Теорема Ролля, правило Лопіталя і ряд Маклорена
Знайди, де дотична горизонтальна, знайди точку з теореми про середнє значення, обчисли границю 0/0 за допомогою похідних і знайди коефіцієнт ряду Маклорена для cosh x.
- Велика Британія: Year 13
- Іран: 12 клас
- Афганістан: 12 клас
- Палестина: 12 клас
Поради для дорослих
В українській програмі рівня стандарту цієї теми немає (теореми Ролля й Лагранжа, правило Лопіталя та ряди вивчають у профільних класах і в університеті), але ідея з'єднує теми про похідну. Теорема Ролля: якщо f неперервна й диференційовна та f(a) = f(b), то десь між a і b виконується f′(c) = 0: дотична горизонтальна. Теорема Лагранжа (про середнє значення): навіть якщо значення на кінцях різні, десь кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює кутовому коефіцієнту хорди: f′(c) = f(b) − f(a)b − a.
Правило Лопіталя: якщо чисельник і знаменник прямують до нуля, то границя відношення fxg(x) дорівнює границі відношення f′xg′(x). Знаходь похідну чисельника і знаменника окремо, а не всього дробу.
cosh(x) = (ex + e−x) : 2 і sinh(x) = (ex − e−x) : 2 — гіперболічні функції (у деяких книгах позначення ch x і sh x). Похідна cosh(x) дорівнює sinh(x), і навпаки. Коефіцієнт при xn у ряді Маклорена дорівнює fn(0) : n!.