Камангір

Кути при паралельних прямих

Рухай і повертай дві паралельні прямі та січну: подивися, які кути завжди залишаються рівними, які в сумі дають 180° і що відбувається, коли прямі не паралельні. Потім за допомогою паралельної прямої покажи, чому сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Поради для дорослих

За українською програмою це 7 клас, курс геометрії: кути, утворені при перетині двох прямих січною, ознаки та властивості паралельних прямих, сума кутів трикутника. Кольорові точки можна перетягувати; порожнє кільце повертає січну. Під рисунком кути показуються в реальному часі.

Означення. Дві прямі на площині називають паралельними, якщо вони не перетинаються. Прямі AB і CD паралельні (AB ∥ CD), а пряма EF їх перетинає: EF — січна. Чотири кути біля точки E позначено числами від 1 до 4, а чотири кути біля F — від 5 до 8 (1 ліворуч угорі, далі за годинниковою стрілкою). Теорема: дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні (a ⊥ c, b ⊥ c ⇒ a ∥ b). Якщо два відрізки лежать на паралельних прямих, їх теж називають паралельними: AB ∥ CD.

Зсунь AB вниз без повороту, доки вона не ляже на CD: кут 2 точно збіжиться з кутом 6, отже, вони рівні (відповідні кути). Кути 4 і 6 теж рівні (внутрішні різносторонні кути). Кути 4 і 5 лежать між прямими по один бік від січної — це внутрішні односторонні кути: вони не рівні, а в сумі дають 180°.

Ці властивості справджуються, лише якщо прямі справді паралельні. Правильне й обернене твердження (ознака паралельних прямих): якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні (або відповідні) кути рівні, то прямі паралельні. Маленькі стрілки на прямих з'являються, лише поки прямі справді паралельні. Третя ознака: якщо внутрішні односторонні кути в сумі дають 180°, то прямі паралельні.

Аксіома паралельності: через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Наслідки з теореми: якщо a ∥ c і b ∥ c, то a ∥ b; якщо a ∥ b і c ⊥ a, то c ⊥ b.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Наслідок: у трикутнику не може бути двох тупих або двох прямих кутів, принаймні два кути гострі; кут при основі рівнобедреного трикутника завжди гострий.