کاوشگر
تمام کارگاه‌ها، از ساده به مشکل.
اعداد و قیمت مقامی
- شمارش و مقایسه اعداد تا ۱۰سیب‌ها را جوره کنید، بشمارید و مقایسه کنید. بعد علامه‌های <، > و = را بشناسید.
- اعداد ۱۰ تا ۲۰: یک ده و چند یکبا دو چوکات ده اعداد ۱۰ تا ۲۰ را بخوانید و بسازید. یکی زیادتر، عدد بین، و عدد ترتیبی.
- خط اعداد و شمارش متناوباعداد را بالای خط اعداد پیدا کنید. دو دو، پنج پنج و ده ده پیش بروید و اعداد جفت و تاق را بشناسید.
- قیمت مقامی: ده‌ها و یک‌ها، اعداد دورقمیده یک را به یک ده عوض کنید. با ده‌ها و یک‌ها اعداد را تا ۱۰۰ بسازید و بخوانید.
- اعداد سه‌رقمی و چهاررقمی و شکل توسعه‌ییبا چوت اعداد تا ۱۰۰۰۰ را بسازید، بخوانید و به شکل توسعه‌یی بنویسید؛ بعد دو عدد را از بزرگ‌ترین خانه مقایسه کنید و با ارقام رومی آشنا شوید.
- اعداد بزرگ، تقریب و تخمیناعداد ملیونی را طبقه به طبقه بخوانید و بسازید، اعداد را به نزدیک‌ترین ده، صد یا هزار تقریب کنید و پیش از حساب، حاصل را تخمین کنید.
- تقریب زدن و محاسبهٔ تقریبیعددها را به ده‌تا و صدتا نزدیک کن و جواب جمع و تفریق را بدون حساب دقیق حدس بزن.
- اعداد تام (مثبت و منفی)محور اعداد را از صفر به طرف چپ ادامه بدهید. درجهٔ حرارت زیر صفر و عمق زیر سطح بحر را نشان بدهید و با خیز جمع و تفریق کنید.
- تقریب کسرهای اعشاریبین دو همسایهٔ یک عدد را کلان ببینید و پیدا کنید که عدد به کدام نزدیک‌تر است: تا یک‌ها، تا دهم‌ها و تا صدم‌ها.
- قاسم‌ها، مضرب‌ها و اعداد اولیهدانه‌ها را به شکل مستطیل بچینید تا قاسم‌های یک عدد را پیدا کنید. ببینید چرا بعضی اعداد فقط یک مستطیل دارند.
- قابلیت تقسیم، بزرگ‌ترین قاسم مشترک، کوچک‌ترین مضرب مشترک و طاقتدر جدول اعداد مضرب‌ها را رنگ کنید و قاعده‌های قابلیت تقسیم را کشف کنید. بعد قاسم و مضرب مشترک، مربع عددها و طاقت.
- ضرب و تقسیم اعداد تام و قیمت مطلقهاعداد منفی را با خیز بالای خط اعداد ضرب و تقسیم کنید، الگوی علامه‌ها را پیدا کنید و فاصله از صفر را اندازه بگیرید.
- اعداد نسبتی: مقایسه و چهار عملیهکسرها و کسرهای اعشاری منفی را بالای یک محور اعداد بگذارید، آن‌ها را مقایسه کنید و بعد با حرکت و بزرگ‌نمایی بالای خط جمع و ضرب کنید.
- غربال عددهای اولعددهای ۱ تا ۵۰ را بنویس و مضرب‌ها را خط بزن تا فقط عددهای اول بمانند. بعد بفهم تا کجا باید غربال کنی.
- تفریق عدد منفیهر تفریق را به جمع تبدیل کن، تفریق یک عدد منفی را روی محور ببین و جمع و تفریق دو رقمی را یکان و دهگان جدا حساب کن.
- توان عدد منفی و رشد با دو برابر شدنترتیب عمل‌ها را با توان رعایت کن، فرق (−۳)² و −۳² را بفهم و ببین چرا هر بار دو برابر شدن خیلی زود به عددهای بزرگ می‌رسد.
- تجزیه به اجزای ضربی اولیه، قاسم و مضرب مشترک و جذردو عدد را با درخت به اجزای ضربی اولیه تجزیه کنید. از اجزای ضربی مشترک بزرگ‌ترین قاسم مشترک و کوچک‌ترین مضرب مشترک را بسازید و با جوره و سه‌تایی کردن اجزای ضربی، جذر مربع و جذر مکعب را پیدا کنید.
- قوانین طاقت، طاقت صفر و طاقت منفیاعداد طاقت‌دار را به شکل ضرب عوامل بالای یک خط کسر بنویسید: در ضرب، عوامل را کنار هم بگذارید؛ در تقسیم، عوامل مساوی بالا و پایین را قلم بزنید؛ و ببینید چرا a۰ = ۱ است و توان‌نمای منفی یعنی کسر.
- تقسیم عددهای گویامعکوس یک عدد گویا را پیدا کن و تقسیم عددهای گویای علامت‌دار را به ضرب تبدیل کن. ببین چرا تقسیم بر صفر معنا ندارد.
- ریشهٔ nام و توان‌های گویاریشهٔ nام را با توان بشناس: ریشهٔ زوج و فرد، ضرب ریشه‌ها، و بعد توان کسری مثل ۲۷۱۳ و ۸۲۳.
- روش علمی عددنویسیارقام را با ÷۱۰ و ×۱۰ جابه‌جا کنید تا فقط یک رقم غیرصفر پیش از ممیزه بماند و ببینید توان ۱۰ چطور تعداد جابه‌جایی‌ها را می‌شمارد.
- جذر دوم تقریبی و اعداد حقیقی بالای خط اعدادجذر دوم یک عدد را بین دو عدد تام پیدا کنید، با مربع کردن تا دهم و صدم نزدیک شوید و اعداد ناطق و غیر ناطق را بالای خط اعداد حقیقی از هم جدا کنید.
- اعداد جذردار و ساده ساختن آن‌هاعدد تحت جذر را به عوامل اولیه تجزیه کنید و هر جوره را بیرون بیاورید: √۱۲ = ۲√۳. جذرها را ضرب کنید، جذرهای مشابه را جمع کنید و مخرج را ناطق کنید.
- طریقهٔ اقلیدس برای بزرگ‌ترین قاسم مشترکبزرگ‌ترین قاسم مشترک دو عدد را با یک زنجیر از تقسیم‌ها پیدا کنید، بدون این‌که قاسم‌ها را بنویسید.
