Властивості кореня, степені з раціональним показником, ірраціональні рівняння

В українській програмі це 10 клас, алгебра і початки аналізу, § 1: пункти 5 «Властивості кореня n-го степеня», 6 «Степінь із раціональним показником» і 7 «Ірраціональні рівняння».

Теорема про корінь зі степеня. Для будь-якого n корінь із степеня: ⁿ√aⁿ = a для непарного n і ⁿ√aⁿ = |a| для парного n; наприклад, √((−3)²) = |−3| = 3, а не −3. Для a ⩾ 0, b > 0, n, k ∈ ℕ, n > 1, k > 1: ⁿ√(a : b) = ⁿ√a : ⁿ√b, ⁿ√(ᵏ√a) = ⁿᵏ√a, (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ). Множник можна внести під знак кореня: a · ⁿ√b = ⁿ√(aⁿ · b), і винести з-під знака кореня: ³√250 = ³√(125 · 2) = 5 · ³√2. Щоб порівняти корені різних степенів, приведи їх до спільного показника кореня.

Для a > 0: a^mn = n√(a^m) = (n√a)^m, і для таких степенів діють ті самі властивості, що й для степенів із цілим показником: a^p·a^q = a^{p + q}, a^p : a^q = a^{p − q}, (a^p)^q = a^pq, (ab)^p = a^p·b^p.

Піднесення обох частин рівняння до парного степеня дає рівняння-наслідок. Розв'язавши його, обов'язково виконай перевірку: підстав знайдені корені в дане рівняння, бо серед них можуть бути сторонні корені. При піднесенні обох частин до непарного степеня дістаємо рівносильне рівняння. Інший спосіб — метод заміни змінної.