المستكشف
كل المختبرات، من الأسهل إلى الأصعب.
الأعداد والقيمة المنزلية
- العد والمقارنة حتى ١٠ضع تفاحة مقابل كل مكان، وعُدّ وقارن. ثم تعرّف على الإشارات <، > و=.
- الأعداد حتى ٢٠: عشرة وبعض الآحاداقرأ الأعداد من ١٠ إلى ٢٠ وابنِها بإطارَي عشرة. واحد أكثر، والعدد الذي بين عددين، والأول والثاني والثالث.
- مستقيم الأعداد والعد التجاوزيجد الأعداد على مستقيم الأعداد، وعُدّ اثنين اثنين وخمسة خمسة وعشرة عشرة، وتعرّف الأعداد الزوجية والفردية.
- العشرات والآحاد: الأعداد حتى ١٠٠اجمع عشرة آحاد في عشرة واحدة. ابنِ الأعداد حتى ١٠٠ واقرأها بالعشرات والآحاد.
- المئات والآلاف: قيمة المنزلة والصيغة التفصيليةابنِ الأعداد حتى ١٠٠٠٠ بالمكعبات واقرأها واكتبها، واكتبها بالصيغة التفصيلية، ثم قارن بين عددين بدءاً من أعلى منزلة.
- الأعداد الكبيرة والتقريب والتقديراقرأ الأعداد بالملايين وابنِها ثلاثة أرقام ثلاثة أرقام، وقرّب إلى أقرب ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ بالنظر إلى المنزلة التالية، وقدّر ناتج الجمع قبل أن تحسبه.
- Estimating and rounding to tens and hundredsRound numbers to the nearest ten or hundred and estimate sums and differences without an exact calculation.
- الأعداد السالبة والأعداد الصحيحةمدّ مستقيم الأعداد إلى يسار الصفر. مثّل درجات الحرارة تحت الصفر والأعماق تحت سطح البحر، ثم اجمع واطرح بالقفزات.
- تقريب الأعداد العشريةكبّر المسافة بين جارَي العدد وانظر أيهما أقرب: إلى أقرب عدد طبيعي، وإلى أقرب عُشر، وإلى أقرب جزء من مئة. ثم جد كل الأعداد التي تُقرَّب إلى القيمة نفسها.
- القواسم والمضاعفات والأعداد الأوليةرتّب القطع على شكل مستطيلات لتجد قواسم عدد. واكتشف لماذا تصنع بعض الأعداد مستطيلاً واحداً فقط.
- قابلية القسمة والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر والقوىلوّن المضاعفات على لوحة المئة لتكتشف قواعد قابلية القسمة. ثم المضاعفات والقواسم المشتركة، والمربعات الكاملة والقوى.
- ضرب الأعداد الصحيحة وقسمتها، والقيمة المطلقةاضرب الأعداد السالبة واقسمها بقفزات على مستقيم الأعداد، واكتشف النمط وراء الإشارات، وقِس البعد عن الصفر.
- الأعداد العادية: الترتيب والعمليات الأربعضع الكسور والأعداد العشرية السالبة على مستقيم أعداد واحد، وقارن بينها، ثم اجمعها واضربها بالانتقال على المستقيم وبالتكبير والتصغير.
- The sieve for prime numbersWrite the numbers 1 to 50 and cross out multiples until only the primes are left, then find out where to stop.
- Subtracting a negative numberRewrite every subtraction as an addition, see subtracting a negative on the line, and work two-digit sums in tens and ones.
- Powers of negative numbers and doubling growthFollow the order of operations with powers, understand the difference between (−3)² and −3², and see why repeated doubling gets large so fast.
- العوامل الأولية، والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، والجذورحلّل عددين إلى عوامل أولية بشجرة القواسم. ابنِ منها القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، وجد الجذر التربيعي والجذر التكعيبي بجمع العوامل أزواجاً وثلاثيات.
- قواعد القوى، والأس صفر والأس السالباكتب القوى على شكل جداء عوامل على خط كسر: للضرب ضع العوامل معاً، وللقسمة اشطب العوامل المتساوية في الأعلى والأسفل، واكتشف لماذا a٠ = ١ ولماذا يعني الأس السالب كسراً.
- Dividing rational numbersFind the reciprocal of a rational number and turn divisions of signed numbers into multiplications. See why dividing by zero makes no sense.
- nth roots and rational powersLearn nth roots through powers: even and odd roots, multiplying roots, then fractional powers like ٢٧١٣ and ٨٢٣.
- الصيغة المعياريةانقل الأرقام بالزرين ÷١٠ و×١٠ حتى يبقى رقم واحد غير الصفر على يسار الفاصلة العشرية، وشاهد قوة العشرة وهي تعدّ مرات النقل.
- تقريب الجذور التربيعية والأعداد الحقيقية على المستقيماحصر جذراً تربيعياً بين عددين طبيعيين، واقترب منه حتى الأعشار والأجزاء من المئة بالتربيع، وافصل الأعداد العادية عن غير العادية على مستقيم الأعداد الحقيقية.
- الجذور الصمّاء وتبسيطهاحلّل العدد تحت الجذر إلى عوامل وأخرج كل زوج: √١٢ = ٢√٣. اضرب الجذور، واجمع الجذور المتشابهة، وأزل الجذر من المقام.
- طريقة إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبرجد القاسم المشترك الأكبر لعددين بسلسلة من القسمات، من دون أن تكتب قواسمهما.
- Absolute value of real numbers and approximate calculationSee absolute value as distance from the origin, meet the three cases, compare |a + b| with |a| + |b|, and calculate with approximate roots.
- Root properties, rational powers and irrational equationsFind the root of a quotient and the root of a root, compare roots of different degrees, and solve an irrational equation by squaring, checking the condition and substituting. Section: Grade 10, nth roots, rational powers, irrational equations; the Grade 8 square root is in another studio.
- Numbers in words: ten thousands, hundred thousands and billionsBuild and read big numbers: five-digit numbers, a hundred thousand, and numbers past the million.
- Roots: square and cube roots and their signsCount the numbers that square to a positive number, see why a negative has no real square root but does have a cube root, and why the root of a square is the absolute value.
- Rounding on the number lineFind the number on the number line and see which ten, hundred or thousand it is nearest to. A number exactly halfway rounds up.
- Numbers in wordsBuild two- and three-digit numbers from tens and ones, and read and write them in words.
- Divisibility in the integersThe division algorithm, properties of divisibility, and the gcd written as a combination of the two numbers.
- Number table and skip countingSkip count in 3s, 4s, 6s and 7s on a number table, and see repeated addition with rods.
- Congruence in the integersNumbers with the same remainder on division by m are congruent. See how to calculate with them.
- Place value in decimalsWrite and read decimals in a place-value table with ones, tenths and hundredths columns, build them in expanded form and compare them.
- Approximation: rounding and truncatingApproximate a number to the nearest 10, 100, 1 or 0.1 with two methods, rounding and truncating, tell which one is rounded, approximate a fraction and estimate a product.
- Composition of 6–10 and zeroSplit the numbers 6, 7, 8, 9 into two parts with counters. Then find out what happens when all, or nothing, is taken away.
- Composition card and stripsWrite the two parts that make 6, and build a strip of 7 cells.
- Properties of the arithmetic square rootFind roots of squares, products, quotients and powers with the properties of the arithmetic square root, as in the Grade 8 Ukrainian book. Section: Grade 8, arithmetic square root; nth roots are in the Grade 10 studio.
- The natural series and the coordinate rayFind the number before a given one, find out why there is no largest natural number, mark K(5) on a coordinate ray and read a scale.
- Division with remainder, divisibility by 9 and 3Find out why the remainder is smaller than the divisor, build the dividend with a = bq + r and test divisibility by 9 and 3 by the digit sum.
العمليات الحسابية
- الجمع والطرح حتى ١٠ضع التفاح معاً، وانزع بعضه، وقارن. ثم اصنع ١٠ من عددين.
- الجمع والطرح حتى ٢٠: عبور العشرةاملأ العشرة أولاً، ثم ضع الباقي. اجمع ثلاثة أعداد، وبدّل مكاني العددين، وجد الجمل الأربع في عائلة واحدة.
- الجمع والطرح ذهنياً بالقفزاتمثّل كل جمع وطرح بقفزات على مستقيم الأعداد: العشرات أولاً ثم الآحاد، أو إلى العشرة التالية أولاً.
- الضرب والقسمة بالمجموعات المتساويةضع التفاح في مجموعات متساوية، ورتّب القطع في صفوف، وانظر كيف يرتبط الضرب بالقسمة.
- جدول الضربتعلّم الضرب بالصور وتدرّب عليه بلعبة قصيرة: ٢ و٥ و١٠ أولاً، ثم ٠ و١، ثم باقي جدول الضرب.
- الضرب والقسمة على ١٠ و١٠٠ و١٠٠٠عندما تضرب في ١٠ ينتقل كل رقم منزلة واحدة إلى اليسار، وعندما تقسم على ١٠ ينتقل منزلة واحدة إلى اليمين. شاهد ذلك في جدول المنازل، أولاً مع الأعداد الطبيعية ثم مع الأعداد العشرية.
- الجمع والطرح العمودياناكتب الأعداد بعضها تحت بعض، واجمع أو اطرح عموداً بعد عمود: احمل العشرة إلى العمود التالي، واستلف من العمود المجاور، وتحقّق من جوابك.
- الضرب العمودياضرب عمودياً: الضرب في عدد من رقم واحد مع الأرقام المحمولة، ثم الضرب في عدد من رقمين بسطرين وصفر في مكان الآحاد، ثم الأعداد العشرية.
- القسمة مع الباقي والقسمة الشاقوليةاكتب القسمة رقماً رقماً، وتعرّف الباقي وماذا تفعل به في مسألة، وتحقّق من القسمة بالضرب.