- قدر مطلق عددهای حقیقی و محاسبهٔ تقریبیقدر مطلق را فاصله از مبدأ ببین، سه حالت a مثبت و صفر و منفی را بشناس، قدر مطلق مجموع را با مجموع قدر مطلق‌ها مقایسه کن و با جذر تقریبی حساب کن.
- ویژگی‌های ریشه، توان گویا و معادله‌های رادیکالیریشهٔ خارج‌قسمت و ریشهٔ ریشه را پیدا کن، ریشه‌های با فرجام‌های مختلف را مقایسه کن و یک معادلهٔ رادیکالی را با مربع کردن، بررسی شرط و جای‌گذاری حل کن.
- اعداد به حروف: ده‌هزارها، صدهزارها و ملیارداعداد بزرگ را بسازید و بخوانید: اعداد پنج‌رقمی، صدهزار و اعداد بعد از ملیون.
- ریشه‌گیری: ریشهٔ دوم و سوم و علامت آن‌هابشمار چند عدد مربعشان یک عدد مثبت است، بفهم چرا ریشهٔ دوم عدد منفی معنا ندارد ولی ریشهٔ سوم دارد، و ببین چرا جذرِ مربع یک عدد همان قدر مطلق آن است.
- تقریب زدن عددها روی محورعدد را روی محور اعداد پیدا می‌کنیم و می‌بینیم به کدام ده‌تایی، صدتایی یا هزارتایی نزدیک‌تر است. عدد وسط به سمت بزرگ‌تر تقریب زده می‌شود.
- عددها با حروفعددهای دو و سه رقمی را از ده‌تایی‌ها و یکی‌ها بساز و با حروف بخوان و بنویس.
- بخش‌پذیری در اعداد صحیحالگوریتم تقسیم، ویژگی‌های بخش‌پذیری و نوشتن ب.م.م دو عدد به‌صورت ترکیبی از خود آن دو عدد.
- جدول عددها و شمارش چندتا چندتاروی جدول عددها سه‌تا سه‌تا، چهارتا چهارتا، شش‌تا شش‌تا و هفت‌تا هفت‌تا جلو برو و با میله‌ها جمع تکراری را ببین.
- هم‌نهشتی در اعداد صحیحعددهایی که در تقسیم بر یک عدد باقی‌مانده یکسان دارند، «هم‌نهشت» هستند. ببین چطور با آن‌ها حساب کنیم.
- ارزش مکانی عددهای اعشاریعدد اعشاری را در جدول ارزش مکانی با ستون‌های یکان، دهم و صدم بنویس و بخوان، و با نمایش گسترده بساز و مقایسه کن.
- تقریب: گرد کردن و قطع کردنیک عدد را با تقریب کمتر از ۱۰، ۱۰۰، ۱، ۰/۱ با دو روش «گرد کردن» و «قطع کردن» تقریب بزن، تشخیص بده کدام گرد شده است، کسر را تقریب بزن و حاصل‌ضرب را تخمین بزن.
- ترکیب عددهای ۶ تا ۹ و صفرعددهای ۶، ۷، ۸ و ۹ را با مهره‌ها به دو قسمت تقسیم کن. بعد ببین اگر همه چیز برداشته شود یا هیچ چیز برداشته نشود چه می‌شود.
- کارت تجزیه و نوارهادو قسمتی را که ۶ را می‌سازند بنویس و نواری از ۷ خانه بساز.
- ویژگی‌های ریشهٔ دومریشهٔ دوم مجذورها، حاصل‌ضرب‌ها، خارج‌قسمت‌ها و توان‌ها را با ویژگی‌های ریشهٔ دوم پیدا کن.
- دنبالهٔ عددهای طبیعی و نیم‌خط عددیعدد قبل از یک عدد را پیدا کن، بفهم چرا بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود ندارد، نقطهٔ K(5) را روی نیم‌خط عددی نشان بده و یک مقیاس را بخوان.
- تقسیم با باقی‌مانده و بخش‌پذیری بر ۹ و ۳بفهم چرا باقی‌مانده از مقسوم‌علیه کوچک‌تر است، مقسوم را با a = bq + r بساز و بخش‌پذیری بر ۹ و ۳ را با مجموع رقم‌ها بسنج.
عملیه‌های چهارگانه
- جمع و تفریق تا ۱۰سیب‌ها را یکجا کنید، بردارید و مقایسه کنید. با دو عدد، ۱۰ بسازید.
- جمع و تفریق تا ۲۰ و گذشتن از دهاول ۱۰ را پر کنید، بعد باقی را بگذارید. سه عدد را جمع کنید، جای عددها را عوض کنید و چهار جملهٔ یک خانوادهٔ عددی را پیدا کنید.
- جمع و تفریق ذهنی بالای خط اعدادهر جمع و تفریق را با حرکت بالای خط اعداد نشان بدهید: اول ده‌ها، بعد یک‌ها، یا اول تا ده بعدی.
- ضرب و تقسیم با گروههای مساویسیبها را در گروههای مساوی بگذارید، قطارها بسازید و ببینید ضرب و تقسیم چطور با هم ارتباط دارند.
- جدول ضربضربها را با شکل بیاموزید و با بازی تمرین کنید: اول ۲، ۵ و ۱۰، بعد صفر و یک، بعد باقی جدول ضرب.
- ضرب و تقسیم یک عدد به ۱۰، ۱۰۰ و ۱۰۰۰وقتی عددی را به ۱۰ ضرب میکنید، هر رقم یک خانه به طرف چپ میرود؛ وقتی بر ۱۰ تقسیم میکنید، یک خانه به طرف راست. این را در جدول قیمت مقامی ببینید، اول با اعداد طبیعی و بعد با کسرهای اعشاری.
- جمع و تفریق عمودیاعداد را زیر هم بنویسید و مرتبه به مرتبه جمع و تفریق کنید؛ حاصل را به مرتبهٔ بعدی ببرید، از مرتبهٔ پهلو قرض بگیرید و جواب را امتحان کنید.
- ضرب به شکل عمودیضرب را به شکل عمودی بنویسید: اول ضرب به یک عدد یکرقمی با رقم یادداشتشده بالای ستون، بعد ضرب اعداد دورقمی به دورقمی، و در آخر ضرب کسرهای اعشاری.
- تقسیم با باقی‌مانده و تقسیم طولانیتقسیم را رقم به رقم بنویسید، ببینید باقی‌مانده چیست و در سوال با آن چه کنید، و تقسیم را با ضرب امتحان کنید.
- تکمیلی: جمع و تفریق اعداد با چوتبا مهرههای چوت اعداد دورقمی را جمع و تفریق کنید. ده مهرهٔ یکی‌ها را به یک مهرهٔ دههها عوض کنید، و برعکس.
