План дослідження функції і побудова графіка

В Україні це тема 10 класу (алгебра і початки аналізу, § 3, пункт 25 «Побудова графіків функцій»). Дослідження функції проводять за планом: 1) область визначення; 2) парність; 3) нулі; 4) проміжки зростання і спадання; 5) точки екстремуму; 6) інші особливості функції. За цими даними будують графік.

Приклад із підручника: f(x) = (32)x² − (14)x³. Область визначення: D(f) = ℝ. Функція не є ні парною, ні непарною. Нулі: x²(32 − x4) = 0, тобто x = 0 і x = 6. Похідна: f′(x) = (3x4)(4 − x); знак f′ змінюється з «−» на «+» у точці 0 і з «+» на «−» у точці 4. Отже, x_min = 0, x_max = 4. Маємо: f(4) = 8, f(0) = 0.

Для парної функції графік симетричний відносно осі y, для непарної — відносно початку координат; тому достатньо дослідити функцію при x ⩾ 0.