Велика Британія: Year 12
- Іран: 12 клас
- Афганістан: 12 клас
- Сирія: 11 клас
- Палестина: 12 клас
Поради для дорослих
В українській програмі похідні sin x і cos x вивчають у 10 класі, а похідні показникової та логарифмічної функцій — у 11 класі (§ 8 підручника алгебри). Похідної функції arctg x у програмі немає, але вона випливає з правила оберненої функції. (sin x)′ = cos x і (cos x)′ = −sin x. Поблизу 0 крива sin x майже збігається з прямою y = x, тому її кутовий коефіцієнт там дорівнює 1, тобто cos 0.
(ex)′ = ex: у кожній точці кутовий коефіцієнт кривої дорівнює її висоті. ln x — функція, обернена до ex, і (ln x)′ = 1x. Для довільної основи a > 0: (ax)′ = axln a і (logₐx)′ = 1xlna; зокрема (ln x)′ = 1x.
Якщо f(a) = b, то похідна оберненої функції в точці b дорівнює (f−1)′(b) = 1f′(a). Графік оберненої функції симетричний графіку f відносно прямої y = x, тому кутові коефіцієнти обертаються.