- ضرب عددهای رند و محاسبهٔ اعشاریضرب عددهایی که صفر آخر دارند (۴۰×۳۰ و ۶۵۰×۳۰۰)، جمع و تفریق ستونیِ عددهای اعشاری، و ضرب دو عدد اعشاری با شمردن رقمهای اعشار.
- ضرب ستونی در عدد چندرقمی و عدد گردبا حاصلضربهای جزئی در عدد سه‌رقمی، عددی که صفر دارد و عدد گرد ستونی ضرب کن.
- ضرب با مکعبها: هر بخش را جدا ضرب کناول ضرب در عددهای ده‌تایی، بعد ضرب عدد چندرقمی در یک عدد یکرقمی با مکعبهای صدتایی، ده‌تایی و یکی: هر بخش را جدا ضرب می‌کنیم و حاصلها را جمع می‌کنیم.
- جمع و تفریق چهاررقمی با مکعبهای هزارتاییجمع و تفریق عددهای چهاررقمی در جدول ارزش مکانی با مکعبهای یکی، ده‌تایی، صدتایی و هزارتایی، با تبدیل ده تا به یکی در ستون بعد.
- شمردن دستهای و مسئلههای ضربشمردن با گامهای ۷ و ۲۰۰، «چند برابر» در داستانها، تبدیل دلار به تومان و مسئلههای سرعت با ماشین ضرب.
- اجزای تساوی: جمعشونده، حاصل جمع، حاصل تفریقروی خط عددی تکهتکه جمع و تفریق کن، نام اجزای تساوی را یاد بگیر و تفریق را با جمع پیدا کن.
- عدد نامعلوم و تغییر حاصل جمعجمعشوندهٔ نامعلوم و عددهای نامعلوم تفریق را با قاعده پیدا کن، عبارتها را بدون حساب مقایسه کن و ببین حاصل جمع چطور عوض می‌شود.
- عددهای دو رقمی: رقمبهرقم، تکهتکه و ترفند گرد کردنعددهای دو رقمی را رقمبهرقم و تکهتکه جمع و تفریق کن و ۳۸ + ۹ را با کمک ۱۰ حساب کن و یکی اضافه را برگردان.
- جدول ضرب و بستگی نتیجه به عددهاجدول ضرب را بررسی کن، پشت سر هم ضرب و تقسیم کن و ببین حاصل‌ضرب و خارج‌قسمت چطور به عددها بستگی دارند.
- روش‌های ذهنی: رقمبهرقم، گرد کردن، تقسیم تکهتکهعددها را رقمبهرقم و با گرد کردن جمع و تفریق کن، عددها را بشکن و تقسیم کن و عددهای گرد را با واحدهای ارزش مکانی تقسیم کن.
- راههای هوشمندانه برای ضرب و تقسیمضرب و تقسیم در ۵، ۲۵، ۵۰، ۱۱، ۱۰۱، ۹ و ۹۹ را با راههای آسان انجام بده.
- قانونهای عمل‌ها و محاسبهٔ هوشمندانهبا خاصیتهای جابهجایی، شرکتپذیری و پخشی، حساب کردن را آسان کن و عبارتها را با عددهای گویا ساده کن.
- عبارت، تساوی، نابرابریعبارت و تساوی و نابرابری را از هم تشخیص بده، تساویهای نادرست را خط بزن و عبارتها را بدون محاسبه مقایسه کن.
- تقسیم با باقی‌مانده بر ۱۰ و ۱۰۰با پوشاندن رقمهای سمت راست بر ۱۰ و ۱۰۰ با باقی‌مانده تقسیم کن و عددهای مختوم به صفر را با خط زدن صفرهای برابر تقسیم کن.
- زنجیرهٔ عملهاپیکانها را دنبال کن: یک عدد در دایره و یک عمل روی پرچم. عدد آخر زنجیره را پیدا کن و پرچمِ پاکشده را برگردان.
- جدولهای جمعجدول جمع ۱ و ۲ و ۵ و ۷ را بخوان، نتیجهها را بپوشان و دوباره بنویس. بعد جمعهای دهگان دوم (۱۱ تا ۲۰).
- تفریق ۶ و ۷ و ۸ و ۹عدد اول را به صورت جمع دو عدد مناسب بنویس که یکیشان با عدد دوم برابر است. آنوقت جمعشونده دیگر میماند.
- جمع و تفریق یک حاصلجمعیک حاصلجمع را به عدد اضافه کن، از عدد کم کن و یک عدد را از حاصلجمع کم کن؛ تساویها را با پرانتز بنویس.
کسرها
- کسر چیست؟یک چیز را به بخشهای مساوی تقسیم کنید و با کسر نشان دهید چند بخش را گرفتهاید.
- کسر بالای خط اعدادکسرها هم عدد هستند و هر کدام جای خود را بالای خط اعداد دارد. فاصلهٔ صفر تا یک را به حصههای مساوی ببینید و نقطه قرار دهید.
- کسرهای معادلیک مقدار را میتوان با کسرهای مختلف نشان داد. ببینید که وقتی حصهها کوچک‌تر یا بزرگ‌تر میشوند، کسر تغییر میکند، اما مقدار تغییر نمیکند.
- مقایسهٔ کسرهاکدام کسر بزرگ‌تر است؟ نوارها را زیر هم بگذارید و ببینید رنگ کدام یک پیشتر رفته است.
- جمع و تفریق کسرهاکسرها را بالای نوار پهلوی هم بگذارید، جمع و تفریق کنید. وقتی مخرجها فرق دارند، اول حصهها را هماندازه بسازید.
- ضرب و تقسیم کسرهابا نوار ببینید که ضرب در کسر یعنی «چند بار» یا «چه کسری از»، و تقسیم بر کسر یعنی «چند مرتبه شامل است».
- کسر اعشاریدهمها و صدم‌ها را بالای خط اعداد پیدا کنید و ببینید کسر اعشاری چطور نوشته و خوانده می‌شود.
- تقسیم و کسرتقسیم را رقم به رقم بنویسید و ببینید که هر کسر در اصل یک تقسیم است و آن را میتوان به کسر اعشاری تبدیل کرد.
- کسری از یک مقدارسیبها را مساوی تقسیم کنید و چند حصه را بگیرید. بعد یک طرز تهیهٔ غذا را بزرگ و کوچک کنید.
- فیصد و تبدیل کسر، اعشاری و فیصدفیصد یعنی «چند از صد». با مربع صدخانهای و نوار ۱۰۰٪ ببینید که کسر، عدد اعشاری و فیصد سه نام برای یک مقدار هستند.
