Теорема Піфагора і обернена теорема
Побудуй квадрати на сторонах прямокутного трикутника і порівняй їхні площі, зрозумій за допомогою чотирьох однакових трикутників, чому теорема правильна, знайди невідому сторону, перевір за оберненою теоремою, чи прямий кут, і познач √2 на числовій прямій циркулем.
- Україна: 8 клас
- Росія: 8 клас
- Німеччина: 8 клас
- Франція: 8 клас
- Велика Британія: Year 9
- Іран: 8 клас
- Афганістан: 8 клас
- Сирія: 8 клас
- Палестина: 6 клас
Поради для дорослих
За українською програмою це 8 клас, курс геометрії: теорема Піфагора в розділі «Розв'язування прямокутних трикутників». Квадратні корені вивчають в алгебрі 8 класу. Теорему, обернену до теореми Піфагора, у підручнику 8 класу окремо не формулюють, але її легко пояснити, і вона знадобиться в задачах. Піфагор — давньогрецький учений (VI ст. до н. е.); твердження теореми було відоме задовго до нього.
У прямокутному трикутнику сторона, що лежить проти прямого кута, — гіпотенуза, і вона завжди найдовша; дві інші сторони — катети. Побудуй квадрат на кожній стороні: площа квадрата на гіпотенузі дорівнює сумі площ двох інших квадратів. Для катетів a і b та гіпотенузи c: a2 + b2 = c2. Теорема Піфагора (теорема 16.1): у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Звідси c = √(a2 + b2), a = √(c2 − b2), b = √(c2 − a2). Гіпотенуза більша за будь-який із катетів: c > a, c > b. У підручнику теорему доводять через метричні співвідношення (теорема 15.1): додають рівності a2 = ac·c і b2 = bc·c.
Увага: самі сторони не додаються. Гіпотенуза коротша за суму катетів (3 + 4 ≠ 5), а квадрати додаються: 9 + 16 = 25. Щоб знайти гіпотенузу, додай квадрати катетів і добудь квадратний корінь; щоб знайти катет, відніми від квадрата гіпотенузи квадрат відомого катета.
Правильна й обернена теорема: якщо квадрат найдовшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших, то трикутник прямокутний, і прямий кут лежить проти найдовшої сторони. Так можна перевірити, чи прямий кут, без транспортира.