- إضافي: الجمع والطرح بالمعداداجمع واطرح أعداداً من رقمين بتحريك الخرزات على المعداد. بدّل عشر خرزات آحاد بخرزة عشرات واحدة، والعكس.
- Multiplying round numbers and calculating with decimalsMultiply numbers that end in zeros (40 × 30, 650 × 300), add and subtract decimals in columns, and multiply two decimals by counting decimal places.
- Written multiplication by multi-digit and round numbersMultiply in a column by a three-digit number, a number with a zero and a round number, using partial products.
- Multiplying with blocks: split into partsMultiples of ten first, then a multi-digit number times a one-digit number with hundred, ten and one blocks: multiply each part and add.
- Four-digit addition and subtraction with thousand blocksAdd and subtract four-digit numbers in the place-value table with ones, tens, hundreds and thousands blocks, exchanging ten for one of the next place.
- Counting in groups and multiplication storiesCounting in steps of 7 and 200, "times as many" stories, changing dollars into toman and speed problems with a multiplying machine.
- Parts of an equality: addend, sum, differenceAdd and subtract by parts on a number line, name the parts of an equality and subtract through addition.
- Unknown component and change of the sumFind the unknown addend, minuend and subtrahend by rule, compare expressions without calculating and watch how the sum changes.
- Two-digit numbers: by digits, by parts, the rounding trickAdd and subtract two-digit numbers by digits and by parts, and work out 38 + 9 through 10, giving back the extra one. Section: Grade 2; Grade 3 oral methods are in another studio.
- The Pythagoras table and how results depend on the numbersExplore the multiplication table, multiply and divide in sequence, see how a product and a quotient depend on their components.
- Oral methods: by digits, rounding, dividing in partsAdd and subtract by digits and by rounding, divide numbers by splitting them and divide round numbers in place-value units. Section: Grade 3; Grade 2 two-digit numbers are in another studio.
- Smart ways to multiply and divideMultiply and divide by 5, 25, 50, 11, 101, 9 and 99 in handy ways, as the book does.
- Laws of operations and convenient calculationUse the commutative, associative and distributive laws to calculate conveniently, and simplify expressions with rational numbers.
- Expression, equality, inequalityTell expressions, equalities and inequalities apart, cross out false equalities and compare expressions without calculating. Ukrainian grade 2: numerical expressions, signs =, < and >.
- Division with a remainder by 10 and 100Divide with a remainder by 10 and 100 by covering digits on the right, and divide numbers ending in zeros by striking out the same number of zeros. Ukrainian grade 4.
- Chains of arithmetic actionsFollow the arrows: a number in the circle, an action on the flag. Find the number at the end of the chain and restore a rubbed-out flag. Ukrainian grade 1.
- Addition tablesRead the addition tables of 1, 2, 5 and 7, cover the results and write them in. Then the sums of the second ten. Ukrainian grades 1-2.
- Subtracting 6, 7, 8, 9Replace the minuend by a sum of convenient addends, one of which equals the subtrahend. Then the other addend is left. Ukrainian grade 1.
- Adding and subtracting a sumAdd a sum to a number, subtract a sum from a number and a number from a sum, writing equalities with brackets as in the Ukrainian Grade 2 book.
الكسور
- ما هو الـكسر؟قسّم الواحد إلى أجزاء متساوية، واستعمل الكسر لتقول كم جزءًا أخذت.
- الكسور على مستقيم الأعدادالكسور أعداد أيضًا، ولكل منها مكانه على مستقيم الأعداد. قسّم المسافة من ٠ إلى ١ إلى أجزاء متساوية وضع النقاط.
- الكسور المتكافئةالمقدار نفسه بأجزاء مختلفة: قسّم الشريط إلى أجزاء أكثر أو أقل، وانظر متى يتساوى كسران.
- مقارنة الكسورأي كسر أكبر؟ ضع الأشرطة بعضها تحت بعض، وانظر أيها يمتد تلوينه أبعد.
- جمع الكسور وطرحهاضع الكسور على الأشرطة، ثم اجمعها واطرحها. إذا كانت المقامات مختلفة، فاجعل الأجزاء بالحجم نفسه أولًا.
- ضرب الكسور وقسمتهااستعمل الأشرطة لترى أن الضرب في كسر يعني «كم مرة» أو «أي كسر من»، وأن القسمة على كسر تعني «كم مرة يحويه».
- الأعداد العشريةجِد الأعشار والأجزاء من مئة على مستقيم الأعداد، وتعرّف كيف تُكتب الأعداد العشرية وكيف تُقرأ.
- القسمة والكسوراكتب القسمة الشاقولية رقمًا رقمًا، وانظر كيف أن كل كسر هو في الحقيقة قسمة يمكن أن تحوّله إلى عدد عشري.
- كسر من كميةوزّع التفاح بالتساوي وخذ بعض الأجزاء. ثم كبّر وصفة طبخ وصغّرها.
- النسبة المئوية والتحويل بين الكسر والعدد العشري والنسبة المئويةالنسبة المئوية تعني «من مئة». استعمل مربع المئة وشريط ١٠٠٪ لترى أن الكسر والعدد العشري والنسبة المئوية ثلاثة أسماء لمقدار واحد.
- ضرب الكسور المركبة وقسمتهااستعمل الأشرطة لترى كيف نضرب الكسور المركبة ونقسمها، وأي عملية نجريها أولًا في الحساب.
- القسمة العشرية والكتابة العشرية الدوريةحوّل القسمة العشرية إلى قسمة أعداد طبيعية، وتابع القسمة حتى ترى الأرقام تتكرر، وحوّل كتابة عشرية دورية إلى كسر.
- Complex fractionsA fraction whose top or bottom is a fraction: share a fraction on a bar, count fractions inside fractions, and divide by flipping the lower fraction.
- Subtracting mixed numbers and calculating with fractionsSubtract mixed numbers, open up a whole when needed, solve expressions with complex fractions and scale up a recipe.
- A part of a number and the number from its partFind a part of a number and find the number from its part: first one part, then the whole or several parts. Section: Grade 3 (part of a number and the number from its part); Grade 5-6 fractions are in another studio.
- Improper fractions, number from its fraction, percentage ratio, decimal approximationShow an improper fraction on bars, find the whole from the value of a part or of a percent, work out the percentage ratio of two numbers and round a fraction to hundredths. Section: Grades 5-6; the Grade 3 part-of-a-number studio is separate.
- Fractions of units of measureWhat part of a metre is 6 cm, and what part of a year is 3 months? Change a fraction of a unit into smaller units and compare it with a named number. Ukrainian grade 4, the section «We study fractions».
النسبة والتناسب
- النسبة والتقسيم بنسبة معطاةبشريط من لونين، انظر ماذا تعني «٢ إلى ٣»، واختصر النسب، وقسّم كمية بنسبة معطاة.
- التناسب وطريقة الوحدةاستعمل جدول التناسب لتجد مقداراً ناقصاً: أولاً المقدار لواحد، ثم لأي عدد. والتناسب العكسي في النهاية.
- التكبير والأشكال المتشابهةكبّر شكلاً بنسبة معلومة، وجد الأشكال المتشابهة، واقرأ نسبة التشابه، وارسم شكلاً متشابهاً.
- التغيّر المئوي والمعامل والنسبة المئوية العكسيةالمقدار الأول شريط ١٠٠٪. الزيادة تجعل الشريط أطول (١٢٠٪)، والنقصان يجعله أقصر (٨٥٪). استعمل الأشرطة لتجد معامل التغيّر والتغيّر المئوي والسعر الأصلي.
- المعدّلات وسعر الواحدة والكثافةاستعمل جدول النسبة لتجد المقدار «لكل واحد»: سعر الكيلوغرام، واللترات لكل ليرة، وكتلة كل سنتيمتر مكعب.
- الخرائط والرسم بـمقياس الرسمقِس بالمسطرة على خريطة وعلى مخطط غرفة، واستعمل مقياس الرسم لتجد الأطوال الحقيقية.
- الخط البياني لـالتناسب الطردي والتناسب العكسيارسم تناسباً طردياً من جدول، وجد k من نقطة واحدة، واجعل y = kx يمر بنقطة بواسطة منزلقة، وميّز الخط البياني للتناسب الطردي، وارسم تناسباً عكسياً.
- إثرائي: التناسب المركبفي التناسب المركب تتغيّر ثلاثة مقادير معاً. في الجدول غيّر مقداراً واحداً في كل مرة، وقرّر هل كل تغيير طردي أو عكسي.
- Distance, speed, time: s = v · tFind distance, speed and time from a table and from the formulas s = v · t, v = s : t, t = s : v.
- Two bodies moving and joint workFind the distance between two bodies moving at once, and the time for joint work, from a table and a solving plan. Section: Grade 4, motion of two bodies and joint work; the fourth proportional is in another studio.
- Proportional division and the same quantitySolve problems with the short record price, count, cost: proportional division and finding the same quantity from two differences or two sums.
- Fourth proportional and double reduction to unitySolve problems by the method of ratios and by reduction to unity, and problems with two changes. Section: Grade 4, fourth proportional and double reduction to unity; motion and joint work are in another studio.
- Similar figures: length, area and volumeWhen a figure is enlarged by scale factor k, lengths grow k times, areas k squared times and volumes k cubed times. Use a ratio table to find the missing size.
- Work: productivity, time, outputSolve work problems: productivity · working time = total output, with a table and with the triangle scheme.
- Fourth proportional: the same quantitySolve problems with a quantity that stays the same (the mass of one box, a price, a total mass): find it first, then answer the question.
- Processes: motion and workSolve problems of simultaneous motion and of joint work with one plan: speed · time = distance, productivity · time = output.
النقود
- القطع والأوراق النقديةتعرّف إلى القطع والأوراق النقدية، واصنع مبلغًا من المال بطرق مختلفة، وانظر أن القطع الأكثر ليست دائمًا مالًا أكثر.