- ضرب و تقسیم کسرهای مخلوطبا نوارها ببینید که ضرب و تقسیم عدد مخلوطها چطور کار میکند و در یک افاده اول کدام عملیه را انجام دهید.
- تقسیم کسرهای اعشاری و کسرهای اعشاری متوالیتقسیم اعشاری را به تقسیم اعداد صحیح تبدیل کنید، تقسیم را ادامه بدهید تا ببینید کجا رقم‌ها تکرار میشوند، و یک کسر اعشاری متوالی را به کسر عام تبدیل کنید.
- کسرالکسرکسری که صورت یا مخرج آن کسر است: یک کسر را بالای نوار تقسیم کنید، کسر در کسر را بشمارید و با معکوس کسر پایین تقسیم کنید.
- تفریق عدد مخلوط و محاسبه با کسرعددهای مخلوط را از هم کم کن، یک واحد را در صورت نیاز به کسر باز کن، عبارتهایی با کسر مرکب را حل کن و یک دستور پخت را برای تعداد بیشتری لیوان بزرگ کن.
- قسمتی از یک عدد و پیدا کردن عدد از روی قسمتشقسمتی از یک عدد را پیدا کن و از روی قسمت، کل را به دست بیاور: اول یک قسمت، بعد کل یا چند قسمت.
- کسر بزرگ‌تر از واحد، پیدا کردن عدد از روی کسرش، درصد و مقدار تقریبی اعشاریکسر بزرگ‌تر از واحد را روی نوارها نشان بده، از روی مقدار یک کسر یا یک درصد کل را پیدا کن، یک عدد را به‌صورت درصدی از عدد دیگر بنویس و کسر را تا رقم صدم گرد کن.
- کسری از واحدهای اندازه‌گیری۶ سانتیمتر چه کسری از یک متر است و ۳ ماه چه کسری از یک سال؟ کسری از یک واحد را با واحد کوچک‌تر بنویس و با عدد همراه با واحد مقایسه کن.
نسبت و تناسب
- نسبت و تقسیم به اجزای متناسبهبا نوار دورنگه ببینید که ۲:۳ یعنی چه، نسبتها را ساده کنید و یک مقدار را به نسبت دادهشده تقسیم کنید.
- تناسب و احدیتبا جدول تناسب، مقدار مجهول را پیدا کنید: اول مقدار برای یک واحد، بعد برای هر مقدار دیگر. در آخر تناسب معکوس.
- بزرگسازی و اشکال متشابهیک شکل را با نسبت معلوم بزرگ کنید، اشکال متشابه را پیدا کنید، نسبت تشابه را بخوانید و یک شکل متشابه رسم کنید.
- فیصدی تغییر، ضریب و قیمت اصلیمقدار اول یک نوار ۱۰۰٪ است. زیادشدن نوار را درازتر میکند (۱۲۰٪) و کمشدن، کوتاهتر (۸۵٪). با نوار ضریب، فیصدی تغییر و قیمت اصلی را پیدا کنید.
- اندازهٔ فی واحد، قیمت فی واحد و کثافتبا جدول نسبت، مقدار «برای هر یک» را پیدا کنید: قیمت هر کیلوگرام، لیتر برای هر ۱۰ افغانی، و کتلهٔ هر سانتیمتر مکعب.
- نقشه و رسم با مقیاسبا خطکش روی نقشه و نقشهٔ خانه اندازه کنید و با مقیاس اندازهٔ حقیقی را پیدا کنید.
- گراف تناسب مستقیم و تناسب معکوسگراف تناسب مستقیم را از روی جدول رسم کنید، k را از یک نقطه پیدا کنید، منحنی y = kx را با لغزنده از یک نقطه تیر کنید، گراف تناسب مستقیم را بشناسید و یک تناسب معکوس رسم کنید.
- اضافی: تناسب مرکبدر تناسب مرکب سه مقدار با هم تغییر میکنند. در جدول هر بار فقط یک مقدار را تغییر دهید و تصمیم بگیرید که تناسب مستقیم است یا معکوس.
- مسافت، سرعت، زمان: s = v × tمسافت، سرعت و زمان را از روی جدول و با فرمولهای s = v × t ،v = s ÷ t و t = s ÷ v پیدا کن.
- حرکت دو جسم و کار مشترکفاصلهٔ دو جسمی را که همزمان حرکت میکنند و زمان کار مشترک را با جدول و نقشهٔ حل پیدا کن.
- تقسیم متناسب و مقدار یکسانمسئلهها را با یادداشت کوتاه «قیمت، تعداد، هزینه» حل کن: تقسیم متناسب و پیدا کردن مقدار یکسان از دو اختلاف یا دو مجموع.
- چهارم متناسب و دو بار پیدا کردن مقدار یک واحدمسئلهها را با روش نسبتها و با پیدا کردن مقدار یک واحد حل کن، و مسئلههایی که دو مقدار در آن‌ها عوض می‌شود.
- اشکال متشابه: طول، مساحت و حجموقتی شکلی با نسبت تشابه k بزرگ می‌شود، طولها k چند، مساحتها k² چند و حجمها k³ چند میشوند. با جدول نسبت، اندازهٔ نامعلوم را دریابید.
- کار: بازده، زمان و کل کارمسئلههای کار را حل کن: بازده در یک ساعت × زمان کار = کل کار انجامشده، با جدول کوتاه.
- مسئلههای تناسب: مقدار ثابتمسئلههایی را حل کن که یک مقدارشان ثابت است (وزن یک جعبه، قیمت یک مداد، وزن کل): اول آن را پیدا کن، بعد به پرسش جواب بده.
- حرکت و کار: یک روش برای هر دومسئلههای حرکت همزمان و کار گروهی را با یک روش حل کن: سرعت × زمان = مسافت و بازده × زمان = کار انجامشده.
پول و محاسبات مالی
- آشنایی با پول: سکه و نوتسکهها و نوتها را بشناسید، با آن‌ها یک اندازه پول جور کنید و ببینید که سکهٔ زیاد همیشه پول زیاد نیست.
- سودا خریدن و باقی پولقیمت چند چیز را با هم جمع کنید، پول آن را بدهید و باقی پول را با شمردن رو به پیش حساب کنید.
- فیصد در خرید و فروش: تخفیف، مفاد و ضرربا نوار ۱۰۰٪ ببینید که تخفیف چقدر از قیمت کم میکند و مفاد و ضرر دکاندار چند فیصد قیمت خرید است.
- ربح ساده و ربح مرکبسرمایه را سال به سال دنبال کنید: با ربح ساده هر سال همان مقدار علاوه می‌شود و با ربح مرکب هر سال در همان عدد ضرب می‌شود. بعد ببینید قیمت یک چیز چطور هر سال کم می‌شود.
