Перпендикуляр і похила, кут між прямою та площиною, двогранний кут

В українській програмі це 10 клас, геометрія: §35 «Перпендикуляр і похила», §36 «Кут між прямою та площиною», §37 «Двогранний кут. Кут між площинами». Тут працюємо так, як у підручнику: через проекцію й лінійний кут, без векторів і координат.

Тіло скрізь — прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁: його нижня основа ABCD, верхня A₁B₁C₁D₁. Літери на малюнку підписані біля позначених відрізків. Оберни тіло й переконайся, де в просторі прямий кут, а де він лише здається прямим.

Перпендикуляр, похила, проекція: перпендикуляр — це відрізок, опущений з точки на площину; похила — відрізок, проведений з точки до площини (не перпендикулярний до неї); проекція похилої — відрізок між основою перпендикуляра й кінцем похилої. Відстань від точки до площини — довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину; якщо точка належить площині, відстань дорівнює нулю. Відстань від прямої до паралельної їй площини — відстань від будь-якої точки прямої до площини. Відстань між паралельними площинами — відстань від будь-якої точки однієї площини до другої.

Кут φ між прямою та площиною: якщо пряма паралельна площині або належить їй, то φ = 0°; якщо пряма перпендикулярна до площини, то φ = 90°; в інших випадках φ — це кут між прямою та її проекцією на площину, наприклад ∠MAH. Завжди 0° ⩽ φ ⩽ 90°. Також прийнято говорити, що пряма утворює кут φ з площиною. Кут між двома паралельними площинами дорівнює 0°. Двогранні кути бувають гострі, прямі, тупі й розгорнуті; кут між площинами, що перетинаються, не більший за 90°.

Часті помилки: додають перпендикуляр і проекцію замість теореми Піфагора, беруть за кут між прямою та площиною кут в основі, а не кут між похилою та її проекцією, вважають, що площини перпендикулярні лише тому, що перетинаються.