Аксіоми, відрізки і теореми

В українській програмі ці теми вивчають у 7 класі (геометрія, §§ 1, 2, 6 і 12): точки та прямі, відрізок і його довжина, аксіоми, теореми.

Точка — найпростіша геометрична фігура. Точки позначають великими, а прямі — малими латинськими літерами. Точка A належить прямій a (лежить на прямій a), а пряма a проходить через точку A.

Твердження, які приймають без доведення, називають аксіомами; у підручнику геометрії їх зібрано в систему. Перша аксіома: через будь-які дві точки проходить пряма, і до того ж лише одна. З неї доводять теорему: будь-які дві різні прямі або не мають спільних точок, або мають тільки одну спільну точку.

Означення. Два відрізки називають рівними, якщо їх можна сумістити накладанням: AB = CD. Довжину відрізка вимірюють одиничним відрізком; відстань між точками A і B — це довжина відрізка AB. Якщо точка C лежить між A і B (C — внутрішня точка відрізка), то AB = AC + CB. Середина відрізка — точка M, для якої AM = MB, і тоді AM = AB : 2.

Аксіоми довжини й кута: кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль; кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль, а розгорнутий кут дорівнює 180°. Якщо промінь OC лежить усередині кута AOB, то ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Від будь-якого променя в задану півплощину можна відкласти кут із даною градусною мірою, меншою від 180°, і до того ж тільки один.

Теорема — твердження, правильність якого доводять. У ній є умова (те, що дано) і висновок (те, що треба довести). Теорема, у якої умова і висновок поміняні місцями, — обернена до даної. Обернене твердження не завжди правильне. Розрізняють теореми-властивості (теорема про прямі, що перетинаються; теорема про рівнобедрений трикутник) і теореми-ознаки (теорема — ознака рівності трикутників).

Якщо правильні і теорема, і обернена до неї, то умова — необхідна і достатня для висновку. Перетягуй точки на рисунку, щоб побачити, що залишається правильним завжди.