- درصد و واحد درصدفرق «۵ درصد زیاد شد» با «۵ واحد درصد زیاد شد» چیست؟ نرخ ۲۰٪ که به ۲۵٪ می‌رسد، سهم دانشآموزان ممتاز و یک مسئلهٔ بانکی.
اندازه‌گیری
- مقایسهٔ اندازهها: درازتر، سنگینتر، پُرترکدام درازتر است؟ کدام سنگینتر است؟ با گیرهٔ کاغذ، بلست و گیلاس اندازه بگیرید.
- اندازه‌گیری طول، کتله و ظرفیتبا خطکش، ترازو و جگ درجهدار اندازه بگیرید. اول تخمین کنید، بعد اندازه بگیرید.
- ساعت و جنتریعقربههای ساعت را بچرخانید، وقت بعد از ظهر را مانند موبایل بنویسید و روزها را در جنتری پیدا کنید.
- محیط و مساحتدور شکل را بپیمایید تا محیط را دریافت کنید، شکل را با واحدهای سطح بپوشانید تا مساحت را دریافت کنید، و ببینید که دو شکل با مساحت مساوی میتوانند محیطهای مختلف داشته باشند.
- ربع ساعت و ترتیب زمان«یک ربع بعد از ۹» و «یک ربع مانده به ۱۰» را روی ساعت نشان بده، ساعت را به دو صورت بنویس و ببین کدام کار بیشتر طول میکشد.
- تبدیل واحدهامتر را به سانتیمتر، گرام را به کیلوگرام و لیتر را به ملیلیتر تبدیل کنید. چارت تبدیل با شما کمک میکند.
- مساحت مثلث، متوازیالاضلاع، ذوزنقه و دایرهپارچهها را جابه‌جا کنید تا ببینید چرا مساحت متوازیالاضلاع «قاعده × ارتفاع» است، چرا مثلث نصف آن است، ذوزنقه را با یک ذوزنقهٔ دیگر تکمیل کنید و مساحت دایره را تخمین کنید.
- حجم مکعب مستطیلبا واحدهای مکعبی جعبه بسازید، مکعبها را طبقه به طبقه بشمارید و ببینید چرا حجم مکعب مستطیل «طول × عرض × ارتفاع» است.
- اضافی: خواندن درجهٔ حرارت با ترمامترترمامتر را بخوانید و درجهٔ حرارت زیر صفر را نشان بدهید.
- مساحت و حجم منشور و استوانهمنشور و استوانه را دور بدهید، قاعده را پیدا کنید، آن را طبقه طبقه پر کنید تا ببینید چرا «حجم = مساحت قاعده × ارتفاع» است، و شکل باز شده را باز کنید تا مساحت سطح جانبی و مساحت کلی را حساب کنید.
- اندازه‌گیری دقیقتر و قسمتی از یک واحدبا واحد خودت اندازه بگیر، قسمتهای کوچک سانتیمتر را بشمار و وسط یک خط را پیدا کن.
- مساحت و حجم هرم، مخروط و کرههرم را در منشورش و کره را در استوانهاش آب کنید تا ببینید ۱۳ و ۲۳ از کجا میآیند. مخروط را باز کنید تا قطاع دایره را ببینید، مولد را با قضیهٔ فیثاغورث دریافت کنید و حجم و مساحت یک برج را حساب کنید.
- لوله، قوطی و جعبه: مسئلههای حجم و سطحیک ورق را لوله کن و گنجایشش را به لیتر بگو، مساحت ورق قوطی و جعبه را مقایسه کن و حجم جعبهٔ بدون در را پیدا کن.
- دقت اندازه‌گیری: حد بالایی و حد پایینیاندازهٔ تقریبشده در حقیقت جایی در یک فاصله است. فاصله را رسم کنید و با حدود آن بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین جواب را دریابید.
- اندازه‌گیری زمان: دقیقه و ثانیهساعت رسیدن را پیدا کن، زمان گذشته بین دو ساعت را با پیکانهای زمان حساب کن، و دقیقه و ثانیه و ساعت را به هم تبدیل کن.
- کیلومتر، گنجایش و جرم آبمتر و کیلومتر را به هم تبدیل کن، گنجایش ظرف را از حجم مایع درونش جدا کن، و ببین یک لیتر آب چند سانتیمتر مکعب و چند گرم است.
- مساحت لوزی و دایرهمساحت لوزی را با چهار مثلث و با قطرهایش پیدا کن، ببین چرا لوزی نصف مستطیل دورش است، و مساحت دایره را از روی قطاعهایش و با فرمول عدد پی × شعاع × شعاع حساب کن.
- متر و سانتیمتر، کیلوگرم و گرم با هماندازههای دوواحدی را بخوان و بنویس (۳۲۵ سانتیمتر = ۳ متر و ۲۵ سانتیمتر)، واحد مناسب را انتخاب کن و نیم سانتیمتر را روی خطکش بخوان.
- دسیمتر و کار با اندازههایاد بگیر که ۱ دسیمتر برابر ۱۰ سانتیمتر است، روبانها را با دسیمتر اندازه بگیر و طولهای دسیمتری و سانتیمتری را جمع کن.
- اندازههای چندواحدی و چهار عمل روی آنهااندازههای دوواحدی را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کن: همه را با یک واحد بنویس، حساب کن و جواب را دوباره با دو واحد بنویس.
- مساحت مستطیل و یکاهای مساحتمساحت مستطیل را با S = a · b پیدا کن، ضلع مجهول را حساب کن و یکاهای مساحت را بشناس: سانتیمتر مربع، دسیمتر مربع، متر مربع، آر و هکتار.
- زمان: جمع و تفریق عددهای نامدارواحد بزرگ زمان را به واحد کوچک‌تر تبدیل کن، جمع یا تفریق کن و جواب را با دو واحد بنویس. مدت یک رویداد را از روی شروع و پایانش پیدا کن.
- منشور، مکعبمستطیل و هرم: ویژگیها، برشها، هرم ناقصقطر مکعبمستطیل، حجم منشور مایل، مساحت جانبی هرم منتظم، حجم هرم ناقص و برش هرم را پیدا کن.
- برشهای استوانه، مخروط و کره، معادلهٔ کرهقطر مقطع محوری، شعاع برش مخروط و کره را پیدا کن و مرکز و شعاع را از معادلهٔ کره بخوان.
- منشور: مسئلههایی با قطر و زاویهارتفاع و یال جانبی منشور قائم را از روی یک قطر و یک زاویه پیدا کن، مساحت جانبی را حساب کن و جواب را با رادیکال بنویس.