- الشراء والباقياجمع السعر عدة أشياء، وادفع ثمنها، واحسب الباقي بالعدّ صعودًا.
- النسبة المئوية في المال: الحسم والربح والخسارةاستعمل شريط ١٠٠٪ لترى كم يُنقص الحسم من السعر، وكم في المئة من سعر الشراء يربح البائع أو يخسر.
- الفائدة البسيطة والفائدة المركبةتابع المدّخرات سنة بعد سنة: مع الفائدة البسيطة يُضاف المبلغ نفسه كل سنة، ومع الفائدة المركبة يُضرب المال في العدد نفسه. ثم انظر كيف تنقص قيمة شيء كل سنة.
- Percent and percentage pointsHow "rose by 5 %" differs from "rose by 5 percentage points": a rate of 20 % to 25 %, the share of top pupils, a bank problem. This follows the Ukrainian Year 9 algebra book, the page "How to avoid ambiguity in percent problems".
القياس
- المقارنة: أطول، أثقل، أكثر امتلاءًأيهما أطول؟ أيهما أثقل؟ قِس بمشابك الورق وبالشبر وبالأكواب.
- قياس الطول والكتلة والسعةقِس بالمسطرة وبالميزان وبالإبريق المدرّج. قدّر أولًا، ثم قِس.
- الساعة والتقويمحرّك عقربي الساعة، واكتب وقتاً بعد الظهر كما يكتبه الهاتف، وجد الأيام على التقويم.
- المحيط والمساحةدُر حول الشكل لتجد المحيط، وغطِّه بمربعات الوحدة لتجد المساحة، وانظر كيف يمكن أن يكون لشكلين المساحة نفسها ومحيطان مختلفان.
- Quarter hours and order of timeShow quarter past and quarter to on the clock, write a time two ways and decide which job took longer.
- تحويل الوحداتحوّل الأمتار إلى سنتيمترات، والغرامات إلى كيلوغرامات، واللترات إلى ميليلترات. شريط التحويل يساعدك.
- مساحة المثلث ومتوازي الأضلاع وشبه المنحرف والدائرةحرّك القطع لترى لماذا مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع، ولماذا المثلث نصفها، وأكمل شبه منحرف بنسخة منه، وقدّر مساحة الدائرة.
- الحجم متوازي مستطيلاتابنِ صناديق من مكعبات الواحدة، وعُدّ المكعبات طبقة بعد طبقة، واكتشف لماذا حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.
- إثراء: قراءة درجة الحرارة بميزان الحرارةاقرأ ميزان الحرارة، وبيّن عليه درجة حرارة تحت الصفر.
- حجم الموشور والأسطوانة ومساحتهماأدِر موشورات وأسطوانات، وجد قاعدة، واملأها طبقة طبقة لترى لماذا الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع، وافتح المخطط لتحسب المساحة الجانبية والمساحة الكلية.
- Measuring more exactly and a part of a unitMeasure with your own unit, count the small parts of a centimetre and find the middle of a line.
- الهرم والمخروط والكرة والمجسمات المركّبةاسكب هرمًا في موشوره وكرة في أسطوانتها لترى من أين يأتي ١٣ و٢٣. افتح مخروطًا فيصير قطاع دائري، وجد مولده بمبرهنة فيثاغورث، واحسب حجم برج ومساحته.
- Tube, tin and box: volume and surface problemsRoll a sheet into a tube and give its capacity in litres, compare the sheet needed for a tin and a box, and find the volume of an open box.
- Limits of accuracy: upper and lower boundsA rounded measurement is really somewhere in a range. Draw the range, then use the bounds to find the biggest and smallest answers.
- Measuring time: minutes and secondsFind an arrival time, work out the time between two clocks with time arrows, and convert between seconds, minutes and hours.
- Kilometres, capacity and the mass of waterConvert metres and kilometres, tell a container's capacity from the volume of liquid in it, and see that one litre of water is 1000 cubic centimetres and weighs 1 kg.
- Area of a rhombus and a circleFind the area of a rhombus with four triangles and with its diagonals, see why a rhombus is half the rectangle round it, and work out the area of a circle from its sectors and with the formula pi × radius × radius.
- Metres with centimetres, kilograms with gramsRead and write two-unit measures (325 cm = 3 m 25 cm), choose a suitable unit and read half a centimetre on the ruler.
- The decimetre and actions with quantitiesLearn that 1 dm = 10 cm, measure ribbons in decimetres and add lengths given in decimetres and centimetres.
- Named numbers: arithmetic with themAdd, subtract, multiply and divide named numbers: write them in one unit, do the sum and write the result in two units.
- Area of a rectangle and units of areaFind the area of a rectangle with S = a · b, find an unknown side and learn the units of area: cm², dm², m², are, hectare. Section: Grade 4, area of a rectangle and units of area; equal figures are in the Grade 5 studio.
- Time: adding and subtracting named numbersChange larger units of time into smaller ones, add or subtract, and write the answer in two units. Find how long an event lasted from its start and end.
- Prisms, parallelepipeds and pyramids: properties, sections, frustumFind a box diagonal, the volume of an oblique prism, the lateral area of a regular pyramid, the volume of a frustum, and a section of a pyramid.
- Sections of a cylinder, cone and ball, the sphere equationFind the diagonal of an axial section, the radius of a section of a cone and of a ball, and read the centre and radius from a sphere equation.
- Prisms: problems with angles and diagonalsFind the height and the lateral edge of a right prism from a diagonal and an angle, work out the lateral area and give answers with a root.
- Pyramids: where the apex projectsFrom equal lateral edges or equal dihedral angles, decide which centre of the base the apex projects to, then find the height and the lateral area.
- Volumes of solids: problemsFind the volume of a part from the rise of the water, the radius of a melted ball and the volume of a solid made by turning a triangle or a trapezium. Keep π in the answer.
- Perimeter of a polygonFind the perimeter of triangle ABC and of rectangle DMPK as the sum of the lengths of all sides.
- Arc length, sector area and segment areaFind the length of an arc of n°, the area of a circular sector and of a segment, with l = πRn/180 and S = πR²n/360.
الأشكال والهندسة
- الأشكال المستوية وتناظرارسم مثلثًا ومربعًا على لوح النقاط، وجد المثلثات، وارسم محور تناظر.
- Corners, circles, rectangles and symmetryCount corners, find the shape with no corner, draw a rectangle, fold a shape and cut one into equal parts.
- المجسماتتعرّف إلى مكعب ومتوازي مستطيلات وأسطوانة ومخروط وكرة وهرم، وعُدّ الوجوه والأحرف، واصنع مخطط مكعب.
- المستقيم ونصف المستقيم والقطعة المستقيمة والزاويةجد أنصاف المستقيمات، وارسم مستقيمات متوازية ومتعامدة على ورق النقاط، وقارن الزوايا بزاوية قائمة من الورق.
- المثلثات والرباعياتصنّف المثلثات حسب أضلاعها وزواياها، وتعرّف إلى عائلة الرباعيات، وارسم قطري المعين.
- المضلعات ومجموع زواياهاجد المضلعات المنتظمة، واكتشف مجموع زوايا المثلث، وقسّم المضلعات إلى مثلثات لتجد مجموع زواياها.
- قياس الزاوية بالمنقلةاقرأ الزوايا وارسمها بالمنقلة. جد الزوايا على مستقيم، والزاويتين المتقابلتين بالرأس، ومنصف الزاوية.
- الـدائرة: نصف القطر والقطر والعدد πقِس قطر الدائرة ونصف قطرها. لُفَّ شريطًا حول دائرة، واعرف كم قطرًا يصنع محيطها.
- الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجاراستعمل الفرجار والمسطرة لتتعرّف الوتر والقوس، وارسم محور قطعة مستقيمة ومنصف زاوية، وابنِ مثلثات من أضلاعها.
- زوايا مستقيمين متوازيين وقاطعاسحب وأدِر مستقيمين متوازيين وقاطعًا لهما، لترى أيّ الزوايا تبقى متساوية دائمًا، وأيها مجموعه ١٨٠°، وماذا يحدث عندما لا يكون المستقيمان متوازيين. ثم استعمل مستقيمًا موازيًا لتبيّن لماذا مجموع زوايا المثلث ١٨٠°.
- متراجحة المثلث، والمستقيمات الخاصة في المثلثابنِ مثلثًا من ثلاث عصي، واكتشف أيّ ثلاثة أطوال تصنع مثلثًا وأيها لا تصنع. ثم اختبر متوسطًا وارتفاعًا ومحور ضلع على مثلث تغيّر شكله بنفسك، وانظر أين تلتقي المتوسطات الثلاثة دائمًا.
- الأشكال المتطابقة وحالات تطابق المثلثاتأزِح شكلًا وأدره واقلبه حتى ينطبق على شكل آخر. ثم جد الرؤوس المتناظرة في مثلثين، واختر حالة التطابق، واكتب برهانًا سطرًا سطرًا، واسحب مثالًا مضادًا يبيّن أن (ضلع، ضلع، زاوية) ليست حالة تطابق.
- مبرهنة فيثاغورث وعكسهاابنِ مربعات على أضلاع مثلث قائم وقارن مساحاتها، وانظر لماذا المبرهنة صحيحة بأربع نسخ من المثلث، وجد ضلعًا مجهولًا، واستعمل العكس لتختبر الزاوية القائمة، وعيّن √٢ على مستقيم الأعداد بالفرجار.
- الاستدلال والبرهان في الهندسةاسحب مثلث متساوي الساقين وانظر كيف تبقى زاويتا قاعدته متساويتين دائمًا. ثم برهن ذلك بالأسباب، واستعمله في برهان جديد، وبيّن أن قولًا آخر خاطئ بمثال مضاد.
- مبرهنة تالس وتشابه المثلثاتحرّك مستقيمًا يوازي أحد أضلاع مثلث، وانظر كيف تبقى النسبة بين القطع التي يصنعها على الضلعين الآخرين متساوية دائمًا. ثم جرّب العكس، والمثلثات المتشابهة، ونسبة التشابه.
