Основна логарифмічна тотожність, нова основа, властивості логарифмічної функції
Обчисли значення виразів за основною логарифмічною тотожністю, перейди до нової основи й порівняй логарифми з основою між 0 і 1. Розділ: 11 клас, алгебра, §4–5 (логарифм, його властивості, логарифмічна функція); логарифмічні рівняння — в іншій студії.
- Україна: 11 клас
- Росія: 11 клас
Поради для дорослих
В українській програмі це 11 клас, алгебра: §4 «Логарифм і його властивості» та §5 «Логарифмічна функція та її властивості». Логарифм числа b за основою a — це показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. Десятковий логарифм пишуть lg b.
Як і в студії про закони логарифмів, логарифм читаємо з графіка показникової функції: log₂32 = 5, бо 25 = 32. Позначені точки допоможуть. Означення: логарифмом додатного числа b за основою a (a > 0, a ≠ 1) називають показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. Основна логарифмічна тотожність: alogₐb = b. Також logₐ 1 = 0 і logₐ a = 1. Десятковий логарифм lg b = log₁₀ b, і 10lg b = b.
Властивості функції y = logₐx: область визначення D(f) = (0; +∞), область значень E(f) = ℝ; єдиний нуль x = 1. Якщо a > 1, функція зростає, y < 0 на (0; 1) і y > 0 на (1; +∞). Якщо 0 < a < 1, функція спадає, y < 0 на (1; +∞) і y > 0 на (0; 1). Функція диференційовна в кожній точці області визначення.
Часті помилки: додають замість множити степені, забувають, що основа теж може бути степенем, і вважають, що логарифмічна функція завжди зростає.