- هرم: رأس روی کدام نقطهٔ قاعده میافتد؟از روی برابری یالهای جانبی یا زاویههای دووجهی، مشخص کن رأس هرم روی کدام نقطهٔ قاعده تصویر می‌شود؛ بعد ارتفاع و مساحت جانبی را پیدا کن.
- حجم جسمها: مسئلههاحجم یک قطعه را از بالا آمدن آب، شعاع یک کرهٔ ذوبشده و حجم جسمی که از دوران مثلث یا ذوزنقه ساخته می‌شود پیدا کن. π را در جواب نگه دار.
- محیط چندضلعیمحیط مثلث ABC و مستطیل DMPK را بهعنوان جمع طول همهٔ ضلعها پیدا کن.
- طول کمان، مساحت قطاع و قطعهٔ دایرهطول کمان n درجه، مساحت قطاع و قطعهٔ دایره را با l = πRn/180 و S = πR²n/360 پیدا کن.
هندسه و اشکال
- شکلهای هندسی و تناظربالای تختهٔ نقطهدار مثلث و مربع بسازید، مثلثها را پیدا کنید و محور تناظر را رسم کنید.
- گوشه، دایره، مستطیل و تقارنگوشهها را بشمار، شکلی را که گوشه ندارد پیدا کن، مستطیل بکش، شکل را تا کن و آن را به بخشهای مساوی تقسیم کن.
- اجسام: مکعب، استوانه، کره…مکعب، مکعب مستطیل، استوانه، مخروط، کره و هرم را بشناسید، سطحها و ضلعها را بشمارید و شکل باز شده مکعب را بسازید.
- خط مستقیم، نیم خط، قطعه خط و زاویهنیم خطها را پیدا کنید، بالای تختهٔ نقطهدار خط موازی و عمود رسم کنید و زاویهها را با یک کنج قایم مقایسه کنید.
- مثلثها و چهارضلعیهامثلثها را از لحاظ اضلاع و زاویهها دستهبندی کنید، خانوادهٔ چهارضلعیها را بشناسید و قطرهای معین را رسم کنید.
- چندضلعیها و مجموع زاویههاچندضلعیهای منظم را پیدا کنید، مجموع زاویههای مثلث را کشف کنید و با تقسیم به مثلثها، مجموع زاویههای چندضلعیها را پیدا کنید.
- اندازه‌گیری زاویه توسط نقالهزاویه را با نقاله بخوانید و رسم کنید. زاویههای بالای یک خط، زاویههای متقابل به رأس و ناصف زاویه را پیدا کنید.
- دایره، شعاع، قطر و عدد πقطر و شعاع دایره را اندازه کنید. فیتهیی را دَور دایره بپیچانید و ببینید محیط دایره چند برابر قطر آن است.
- ترسیمات هندسی با پرکار و خطکشبا پرکار و خطکش وتر و قوس را بشناسید، ناصف عمودی و ناصفالزاویه را ترسیم کنید و مثلث را از روی اضلاع آن بسازید.
- زاویههای دو خط موازی و یک خط قاطعدو خط موازی و یک خط قاطع را کش کنید و دور بدهید و ببینید کدام زاویهها همیشه با هم مساویاند، کدامها متممهاند، و وقتی خطها موازی نباشند چه می‌شود. بعد با یک خط موازی نشان بدهید که مجموع زاویههای مثلث ۱۸۰ درجه است.
- رابطهٔ بین اضلاع مثلث، میانه، ارتفاع، ناصفالزاویه و ناصف عمودیبا سه چوب مثلث بسازید و ببینید کدام سه طول مثلث می‌سازند و کدام نه. بعد میانه، ارتفاع و ناصف عمودی را روی مثلثی که خود شما شکلش را تغییر میدهید امتحان کنید و ببینید سه میانه همیشه کجا با هم یکجا میشوند.
- اشکال انطباقپذیر و حالات انطباقپذیری مثلثهایک شکل را انتقال بدهید، دور بدهید و چپه کنید تا بالای شکل دیگر قرار بگیرد. بعد رأسهای متناظر دو مثلث را پیدا کنید، حالت انطباقپذیری را انتخاب کنید، یک ثبوت سطر به سطر بنویسید و با یک مثال نقض نشان بدهید که «ض ض ز» حالت انطباقپذیری نیست.
- قضیهٔ فیثاغورث و عکس آنروی اضلاع یک مثلث قایمالزاویه مربع بسازید و مساحتها را مقایسه کنید، با چهار مثلث مساوی ببینید چرا قضیهٔ فیثاغورث درست است، ضلع مجهول را دریابید، با عکس قضیه معلوم کنید مثلثی قایمالزاویه است یا نه، و √۲ را با پرکار بالای محور نشان بدهید.
- استدلال و ثبوت در هندسهیک مثلث متساویالساقین را کش کنید و ببینید که زوایای قاعدهٔ آن همیشه مساوی میمانند. بعد این را با دلیل ثابت کنید، از آن در یک ثبوت تازه استفاده کنید و با یک مثال نقض نشان بدهید که یک ادعای دیگر غلط است.
- قضیهٔ تالس و تشابه مثلثهاخطی موازی با یک ضلع مثلث را حرکت بدهید و ببینید نسبت حصههایی که روی دو ضلع دیگر جدا میکند همیشه مساوی میماند. بعد عکس قضیه، مثلثهای متشابه و نسبت تشابه را امتحان کنید.
- محل هندسیهمهٔ نقطههایی را دریابید که از یک نقطه، یک قطعهخط، دو نقطه یا دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ معین دارند و ببینید چه شکلی می‌سازند. بعد با پرکار ساحهای را رنگ کنید که دو شرط را با هم دارد.
- حالتهای یک مستقیم با دایره، زاویهٔ مرکزی، زاویهٔ محیطی و خط مماسیک مستقیم را روی دایره بالا و پایین ببرید و ببینید چه وقت دایره را قطع میکند، چه وقت با آن مماس است و چه وقت از آن جداست. دو دایره را به هم برسانید، یک مماس را دور دایره بچرخانید و ببینید زاویهٔ محیطی همیشه نصف زاویهٔ مرکزی است.