- المحل الهندسيجد كل النقاط التي تبعد مسافة معلومة عن نقطة، أو عن قطعة مستقيمة، أو عن نقطتين، أو عن ضلعي زاوية، وانظر أيّ شكل تصنع. ثم استعمل الفرجار لتلوّن منطقة تحقق شرطين معًا.
- المستقيم والدائرة، والزاوية المركزية والزاوية المحيطية، والمماسحرّك مستقيمًا عبر دائرة وانظر متى يقطعها، ومتى يمسّها فقط، ومتى لا يلاقيها. قرّب دائرتين حتى تتماسا، وأدر مماسًا حول دائرة، وانظر أن الزاوية المحيطية نصف الزاوية المركزية دائمًا.
- المضلعات المرسومة في دائرة، والدائرة الداخلية، والأطوال في الدائرةارسم الدائرة المارة برؤوس مثلث والدائرة الداخلية له، وانظر أين يقع مركزاهما. ثم اسحب رؤوس رباعي مرسوم في دائرة، واختبر وترين متقاطعين: أي علاقة تبقى صحيحة دائمًا؟
- مناظر المجسم وفيثاغورث في الفراغأدِر برجًا من المكعبات، وتعرّف على مناظره الأمامي والعلوي والجانبي وارسمها على شبكة. ثم جد قطر متوازي المستطيلات باستعمال مبرهنة فيثاغورث مرتين.
- مبرهنات في المثلث القائمفي مثلث قائم فيه زاوية قياسها ٣٠°، الضلع المقابل لها نصف الوتر؛ والمتوسط المتعلق بالوتر نصفه أيضًا. شاهد المبرهنتين، وبرهن إحداهما، واستعملهما.
- Axioms, segments and theoremsSee that one line passes through two points and that AB = AC + CB, find the midpoint of a segment and tell a theorem from its converse.
- إثراء: التبليط بالمضلعاترتّب نسخًا من مضلع منتظم حول نقطة، وانظر أيها يتلاصق بلا فراغ وبلا تداخل، ولماذا يترك المخمس المنتظم فراغًا، وبلّط بنوعين من المضلعات.
- المجسمات المنتظمة والمقاطعأدر المجسمات المنتظمة (مجسم متعدد الوجوه منتظم)، وعُدَّ وجوهها ورؤوسها وأحرفها، واكتشف V − E + F = ٢. ثم اقطع مكعبًا بسكين وانظر أي أشكال يمكن أن يكون المقطع.
- The exterior angle, sides and angles, right trianglesSee that an exterior angle equals the sum of two interior angles, that the larger angle lies opposite the longer side, and use the congruence criteria of right triangles.
- Chords, loci and the four steps of a constructionSee that the segment from the centre to the midpoint of a chord is perpendicular to it, find the distance to a chord and count the solutions of a locus construction.
- Conic sections: slicing a coneCut a cone with different planes and see where the circle, ellipse, parabola and hyperbola come from. Then see what the ratio of the distance to a focus and to a directrix builds.
- Regular polygons and the excircle of a triangleFind the side and apothem of a regular polygon from the radius of the circumscribed or inscribed circle, and the radius of the excircle of a triangle.
- Lines and planes in spaceUse a cuboid to find how two lines can sit in space: parallel, intersecting or skew. Then look at a line and a plane, a line perpendicular to a plane, and the angle between two skew lines.
- Axioms of solid geometry and sectionsPass a plane through three points, find the line where two planes meet, recognise a line parallel to a plane, and name the shape of a section of a cube.
- Parallel planes, projection and perpendicularsTest two planes for parallelism, compare segments between parallel planes, find the length of a parallel projection and the distance from a point to a plane.
- Symmetry of polygons, interior and exterior anglesCount the lines of symmetry of regular polygons, find the angle at each corner and see why the exterior angles always add up to 360 degrees.
- Circle theorems and the angle bisector theoremProve that two tangents from a point are equal, and learn that the bisector of an angle of a triangle cuts the opposite side in the ratio of the other two sides.
- Perpendicular and parallel through a point, and constructing from dataFrom a point outside a line, construct a متعامدان and a متوازيان, then build a rhombus and an isosceles triangle with the compasses by analysing the problem first.
- Constructing an angle and triangles with compasses and rulerConstruct an angle equal to a given one, a triangle from two sides and the angle between them, from a side and two adjacent angles, and a right triangle from a leg and the hypotenuse.
- Loci in construction problems: a point, a circle, a triangleFind the wanted point as the crossing of two loci. Three tasks from the Ukrainian book: a point on a line at a given distance from another line, a circle tangent to a line at a given point, and a triangle from a side and the circumradius.
- Proof by contradictionLearn to prove theorems by contradiction: assume the conclusion is wrong, reach a contradiction, and conclude.
- Ceva, Menelaus, Ptolemy and the Euler lineOptional stories from Grade 8 geometry: when three cevians meet at a point, when three points are collinear, the product of the diagonals of a cyclic quadrilateral, and the Euler line.
- Rays, segments and diagonalsName points with letters, rays and segments, draw a segment of a given length and count the diagonals of a polygon by solving a simpler problem.
- Symmetry and folding paperCount symmetric figures with a line of symmetry, draw the mirror image and predict the shape after folding and cutting paper.
- Geometry problem solving: given, claim and planSeparate the given from the claim, plan before writing a proof, find the shortest road with a perpendicular and Pythagoras, and see circle applications.
- Metric relations in the right triangle and properties of a proportionDraw the altitude to the hypotenuse of a right triangle and see that AH² = BH×HC; find a side with it, use the adding property of a proportion, and build Pythagoras from the same figure.
- Circle and discTell a circle from a disc, find the centre and radii and mark the points that lie on the circle.
- Perpendicular and slant, line–plane angle, dihedral angleFind a slant from the perpendicular and its projection, measure the angle between a line and a plane and a dihedral angle by its linear angle, then show that two planes are perpendicular.
- The parallelogram, rectangle, rhombus and squareLearn the elements of a quadrilateral, the properties and criteria of a parallelogram, and the diagonals of a rectangle and a rhombus, as in the Grade 8 Ukrainian geometry book.
- The trapezium, its midline, a circumscribed quadrilateral and the area of a trapeziumLearn the properties of an isosceles trapezium, the midline, the criterion for a quadrilateral with an inscribed circle and the area of a trapezium.
- The second and third tests for similar trianglesFind similar triangles by two sides and the angle between them, or by three sides, work out an unknown side, and avoid the trap of an angle that is not between the sides.
- The segment, its length, and the lineCompare segments by laying one on another, find the length of AB from two parts, measure the distance between points and find how many lines pass through two points.
- Polygons, equal figures, area, are and hectareName a polygon by its vertices, find an equal figure by laying it on another, learn how equal figures differ from figures with equal area, and convert a field's area to hectares. Section: Grade 5, equal figures, area, are and hectare; the formula S = a · b is in the Grade 4 studio.
- The cylinder and the cone: bases and netFind the bases of a cylinder and a cone and work out the lateral area of a cylinder from its net.
- Point, straight line, curve, ray, segment, broken lineFind points, straight lines and curves in a picture. Name the parts of a line that points make and measure the length of a broken line. Ukrainian grade 1.
- Parallel lines meeting a plane and parallel projectionFind lengths of segments of parallel lines meeting a plane, and ratios of segments under parallel projection.
- Review of Grade 10 solid geometryChoose the right next step of a proof about skew lines, then solve problems on the angle between lines, parallel projection and a perpendicular to a plane.
- Check yourself: polyhedra, solids of revolution, volumesMultiple-choice tests with options A, B, C, D on the lateral area of a prism, a cylinder and a cone, and on the volume of a ball.
- Polyhedra: faces, edges, verticesFind the bases, side faces and edges of a pyramid, a prism and a cuboid, and count their faces and edges.
- Area of the orthogonal projection of a polygonUse the theorem on the area of a projection, S′ = S · cos α, to find the area of a projection or of the polygon itself.
- Where a line meets a plane, where two planes meetConstruct the point where a line meets the base plane of a cube and the line where two planes of a tetrahedron meet, using the axioms of solid geometry.
- A point equidistant from the vertices or the sides of a polygonIf M is equally far from the vertices of a triangle, its projection is the circumcentre; if equally far from the sides, the incentre. Find the distance from M to the plane.
- Angle, right angle, rectangle and squareName an angle by letters, find a right angle with the model, tell a rectangle from other quadrilaterals and a square from other rectangles.
- Regular polygons: angle, number of sides, constructionFind the number of sides of a regular polygon from its angle, test whether it exists, and build a hexagon by chords R and a 2n-gon.
الموقع والاتجاه
- المواقع والاتجاهات والدوراناعرف اليمين واليسار، والأعلى والأسفل وبين. ثم أدِر سهماً ربع دورة ونصف دورة وثلاثة أرباع دورة.
- إحداثيات وانسحابضع النقاط على الشبكة بإحداثياتها، وأوجد الرأس الناقص لشكل، وحرّك الأشكال بالانسحاب.
- الانعكاس والدوران والتناظر المركزيضع نقاطاً في الأرباع الأربعة، واعكس الأشكال في محور، وأدرها حول نقطة، وابحث عن الأشكال التي لها مركز تناظر.
- التحويلات الهندسية وتحاكاكتشف أي التحويلات تحافظ على الأطوال والزوايا واتجاه الشكل، وطبّق على شكل تحاكياً مركزه نقطة ونسبته ٢ و١٢، وأوجد مركز تحاكٍ، وانظر كم مرة تتضاعف المساحة.
- Reflection and rotationReflect a shape in a vertical line, a slanted line and the x-axis, complete a shape from its half, rotate shapes about different points and find the coordinates of an image.
