Теореми Чеви, Менелая, Птолемея і пряма Ейлера
Додаткові історії з геометрії 8 класу: коли три чевіани перетинаються в одній точці, коли три точки лежать на одній прямій, добуток діагоналей вписаного чотирикутника й пряма Ейлера.
- Україна: 8 клас
- Росія: 9 клас
Поради для дорослих
Ці теореми є в підручнику геометрії 8 класу як додаткове читання («оповідання»). Відрізки AA₁, BB₁, CC₁, що сполучають вершини трикутника ABC з точками A₁, B₁, C₁ на протилежних сторонах, називають чевіанами.
Теорема Чеви. Для того щоб чевіани AA₁, BB₁ і CC₁ трикутника ABC перетиналися в одній точці, необхідно й достатньо, щоб виконувалася рівність (AC₁ : C₁B) · (BA₁ : A₁C) · (CB₁ : B₁A) = 1. Теорема Менелая: для того щоб точки A₁, B₁, C₁, дві з яких на сторонах трикутника, а третя на продовженні сторони, лежали на одній прямій, необхідно й достатньо виконання тієї самої рівності.
Теорема Птолемея. Добуток діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін: AB · DC + BC · AD = BD · AC.
Пряма Ейлера. Ортоцентр H — точка перетину прямих, що містять висоти трикутника; центроїд M — точка перетину його медіан. У будь-якому трикутнику центр O описаного кола, центроїд M і ортоцентр H лежать на одній прямій, і при цьому HM = 2MO.