- دایرهٔ محیطی، دایرهٔ محاطی، چهار ضلعی مرسوم به دایره و روابط طولیدایرهٔ محیطی و دایرهٔ محاطی یک مثلث را بسازید و ببینید مرکز آن‌ها کجاست. بعد رأسهای یک چهار ضلعی مرسوم به دایره را روی دایره کش کنید و دو وتر متقاطع را امتحان کنید: کدام رابطه همیشه درست میماند؟
- منظرهای جسم و فیثاغورث در فضابرجی از مکعبها را دور بدهید، منظر پیش رو، بالا و پهلوی آن را پیدا کنید و روی شبکه رسم کنید. بعد قطر مکعب مستطیل را با دو بار قضیهٔ فیثاغورث دریافت کنید.
- تکمیلی: قضایای مثلث قایمالزاویهاگر یک زاویهٔ حادهٔ مثلث قایمالزاویه °۳۰ باشد، ضلع مقابل آن نصف وتر است؛ و میانه وارد بر وتر هم نصف وتر است. این دو قضیه را ببینید، یکی را ثابت کنید و به کار ببرید.
- اصلها، پارهخطها و قضیههاببین از دو نقطه فقط یک خط میگذرد و AB = AC + CB است، وسط یک پارهخط را پیدا کن و قضیه را از عکسش تشخیص بده.
- تکمیلی: کاشیکاری با مضلعهاکاپیهایی از یک مضلع منظم را دور یک نقطه بچینید و ببینید کدامها بدون جای خالی و بدون بالای هم افتادن جا میشوند، چرا مضلع منظم پنجضلعی جای خالی میگذارد، و با دو نوع مضلع کاشیکاری کنید.
- تکمیلی: چندوجهیهای منظم و مقطعچندوجهی منظمها را دور بدهید، سطحها، رأسها و ضلعهای آن‌ها را بشمارید و رابطهٔ V − E + F = ۲ را پیدا کنید. بعد یک مکعب را با کارد ببُرید و ببینید مقطع چه شکلهایی میتواند باشد.
- زاویهٔ خارجی، ضلعها و زاویهها، مثلثهای قائمالزاویهببین زاویهٔ خارجی برابر مجموع دو زاویهٔ داخلی دور از آن است، زاویهٔ بزرگ‌تر روبهروی ضلع بلندتر است و حالتهای هم‌نهشتی مثلثهای قائمالزاویه را به کار ببر.
- وتر، مکان هندسی و چهار مرحلهٔ رسمببین پارهخطی که مرکز را به وسط وتر وصل میکند بر وتر عمود است، فاصلهٔ مرکز تا وتر را پیدا کن و تعداد جوابهای یک مسئلهٔ مکان هندسی را بشمار.
- مقاطع مخروطی: برش یک مخروطیک مخروط را با صفحههای مختلف ببر و ببین دایره، بیضی، سهمی و هذلولی از کجا میآیند. بعد ببین نسبت فاصله از کانون به فاصله از خط هادی چه خمی میسازد.
- چندضلعی منتظم و دایرهٔ محاطی خارجی مثلثضلع و آپوتم یک چندضلعی منتظم را از شعاع دایرهٔ محیطی یا محاطی پیدا کن و شعاع دایرهٔ محاطی خارجی یک مثلث را حساب کن.
- خط و مستوی در فضابا یک مکعب مستطیل دریابید که دو خط در فضا نسبت به هم چه وضعیتی دارند: موازی، متقاطع یا متنافر. بعد خط و مستوی، خط عمود بر مستوی و زاویهٔ دو خط متنافر را بررسی کنید.
- اصلهای هندسهٔ فضایی و مقطعهااز سه نقطه یک صفحه بگذران، خط برخورد دو صفحه را پیدا کن، خطی را که با صفحه موازی است تشخیص بده و شکل مقطع یک مکعب را نام ببر.
- صفحههای موازی، تصویر و عمودهاموازی بودن دو صفحه را بررسی کن، پارهخطهای بین صفحههای موازی را مقایسه کن و طول یک تصویر موازی و فاصلهٔ یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کن.
- تقارن چندضلعیها و زاویههای داخلی و خارجیمحورهای تقارن چندضلعیهای منتظم را بشمار، زاویهٔ هر گوشهٔ آن‌ها را پیدا کن و ببین چرا مجموع زاویههای خارجی همیشه ۳۶۰ درجه است.
- قضیههای دایره و قضیهٔ ناصف زاویهٔ مثلثثابت کنید که دو مماس از یک نقطه مساوی اند و بیاموزید که ناصف زاویهٔ مثلث ضلع مقابل را به نسبت دو ضلع دیگر تقسیم میکند.
- عمود و موازی از یک نقطه، و رسم شکل از روی دادههااز نقطهای بیرون خط، عمود و موازی رسم کن و با تحلیل مسئله، لوزی و مثلث متساویالساقین را با پرگار بساز.
- رسم زاویه و مثلث با پرگار و خطکشزاویهای برابر زاویهٔ دادهشده رسم کن. مثلثی بساز از دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها، از یک ضلع و دو زاویهٔ کنار آن، و مثلث قائمالزاویهای از یک ضلع قائمه و وتر.
- روش مکان هندسی در رسم: نقطه، دایره، مثلثنقطهٔ مطلوب را به صورت برخورد دو مکان هندسی پیدا کن. سه مسئله از کتاب اوکراین: نقطهای روی یک خط به فاصلهٔ معین از خط دیگر، دایرهٔ مماس بر یک خط در نقطهای معین، و مثلث با یک ضلع و شعاع دایرهٔ محیطی.
- اثبات به برهان خلفاثبات به روش برهان خلف را یاد بگیر: فرض کن حکم نادرست است، به تناقض برس و نتیجه بگیر.
- قضیههای سوا، منلائوس، بطلمیوس و خط اویلرچهار قضیهٔ تکمیلی: چه وقت سه خط از رأسهای مثلث به یک نقطه میرسند، چه وقت سه نقطه روی یک خطاند، حاصل‌ضرب قطرهای چهارضلعی محاطی و خط اویلر.
- نیم‌خط، پارهخط و قطر چندضلعینامگذاری نقطهها با حرف، نیم‌خط و پارهخط، کشیدن پارهخط با اندازهٔ دادهشده و شمردن قطرهای چندضلعی با «حل مسئلهٔ سادهتر».
- تقارن و تا کردن کاغذشمردن شکلهای متقارن با کمک خط تقارن، کشیدن قرینه و حدس زدن شکل بعد از تا کردن و بریدن کاغذ.
- حل مسئله در هندسه: فرض و حکم و طرحفرض و حکم را از هم جدا کن، قبل از نوشتن اثبات طرح بریز، با عمود و فیثاغورس کوتاهترین مسیر را پیدا کن و کاربرد دایره را در مسئلهها ببین.