- Composing moves, symmetry and the reflection trickMeet two reflections in a row, the glide reflection, the axes of symmetry of a polygon and the shortest path found with a reflection.
الأنماط والمتتاليات
- الأنماط المتكررة والأنماط العدديةأشكال وأعداد تتتابع وفق قاعدة. اكتشف النمط، وأكمله، وصحّح الخطأ فيه.
- آلات المدخلات والمخرجات وقواعد المتتالياتيدخل عدد إلى الآلة ويخرج عدد آخر. اكتشف ماذا تفعل الآلة، ثم اكتشف قاعدة متتالية عددية.
- الحد العام والمتتالية الهندسيةابنِ جدولًا من نمط أعواد الثقاب، واكتشف حده العام، واستعمله لتعدّ أعواد الشكل العشرين من دون رسمه. ثم تعرّف إلى متتاليات نضرب فيها كل مرة.
- Sequences, nth term and recurrenceUse aₙ notation to find terms, build a sequence from a recurrence relation, spot a periodic sequence and count triangular numbers.
- Sigma and sums of seriesRead Σ notation, find sums of arithmetic and geometric series, and see why an infinite sum can still be a number.
- Special sums, differences and modellingBuild the sum of squares, add a series by the method of differences, find the nth term of a quadratic sequence and solve a real problem with an arithmetic series.
الجبر
- ترتيب العمليات، والأحرف، والدساتيراحسب المقادير خطوة خطوة بالترتيب الصحيح. ثم دع حرفًا يمثّل عددًا، واستعمل الدساتير.
- العبارات الجبرية والحدود المتشابهة والقيمة العدديةابنِ عبارات بالبلاطات الجبرية، واجمع الحدود المتشابهة، واحذف الأزواج الصفرية، ثم عوّض قيمة x لتحسب القيمة العددية.
- حل المعادلة من الدرجة الأولى بالميزانالمعادلة ميزان متوازن. جرّب قيمًا، ثم حلّ معادلات فيها x في طرف واحد أو في الطرفين، ومع كسور وأقواس؛ وكل ما تفعله بكفّة افعله بالكفّة الأخرى.
- كتابة معادلة من مسألة وحلّهااجعل حرفًا يمثل المجهول، وحوّل القصة إلى معادلة، وحلّها، ثم تحقّق من الجواب في القصة.
- نشر قوس والتحليل إلى عواملانظر إلى القوس كأنه مستطيل: انشر بتلوين مساحته بالبلاطات، ثم اعمل بالعكس وابحث عن بُعدي مستطيل لتحلّل إلى عوامل.
- جداء حدّانيتين والمتطابقاتاضرب قوسين على شكل مستطيل من البلاطات وفي جدول، وانظر لماذا في (a + b)٢ شريطان ab، وميّز المتطابقة من المعادلة.
- المتراجحات والمجالات وحلّهامثّل حلول متراجحة على مستقيم الأعداد: قوس عند كل طرف، قطعة مستقيمة أو نصف مستقيم. ثم حلّ متراجحات وانظر لماذا ينعكس اتجاه المتراجحة عند الضرب في عدد سالب.
- Polynomials: standard form, subtracting, multiplyingWrite a polynomial in standard form, subtract with brackets, multiply three terms by two on a grid and raise a product to a power.
- جملة معادلتين من الدرجة الأولىجِد النقطة التي تحقق معادلتين معًا: اقرأها حيث يتقاطع المستقيمان، وارسم المستقيم الثاني، واحذف أحد المجهولين، وتعرّف إلى المستقيمات المتوازية، وجِد الجواب الدقيق حيث لا يعطي الرسم إلا قيمة تقريبية.
- تحليل العبارات من الدرجة الثانية ومطابقات أخرىرتّب بلاطات عبارة من الدرجة الثانية في مستطيل لتجد قوسيه، واستعمل الأزواج الصفرية للحدود السالبة، وأخرج العامل المشترك أولًا، وتعرّف إلى مجموع مكعبين.
- Equations in two variables and systemsFind the pairs that satisfy an equation in two variables, draw its graph, build a system from a story and find its solution.
- الكسور الجبريةحلّل البسط والمقام في الكسر الجبري واختصر العوامل المتساوية. ابحث أولًا عن القيم التي لا يأخذها x، ثم اجمع الكسور الجبرية واطرحها بتوحيد المقامات، واقسمها بالاختصار.
- Grouping and cubes: factorisingFactorise a four-term polynomial by grouping, factorise sums and differences of cubes and choose where to start when several methods fit.
- المعادلة من الدرجة الثانية: التحليل، والإتمام إلى مربع، والدستورحلّ المعادلات من الدرجة الثانية بالتحليل إلى عوامل، وأتمم المربع بالبلاطات كما فعل الخوارزمي، واستعمل المميز لتعرف عدد الحلول.
- كثيرات الحدود وقسمتهادرجة كثير الحدود وترتيبه وفق القوى المتناقصة، ثم قسمة كثيرات الحدود بملء جدول الضرب بالعكس، مع باقٍ ومع قوى ناقصة.
- جداول الإشارة والمتراجحات الكسريةجِد أين تكون العبارة موجبة وأين تكون سالبة: علّم الجذور، واملأ جدول الإشارة تحت مستقيم الأعداد، واقرأ حل متراجحة مثل x − ١x + ٢ ≥ ٠.
- المتراجحات بمتحولين والمناطقارسم المستقيم الحدّي، واجعله متصلًا أو متقطعًا، وجرّب نقطة ولوّن المنطقة؛ ثم جِد المنطقة التي تحقق متراجحتين أو ثلاثًا معًا.
- Numerical inequalities and their propertiesCompare numbers by the sign of the difference a − b, prove inequalities, add inequalities term by term and estimate the value of an expression.
- Systems of linear inequalities in one variableSolve each inequality of a system, show the solutions on a line and find their common part: a segment, a single number or the empty set.
- Systems of equations in two variablesFind the solutions of a system with an equation of degree 2 as common points of graphs, solve it by substitution and form a system from a word problem.
- Simultaneous equations: substitutionPut the expression for one unknown into the other equation, keep the bracket, isolate an unknown first, and check the answer on the graph and in both equations.
- Rational and radical equationsSolve equations with fractions and equations with square roots, and throw out the extra roots by checking.
- Sum and product of roots, hidden quadratics, line meets parabolaRead the sum and product of the roots from the coefficients, solve an x to the fourth equation by a change of letter, and find where a line meets a parabola.
- Remainder theorem, factor theorem and roots of polynomialsFind a remainder without dividing, spot a factor with the factor theorem, find the roots of a cubic and read coefficients from roots.
- Quadratic inequalities and parametersSolve quadratic inequalities by the signs of their factors, and see how a letter in an equation turns 'how many roots?' into an inequality.
- Rearranging formulaeGet one letter on its own in a formula: use the same moves as on the balance, with letters.
- Binomial expansion for any power: approximationsUse the first terms of the binomial expansion to estimate roots and reciprocals of numbers near 1.
- Equations: the rule for the unknown componentCompose an equation from a story, solve it with the rule for the unknown component and check by substitution. Section: Grades 3-4, equations with an unknown component; formulas and the root of an equation for Grades 5-7 are in another studio.
- Operations on rational fractions: subtraction, opposite bottoms, powers, identitiesSubtract rational fractions with the sign change, find extra factors, handle opposite bottoms, raise a fraction to a power and prove identities, as the Grade 8 Ukrainian book does.
- Equivalent equations, rational equations and word problemsLearn what equivalent equations and an extraneous root are, solve a rational equation with a check, and form equations for motion and work problems.
- Incomplete quadratic equations and the quadratic trinomialSolve the three kinds of incomplete quadratic equation, find the roots of a quadratic trinomial and factorise it with its leading coefficient.
- Formulas, equations and the root of an equationUse the distance formula, find the unknown part of an operation, check a root by substitution, move terms across with the opposite sign and learn when ax = b has no root. Section: Grades 5-7, formulas, the root of an equation, ax = b; Grade 3-4 equations are in another studio.
- Systems of equations as models of word problemsTranslate problems about motion, work, digits and rectangles into equations: name the unknowns x and y, write the system, solve it and check that the answer fits the story. This follows the Ukrainian Year 9 algebra book, section 14.
- Expressions with a variableA letter instead of a box gives an expression with a variable. Put in the value of the variable and work out the value of the expression. Ukrainian grade 2.
- Inequalities with a variable: how a component affects the resultSolve inequalities with a variable in two ways: by selection and by reducing to an equation. Write the answer with an ellipsis. Ukrainian grades 3–4.
الهندسة التحليلية
- ميل المستقيم والترتيب عند المبدأ ومعادلة مستقيمقِس ميل مستقيم بمثلث الدرجة، وغيّر m وp في المعادلة y = mx + p بالمنزلقات، وارسم مستقيمًا من جدول قيم، وجِد معادلة المستقيم المارّ بنقطتين.
- صيغ معادلة المستقيم، والمستقيمان المتوازيان والمتعامدان، والمسافة ومنتصفحوّل المعادلة العامة للمستقيم إلى الشكل y = mx + p، وارسم مستقيمات موازية ومتعامدة، وجِد المسافة بين نقطتين بمبرهنة فيثاغورث، والمنتصف بوصفه متوسطًا.
- Dividing a segment in a ratio, and the distance from a point to a lineFind the point that divides a segment in a given ratio, and the distance from a point to a line with the formula.
- Area of a triangle from coordinates, and geometry problemsFind the area of a triangle from the coordinates of its three vertices, and use coordinates to solve geometry problems.
- The circle: equation, line and circle, tangentBuild and read the equation of a circle, find where a line meets a circle, and work with the tangent and its length.
- Conic sections and the parabolaRecognise the parabola as the set of points equally far from a focus and a directrix, and read its equation with the vertex at the origin and at any point.
- The ellipse, the hyperbola and a line against themFind the foci of an ellipse and a hyperbola from the equation, build an ellipse with its centre anywhere, draw the asymptote of a hyperbola and test a line against a parabola.
- Parametric equations and polar coordinatesPlot a curve from parametric equations point by point, eliminate the parameter, model a motion and convert polar coordinates to Cartesian.
- The gradient of a line and collinear vectorsFind the gradient k from the angle of inclination of a line (k = tan α, including an obtuse α), perpendicular lines and a vector collinear with a given one.
- A line and the axes: triangle, perimeter and areaFind where a line ax + by = c meets the axes, the perimeter and area of the triangle it cuts off, and where two lines meet.
- Coordinates of a point in spaceDecide where a point lies, then find the distance between two points, the midpoint of a segment and a symmetric point from their coordinates.
التوابع وخطوطها البيانية
- العلاقات والثنائيات المرتبة والتوابعمثّل علاقة بمخطط سهمي، وضع ثنائياتها المرتبة نقاطًا في المَعْلَم، وقرّر أي العلاقات توابع، وجرّب اختبار المستقيم الشاقولي على خط بياني.
- خطوط بيانية من الحياة، السرعة والنمواقرأ من الخط البياني للمسافة بدلالة الزمن متى توقفنا وبأي سرعة سرنا، وارسم الخط البياني لنزهة مشيًا، وطابق امتلاء زجاجة مع خطها البياني، وقارن النمو بالمضاعفة مع النمو الثابت.
- الخط البياني لـتابع من الدرجة الثانيةاملأ جدول y = x٢ − ٢x − ٣ بقيم سالبة لـ x وارسمه، وانظر لماذا أسفل قطع مكافئ مستدير، واقرأ الجذور والترتيب عند المبدأ وذروة القطع المكافئ من الخط البياني، وانظر ماذا يفعل a في y = ax٢.
- Function notation, domain and rangeWork out values of f(x) from a rule, find the input that gives an output, write the domain of a fraction and a square root, and read the range from a graph.
- Modulus and integer-part functionsSee the modulus in a table and on a graph, solve a modulus equation as two crossings with a line, read the steps of the integer-part (floor) function and plot a taxi fare that rises in steps.
- Increasing, decreasing, even and odd functionsFind the intervals where a graph rises or falls, reflect points in the y-axis and through the origin, and use f(-x) to test whether a function is even, odd or neither.
- Sum, composition and inverse of functionsAdd two functions, keep the order in a composite function, find the inverse of a machine by undoing its steps, build the inverse graph by reflecting in y = x, and use a horizontal line to see which functions have an inverse.
- Translating, reflecting and stretching graphsMove the graph of y = (x − h)² + k with sliders, read the turning point of a parabola, see where f(2x) sends a point, and combine several transformations on one parabola.
- Cubic graphs, sketching polynomials and asymptotesFill in and plot a cubic table, build a polynomial graph from its roots and its y-intercept, and draw the vertical and horizontal asymptotes of a rational function as lines.
- The linear function: formula, table, graphDefine a function by a formula, a table and a graph, draw a line from k and b, find the zero of a function and where it is positive.
- The quadratic function and properties of functionsFind the vertex of a parabola by the formula, read the properties of a function from its graph, solve a quadratic inequality graphically and draw the graphs of y = |f(x)| and y = f(|x|).
- The number e, growth and decaySee why (١ + ١n)n settles at e, lay the graph of y = a×ex on a given curve, and build growth and decay models.
- Exponential functions with any base, and exponential equationsFill in a table of 2^x, see that a base above 1 gives a rising curve and a base between 0 and 1 a falling one, and solve an exponential equation by writing both sides with one base.
- Logarithms and log tablesSee that a logarithm is the power the base is raised to, build the log graph as the mirror image of the exponential graph, and use characteristic, mantissa and antilogarithm with a log table.
- Laws of logarithms and equationsSee the product and power laws, solve a logarithmic equation, and straighten data with logarithms.
- Piecewise, sign and modulus propertiesRead a piecewise function, plot the sign function, build y = |x − 1| + 2 by moving the V, and read modulus inequalities off a graph.
- Maximum and minimum values, power functionsFind the greatest and least value of a function on a set, compare the graphs of y = xⁿ for even and odd n, and meet the graph of y = x⁻ⁿ.
- Exponential equations and inequalities: methodsTake out a common power, substitute t = 2ˣ, read a root off a graph, and decide when an inequality keeps its sign.
- The functions y = k/x and y = √x and their graphsPlot a hyperbola from a table, find which quadrants its branches lie in, find k from a point and plot y = √x.
- Logarithmic identity, change of base, the logarithmic functionUse the basic logarithmic identity, change base, and compare logarithms with a base between 0 and 1. Section: Grade 11, logarithm properties and the logarithmic function; logarithmic equations are in another studio.
- Logarithmic equations and inequalitiesSolve equations with a sum of logarithms, check roots against the domain, substitute t = lg x, find a variable base, and solve inequalities with a base between 0 and 1.
- The function y = x² and its graphMake a table of values for y = x², plot the points, learn the properties of the graph and solve x² = 4 and x² = x + 2 from the graph.
- Properties of a function from its graphFrom the graph of a function on [−4; 7], find its zeros, the intervals where it keeps one sign, an interval of increase and its greatest value. This follows the Ukrainian Year 9 algebra book, section 8 "Properties of a function".
- Graphs of y = ⁿ√x and powers with a rational exponentCompare the graphs of ³√x, ⁴√x and √x, find the domain of an nth root and of a power with a rational exponent, and compare numbers by monotony.
الأشعة
- القطعة المستقيمة الموجّهة وشعاع وشعاع الانسحابارسم الشعاع من بدايته إلى نهايته واقرأ مركبتيه، وجد الأشعة المتساوية والشعاع المعاكس، وانقل شكلًا بانسحاب وفق شعاع.
- جمع الأشعة، ضرب شعاع بعدد حقيقي وشعاع واحدةاجمع الأشعة بطريقة المثلث وبطريقة متوازي الأضلاع، واطرح شعاعًا من آخر، ومدّد شعاعًا واعكسه بضربه بعدد، واكتب أي شعاع بدلالة i⃗ وj⃗.
- الأشعة والحركةاجمع حركات روبوت في حركة واحدة، وأعده إلى البداية بالشعاع المعاكس، وشاهد كيف يغيّر تيار النهر المكان الذي يصل إليه السبّاح.
- Vectors in space: length, distance and direction cosinesA vector in space is the diagonal of a cuboid. Find the length of a vector, the distance between two points, a midpoint and the direction cosines from their coordinates.
- The scalar product and the vector productThe scalar (dot) product of two vectors is a number that tells us the angle between them; the vector (cross) product is a vector perpendicular to both. Work out both and use them.
- Area and volume with the cross productThe length of the cross product of two vectors is the area of their parallelogram. With three vectors, a determinant gives the volume of the parallelepiped.
- Equations of a line and a plane in spaceA line in space is fixed by a point and a direction vector, and a plane by a point and a normal vector. Write their equations and check points against them.
- Angles, intersections and distances in spaceFind the angle between a line and a plane, where a line meets a plane, the distance of a point from a plane and the angle between two planes, using scalar products and equations.
- Vectors in proof and problem solvingSolve the balance point of weighted points, a geometric proof with vectors (the line joining the midpoints of two sides of a triangle) and problems about speed and parallelograms by drawing vectors.
- A vector in the plane: coordinates, length, dot productFind the coordinates and length of a vector, the dot product by coordinates and by angle, the condition for perpendicular vectors and the angle between vectors.
- The dot product of vectors: lengths, angle, coordinatesFind the dot product from lengths and the angle, square a sum of vectors, find the cosine of the angle between vectors and the angle of a triangle from its vertices.
- Vectors in space: sum, scaling, collinear and coplanarAdd vectors with the parallelepiped rule and in coordinates, multiply a vector by a number, and find out when three vectors lie in one plane.
- Vectors on a prism and a cuboid: equal, sums, collinearTell equal, codirectional and opposite vectors apart on a prism, add vectors by the triangle rule, express one vector through others and find collinear vectors by coordinates.
حساب المثلثات
- النسب المثلثية في المثلث القائمكبّر وصغّر مثلثاً قائماً فيه زاوية ٣٥°، وانظر كيف تتغيّر الأضلاع ولا تتغيّر نسبتها. ثم سمِّ الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر لكل زاوية، واحسب ضلعاً وزاوية من جدول للنسب المثلثية، دون آلة حاسبة.
- النسب المثلثية لزوايا خاصةبتنصيف مثلث متساوي الأضلاع ومربع، جد القيم الدقيقة لـجيب وتجيب وظل للزوايا ٣٠° و٤٥° و٦٠°، واربط الظل بميل المستقيم، وحلّ معادلة مثل sin x = ١٢.
- Angles of any size, the unit circle and radiansTurn a point round the unit circle by angles bigger than 90°, negative ones included, read sine and cosine from its position, measure the angle in radians and find exact values such as sin٧π٦.
- Related angles, arcs and sectorsMirror a point on the unit circle to see how the sine and cosine of θ and 180° − θ are linked, use the reference angle to find cos 120°, then work out the length of an arc and the area of a sector with the angle in radians.
- Graphs of sine and cosine, period and amplitudeRead the graphs of sine and cosine: where cosine is zero, how the period and the greatest value change in y = sin ٢x and y = ٢sin x + ١, and how secant and inverse sine are read from the same curves.
- Trigonometric identities and proofUse sin٢θ + cos٢θ = ١ and tanθ = sinθcosθ to find one ratio from another, spot the faulty line in a ‘proof’, and learn what counts as a proof of an مطابقة.
- Compound, double and triple angles, sums and productsUse the addition formulae with exact values to find sin ٧٥°, then work with double and triple angles, turn a sum of sines into a product, and write √٣sin x + cos x as a single sine.
- Trigonometric equations: quadratic and systemsSolve trigonometric equations by finding every angle from 0° to 360°: tan x = −١, quadratic equations in sin x or cos x (one needs an identity first), and a system of two equations in x and y.
- Sine rule, cosine rule, tangent rule and 3DSolve triangles drawn to scale with the علاقة الجيوب, the علاقة الكاشي and the tangent rule, then use right-angled triangles to find an angle in a cuboid.
- Triangle area: sine, Heron and the circlesFind the area of a triangle from two sides and the angle between them, or from three sides with Heron’s formula, then use the area to find the radii of the circle inside and the circle round a triangle.
- Tangent: graph, domain and periodRead y = tan x: its sign in each quadrant, where it is undefined, its period and the solutions of tan x = ١.
- Parity and reduction formulasFind out that sine, tangent and cotangent are odd and cosine is even, then use the reduction rule: when the function changes its name and which sign it gets.
- Properties of trigonometric functionsRead the properties of sine, cosine and cotangent from their graphs: period, parity, zeros, intervals of decrease, domain and range.
- General solutions of trigonometric equationsThe line y = b meets the graph of sine, cosine or tangent in infinitely many points. Write all solutions as a formula with n ∈ ℤ, and in an equation that reduces to a quadratic reject the root that cannot occur.
- Sine, cosine and tangent of an angle from 0° to 180°Define sine and cosine by the coordinates of a point on the unit semicircle, find the values for obtuse angles and use sin²α + cos²α = 1.
- Solving trianglesSolve a triangle in four cases: a side and two angles, two sides and the angle between them, three sides, and two sides with an angle opposite one of them. Section: Grade 9, solving any triangle; right triangles are in the Grade 8 studio.
- Consequences of the cosine ruleThe type of a triangle from its longest side (acute, right or obtuse), the sum of the squares of the diagonals of a parallelogram and a problem about sides AB and BC. This follows the Ukrainian Year 9 geometry book, section 2 "The cosine rule".
- Cotangent, identities and solving right trianglesLearn the cotangent and the main trigonometric identity, solve right triangles from a hypotenuse and an angle or from two legs, and solve practical problems. Section: Grade 8, right triangles; any triangle is in the Grade 9 studio.
الإحصاء
- جمع البيانات وعلامات العد والتمثيل البياني بالصوراسأل رفاقك في الصف، وعُدّ بعلامات العد، وارسم تمثيلًا بيانيًا بالصور.
- التمثيل البياني بالأعمدة والتمثيل البياني بالخطوطارسم تمثيلًا بيانيًا بالأعمدة وتمثيلًا بيانيًا بالخطوط من جدول، واقرأهما، واختر التمثيل المناسب لكل سؤال.
- Tallies, sums with tallies and tens pictogramsSort and count with tally marks, add and take away with tallies, and draw a pictogram where one picture is 10.
- المخطط الدائري والمتوسط الحسابيلوّن المخطط الدائري واقرأه، وسوِّ الأعمدة لتجد المتوسط الحسابي، وميّز البيانات العددية من البيانات بالكلمات.
- المنوال والوسيط والمتوسط الحسابي والمدىرتّب بطاقات البيانات لتجد الوسيط، واقرأ المنوال والمدى من مخطط النقاط، وشاهد المتوسط الحسابي يتحرك عندما تتغير قيمة واحدة، واختر أنسب مقياس.
- قيمة شاذة والمقارنة بين مجموعتي بياناتقارن الوثب الطويل من الثبات في شعبتين بمقياس للنزعة المركزية وبالمدى، واسحب قيمة واحدة بعيدًا وراقب كيف يتغير المتوسط الحسابي والوسيط والمدى، وقرّر هل القيمة الشاذة خطأ أم حقيقية.
- البيانات المبوبة، المدرج التكراري والمضلع التكراريوزّع الأطوال على فئات متساوية الطول، وأكمل جدولًا تكراريًا فيه التكرارات النسبية، وارسم مدرجًا تكراريًا أعمدته متلاصقة، وصِل مراكز الفئات لتصنع مضلعًا تكراريًا.
- متوسط البيانات المبوبة والتكرار المتجمعقدّر المتوسط الحسابي للبيانات المبوبة بعمود «مركز الفئة × التكرار»، واجمع متوسطي شعبتين بطريقة صحيحة، وابنِ عمود التكرار المتجمع وخطه البياني، واقرأ الوسيط من الخط البياني.
- البيانات ثنائية المتحول ومخطط الانتشارمثّل أزواج البيانات، وسمِّ نوع البيانات، وصِف الارتباط، واسحب أقرب مستقيم إلى النقاط، وتنبّأ به، وميّز الارتباط من السبب والنتيجة.
- المجتمع الإحصائي والعينة وجمع البياناتخذ عينات عشوائية من ١٠ ومن ٥٠ تلميذًا من مدرسة فيها ٦٠٠ تلميذ، وقارنها بالمدرسة كلها. اكتشف العينة المتحيزة، واختر الطريقة المناسبة لجمع البيانات لكل سؤال.
- الانحراف المتوسطشاهد بُعد كل نقطة عن المتوسط الحسابي، واحسب متوسط هذه الأبعاد، واعرف لماذا يكون مجموع الفروق بإشاراتها صفرًا دائمًا، وقارن بين مجموعتي بيانات بحسب تشتتهما.
- Quartiles and box plotsCut ordered data into four equal parts, find Q₁ and Q₃, mark the five numbers of a box plot and measure the middle half with the interquartile range.
- Variance, standard deviation and coefficient of variationMeasure spread with the squared distances from the mean: variance, standard deviation, and the coefficient of variation for comparing spreads in different units.
- The shape of data and the normal curveRead the shape of a histogram (symmetric or skewed), see how skew pulls the mean away from the median, and use the 68–95–99.7 rule for bell-shaped data.
- Correlation and the regression lineRead the strength of a correlation from r, find the mean point, set the regression line with its gradient and intercept, and predict inside the data.
- Stem-and-leaf diagrams and time seriesWrite data in a stem-and-leaf diagram and read it, then draw a time series as a line graph and smooth it with a moving average.
- Unequal class widths and two-variable dataDraw a histogram with classes of different widths using frequency density, read the frequency back from a bar, and read two variables of the same people on one graph.
- Poverty line, price index and inflationFind a poverty line from the median income, work out a price index, and see what inflation does.
- Trend, interpolation and extrapolationRead the pattern and trend of a time series, estimate a value between recorded ones (interpolation) and beyond them (extrapolation).
- Collecting data, scale and line graphsTally the answers of a survey, choose a good scale for a graph axis and read a 12-month temperature line graph.
- Percentages in statistics and probabilityWrite the result of a survey as a percentage, find a percentage from the angle of a pie sector, draw a percentage pie and write a probability as a percentage.
- Types of variable, collecting data and estimationTell qualitative from quantitative and discrete from continuous variables, take a stratified sample, find the fair questionnaire question and تقدير a population mean from a sample.
- Data tables: reading and fillingRead a simple table, find the biggest value, work out the difference and fill a table from the data.
- Sorting by a signSort things into groups by colour and by shape, count each group and find the biggest.
الاحتمال
- الفرصة: أكيد، ممكن، مستحيلاسحب قطعاً من كيس، وأدر القرص الدوّار، وارمِ حجر النرد. قل هل كل حدث أكيد أو ممكن أو مستحيل.
- الاحتمال التجريبي والاحتمال النظريأدر القرص، وارمِ غطاء القارورة وحجر النرد: ١٠ مرات، ثم ١٠٠ مرة، ثم ١٠٠٠ مرة. وشاهد التكرار النسبي يستقر قرب الاحتمال.
- فضاء العينة والأحداث المركّبة والحدث المتمماكتب كل نتائج قطعة نقدية مع قرص دوّار، وقطعتين نقديتين، وحجري نرد. جد الخانات المناسبة في جدول ٦ × ٦، واحسب احتمال ألّا يقع حدث من احتمال وقوعه.
- مخطط فن والأحداث والجدول ذو المدخلينصنّف صفاً من ٣٠ تلميذاً بحسب كرة القدم والشطرنج في مخطط فن، وانقل البيانات نفسها إلى جدول ذو مدخلين وبالعكس، وانظر إلى الأحداث (حدث) على أنها مجموعات، واحسب احتمال «أو» بقاعدة الجمع.
- شجرة الاحتمالات ومبدأ الضرب والأحداث المستقلةارسم أشجاراً لتعدّ الملابس ونتائج سباق، واكتب الاحتمالات على الفروع، واضرب على طول المسار، واجمع المسارات، وانظر ماذا يتغيّر عندما لا نعيد الخرزة.
- The rules of probability, continuous outcomes and expected countsAdd the probabilities of outcomes that cannot happen together, find which lists can be probabilities, work out a probability as a part of a length, and predict how many times something happens.
- Conditional probabilityUse a table, a Venn diagram and a tree to work out the probability of one event when you already know another, see why the order of "given" matters, and meet dependent events.
- Independent events and total probabilityTest whether two events are independent with a table, see why events that cannot happen together are not independent, and add the paths of a tree to find the probability of an outcome that can arise in several ways.
- Random variables and expected valueGive every outcome of two dice a number, find the probability of values of that number, work out the average of a die, and decide how much a game is worth per throw.
- Unequal chances and Bayes' lawGive each outcome its own weight and add them. Then read a tree backwards: a bad bolt is found, which machine made it?
- Binomial and Poisson distributionsCount the paths of a tree that give exactly k successes, see where the binomial formula comes from, and use the Poisson formula for events that arrive at random.
- The normal distribution and z-scoresMark distances from the mean in standard deviations on a number line, use the 68–95–99.7 rule, work out a z-score, and find the probability in a tail.
- Sample means, sample proportions and the central limit theoremSee that the means of samples are far less spread out than single values, work out the standard error of a mean and of a proportion, and use the central limit theorem to find a probability.
- Probability and combinationsFind the probability of an event with P(A) = m : n when the outcomes of a choice are counted with combinations Cₙᵏ and arrangements Aₙᵏ.
المجموعات والمنطق
- المجموعات: العناصر، والمجموعات الجزئية، والاجتماع، والتقاطع، والمتممةوزّع بطاقات الأعداد في أشكال مخطط فن البيضوية، واكتب المجموعات بين قوسين { }، وظلّل الاجتماع والتقاطع والفرق، وعُدّ بمساعدة المخطط.
- Arrangements and groups: permutations and combinationsGrow the tree of arrangements to count who can win gold and silver, line friends up in a row, then see why a group of people is counted fewer times than an arrangement.
- The binomial theorem and Pascal's triangleSee (a + b)³ as three brackets and count the paths that give each term, read the coefficients from Pascal's triangle, and use them for expansions with numbers.
- Counting without double counting, and the pigeonhole principleCount the pupils in two clubs without counting the ones in both twice, count the multiples of 2 or 3, then use the pigeonhole principle to be sure that two things share a box.
- Open sentences, subsets and the laws of setsTell statements from open sentences, build the solution set of an open sentence, count subsets, and check the distributive and absorption laws on a Venn diagram.
- Statements, and, or, not and if…thenDecide which sentences are statements, use and, or and not correctly, test a promise "if … then …" and find the contrapositive.
- Quantifiers, valid arguments and De MorganNegate "all", draw "every multiple of 6 is a multiple of 3", tell valid arguments from invalid ones and use De Morgan's laws on sets.
- Proof: direct, cases, contradiction and inductionProve that odd + odd is even with algebra, check a claim by splitting it into cases, prove that there is no largest even number by contradiction and take the induction step for the odd numbers.
- Ordered pairs, relations and equivalenceMark A × B as points, pick out a relation, reverse it to get the inverse and see why "same remainder" is an equivalence relation.
- Counting with repeats: arrangements, groups and stars and barsArrange marbles of the same colour in a row, count codes with repeated digits, split students into rooms and count flower bunches with stars and bars.
- Set-builder notation and matching infinite setsKnow ℕ, ℤ, ℚ and ℝ, list the members of a set from its condition, write the condition for a set, and see why the evens and the naturals are "the same size".
- Binomial coefficients, Pascal's triangle and proof by countingSplit groups of friends into two kinds, prove Pascal's rule by counting, and see why each row adds up to a power of 2.
- Graphs: vertices, edges and degreeRead a graph: find the degree of each vertex, compare the sum of the degrees with the number of edges, and see why some graphs cannot exist.
- Graphs: dominating setsPlace stations so that every point of the map is covered, and find the fewest that will do: the domination number of the graph.
- Rules of sum and product, Pₙ, Aₙᵏ and CₙᵏTell the rule of sum from the rule of product, use the textbook formulas for permutations, arrangements and combinations, and solve an equation with factorials.
- Combinatorial problems: listing, the tree and the product ruleFind all the ways to place three girls on floors, grow a tree of options and find out why the number of ways is found by multiplying.
- The rule of sum and the rule of productIn how many ways can we choose "a or b" and "a and b": the sum rule, the product rule, pairs (a; b), a road scheme and problems about digits. This follows the Ukrainian Year 9 algebra book, section 20 "Basic rules of combinatorics".
الأعداد العقدية
- Complex numbers: i, adding, multiplying, dividingMeet the number i with i² = −1, add complex numbers as points on the plane, multiply them like brackets and divide with the conjugate.
- Quadratics and polynomials with complex rootsSee why x² + 4x + 13 = 0 has no real roots, solve equations whose roots are complex, plot them on the plane and find the missing root of a cubic.
- The Argand diagram: modulus, argument and turningRead complex numbers as points on the Argand diagram, find their modulus and argument, reflect them in the real axis and multiply by turning and stretching.
- Powers, roots and circles in the Argand diagramUse e^{iθ} as a point on the unit circle, raise numbers to powers with De Moivre, find the four roots of a number as a square and draw a circle with |z − c| = r.
المصفوفات
- Matrices: order, entries and special typesRead a matrix like a table: find an entry by its row and column, state its order and build the zero, identity and diagonal matrices.
- Adding, scaling, multiplying and transposing matricesAdd and subtract matrices of the same order, multiply by a scalar, multiply row by column, and turn rows into columns.
- DeterminantsWork out 2 × 2 and 3 × 3 determinants, see what swapping rows does, and see how the determinant scales areas.
- Inverse matrices and solving systemsFind the inverse of a 2 × 2 matrix from its determinant, find a 3 × 3 inverse by row operations, and solve a system with it.
- Cramer's rule and Gauss eliminationSolve a system with determinants (Cramer), then by row operations (Gauss), and see how a zero determinant gives parallel lines.
- Matrices as transformationsA matrix moves the points of the plane: apply it to a point, build it from the images of i and j and find the points it leaves in place.
التفاضل والتكامل
- Limits: getting close to a numberFill in a table of values close to a point where a function is undefined, read the limit from the graph, and see why the left-hand and right-hand limits must agree.
- Working out limits: laws, 0 over 0 and sineWork out limits of sums and products from graphs, open up the 0 over 0 form by factorising and cancelling, and meet the sine limit.
- Infinite limits and limits at infinitySee why ١x٢ grows huge near zero, draw a horizontal asymptote, and open up the forms ∞ ÷ ∞ and ∞ − ∞.
- Continuity and rate of changeSee when a graph can be drawn without lifting the pen, find the k that makes a function continuous, and squeeze an average rate of change down to an instantaneous one.
- From secant to tangent: what a derivative isSlide a point Q along the graph towards P, watch the gradient of the secant in a table settle on the gradient of the tangent, draw the tangent, and see why a corner has no derivative.
- The rules of differentiationTry the power, product, quotient and chain rules on a number at one point, and check them against tangents and normals on a graph.
- Derivatives of sine, exponentials, logs and inversesTest the derivative of sin x near zero, draw the tangent to ex, use ln x as the mirror image of ex to find its derivative, and carry the inverse-function rule over to arctan.
- Implicit, parametric and second derivatives, and connected ratesFind the gradient of a circle at a point by implicit differentiation, work out the gradient of a parametric curve, take a second derivative, and see how a changing side makes the area change.
- Tangent equation and greatest and least value on an intervalWrite the tangent equation with y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), find a tangent parallel to a given line and one through a point off the curve, then find the greatest and least value of a function on [a;b].
- The sign of the derivative and the shape of the graphUse the sign of f′(x) to find where a graph rises and falls, place the stationary points, find the point of inflection with f″(x) and work out a maximum value.
- Rolle, l'Hôpital and Maclaurin seriesFind where the tangent is horizontal, find the point of the mean value theorem, take a 0/0 limit with derivatives and find a coefficient of the Maclaurin series of cosh x.
- Estimating area, Riemann sums and the trapezium ruleEstimate the area under y = x² with thin rectangles and with trapezia, and see which number the estimates head for as the strips get narrower.
- From antiderivative to definite integralFind an antiderivative and see why +C is needed, evaluate a definite integral with F(b) − F(a), find the mean value of a function and meet the integral of ١x.
- Methods of integrationChange the variable and the limits together, integrate by parts, split a fraction into partial fractions, pick a trigonometric substitution and decide whether an improper integral has a value.
- Areas, volumes and arc lengths by integrationUse the التكامل المحدد to find the area under a curve and between two curves, a volume of revolution, an arc length and a polar area.
- Differential equationsWrite a rate of change as a differential equation, find the solution y = Cekx on a graph and solve a separable equation with a starting condition.
- Curve sketching and optimisationFind the asymptotes and key points of a graph, then use a maximum to solve problems such as the largest area and the largest volume.
- A research plan for sketching a graphStudy a function by a plan: domain, parity, zeros, increasing and decreasing, extreme points, then mark the key points of the graph.
- The monotony schemeFrom the signs of the derivative on every gap, mark with arrows where the function rises ↗ and falls ↘, and find the extreme points.
حل المسائل
- حل المسائل: ارسم شكلاًاقرأ المسألة. قل ماذا تعرف وماذا تريد أن تجد. ارسمها، ثم حلّها.
- حل المسائل: كتابة جملة عدديةحوّل القصة إلى جملة عددية. ضع مربعاً □ مكان العدد الذي لا تعرفه، ثم جده.
- حل المسائل: النمذجة والنمط والاستبعاد والتخمينأربع طرائق لحل مسألة: اكتب كل الحالات بترتيب، وجد النمط، واشطب ما لا يمكن أن يكون، وخمّن وتحقّق وحسّن تخمينك.
- حل المسائل: التجزئة والمسألة الأبسط والقائمة المنظمةجزّئ مسألة كبيرة إلى خطوات، وحلّ نسخة أبسط أولاً، واكتب كل الحالات بترتيب، واختر خطة الحل بنفسك.
- حل المسائل: grade 7 strategiesPractise systematic listing, sub-problems and simpler problems with money problems and larger numbers.
- حل المسائل: profit and enough informationFind a shopkeeper's profit with a table, and decide which numbers a problem needs, which it does not, or when one is missing.
- Problem: short record and solutionWrite the condition briefly, make an equality, solve the problem in one or two steps and write the answer.
- Problems: times as many, how many more, the inverse problemMake a number several times bigger, compare by «how many times», solve indirect problems and inverse problems. Section: Grades 2-3, "times as many", "how many more", inverse problem; price/quantity/cost tables are in another studio.
- Table problems: price, quantity, costWrite the short record as a «price, quantity, cost» table and solve problems on the sum, difference and ratio of two products. Section: Grade 3, table problems price/quantity/cost; "times as many" problems are in another studio.
- Compound problemsTell simple from compound problems, then write the solution by actions and as one expression with brackets.
- Compound problems with multiplication and divisionSolve compound problems: the remainder, sums and differences of products, and several times more or fewer.
- Compare the problems: what changed?Compare two related problems, predict how the solution changes, and solve the changed one.