- رابطههای طولی در مثلث قائمالزاویه و ویژگی‌های تناسبارتفاع وارد بر وتر مثلث قائمالزاویه را بکش و ببین AH² = BH×HC است؛ بعد طول یک ضلع را با این رابطه پیدا کن، ویژگی جمع در تناسب را به کار ببر و رابطهٔ فیثاغورس را از همینجا بساز.
- دایره و قرصدایره را از قرص تشخیص بده، مرکز و شعاعها را پیدا کن و نقطههایی را که روی دایرهاند علامت بزن.
- عمود و مایل، زاویهٔ خط و صفحه، زاویهٔ دووجهیمایل را از عمود و تصویرش پیدا کن، زاویهٔ بین خط و صفحه و زاویهٔ دووجهی را با زاویهٔ خطیاش اندازه بگیر و نشان بده دو صفحه بر هم عمودند.
- متوازیالاضلاع، مستطیل، لوزی و مربععنصرهای چهارضلعی، ویژگیها و شرطهای متوازیالاضلاع و قطرهای مستطیل و لوزی را یاد بگیر.
- ذوزنقه، پارهخط میانی، چهارضلعی محیطی و مساحت ذوزنقهویژگیهای ذوزنقهٔ متساویالساقین، پارهخط میانی، شرط وجود دایرهٔ محاطی در چهارضلعی و مساحت ذوزنقه را یاد بگیر.
- حالت دوم و سوم تشابه مثلثهامثلثهای متشابه را با دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها یا با سه ضلع پیدا کن، ضلع مجهول را حساب کن و در دام زاویهای که بین ضلعها نیست نیفت.
- پارهخط، طول آن و خطپارهخطها را با گذاشتن یکی روی دیگری مقایسه کن، طول AB را از دو قسمت پیدا کن، فاصلهٔ نقطهها را اندازه بگیر و ببین از دو نقطه چند خط میگذرد.
- چندضلعی، شکلهای هم‌نهشت، مساحت، آر و هکتارچندضلعی را با رأسهایش نامگذاری کن، با گذاشتن یک شکل روی شکل دیگر شکل هم‌نهشت را پیدا کن، فرق شکلهای هم‌نهشت با شکلهای هممساحت را بفهم و مساحت زمین را به هکتار تبدیل کن.
- استوانه و مخروط: قاعدهها و گستردهقاعدههای استوانه و مخروط را پیدا کن و مساحت جانبی استوانه را از گستردهاش حساب کن.
- نقطه، خط راست، خط منحنی، نیم‌خط، پارهخط و خط شکستهدر تصویر نقطه، خط راست و خط منحنی را پیدا کن. قسمتهایی را که نقطهها روی یک خط می‌سازند نام ببر و طول یک خط شکسته را حساب کن.
- خطهای موازی که صفحه را قطع میکنند، و تصویر موازیطول پارهخطها را بین خطهای موازی که صفحه را قطع میکنند پیدا کن، و نسبت پارهخطها را در تصویر موازی.
- مرور هندسهٔ فضایی پایهٔ دهمگام درست بعدی را در اثبات دربارهٔ خطهای متنافر انتخاب کن، بعد مسئلههایی دربارهٔ زاویهٔ بین دو خط، تصویر موازی و عمود بر صفحه حل کن.
- خودت را بسنج: چندوجهیها، جسمهای دورانی و حجمآزمونهای چهارگزینهای دربارهٔ مساحت جانبی منشور، استوانه و مخروط و حجم کره.
- چندوجهیها: وجه، یال، رأسقاعدهها، وجههای جانبی و یالهای هرم، منشور و مکعبمستطیل را پیدا کن و وجهها و یالهایشان را بشمار.
- مساحت تصویر قائم یک چندضلعیبا قضیهٔ مساحت تصویر، S' = S · cos α، مساحت تصویر یا مساحت خود چندضلعی را پیدا کن.
- برخورد خط و صفحه، برخورد دو صفحهبا اصلهای هندسهٔ فضایی نقطهٔ برخورد یک خط با صفحهٔ قاعدهٔ مکعب و خط برخورد دو صفحه از یک چهاروجهی را رسم کن.
- نقطهای که از رأسها یا ضلعهای چندضلعی به یک فاصله استاگر نقطهٔ M از رأسهای مثلث به یک فاصله باشد، تصویرش مرکز دایرهٔ محیطی است؛ اگر از ضلعها به یک فاصله باشد، مرکز دایرهٔ محاطی. فاصلهٔ M تا صفحه را پیدا کن.
- زاویه، زاویهٔ قائمه، مستطیل و مربعزاویه را با حرفها نام ببر، با الگو زاویهٔ قائمه را پیدا کن، مستطیل را از چهارضلعیهای دیگر و مربع را از مستطیلهای دیگر تشخیص بده.
- چندضلعیهای منتظم: زاویه، تعداد ضلعها، رسماز روی زاویهٔ چندضلعی منتظم تعداد ضلعهایش را پیدا کن، بررسی کن چنین چندضلعیای هست یا نه، و با وترهای برابر شعاع ششضلعی و چندضلعی ۲n ضلعی بساز.
موقعیت، جهت و تناظر
- جای، جهت و دورانطرف چپ و راست، بالا و پایین و «میان» را پیدا کنید. بعد تیر را ربع دور، نیم دور و سه ربع دور بچرخانید.
- مختصات و انتقالنقطهها را با مختصات آن‌ها روی صفحهٔ مختصات بگذارید، رأس گمشدهٔ یک شکل را پیدا کنید و شکلها را انتقال بدهید.
- انعکاس، دوران و تناظر مرکزیدر چهار ناحیهٔ مستوی مختصات نقطه بگذارید، شکلها را نظر به یک محور انعکاس بدهید، به دور یک نقطه دوران بدهید و مرکز تناظر را پیدا کنید.
- تبدیلات هندسی و تجانسببینید کدام تبدیلها طولها، زاویهها و جهت شکل را نگه میدارند، یک شکل را از یک مرکز با ضریب ۲ و ۱۲ تجانس بدهید، مرکز یک تجانس را دریابید و ببینید مساحت چند چند می‌شود.
- قرینه و دورانقرینهٔ شکل را نسبت به خط عمودی، خط مایل و محور طولها بکش، شکل را از روی نیمهاش کامل کن، شکل را حول نقطههای مختلف دوران بده و مختصات قرینه را پیدا کن.
- ترکیب تبدیلها، تقارن و کاربرد قرینهدو انعکاس پشت سر هم، بازتاب لغزشی، محورهای تقارن یک چندضلعی و کوتاهترین مسیر با کمک قرینه را بشناس.
الگوها و ترادف‌ها
- الگوهای تکراری و الگوهای عددیشکلها و اعدادی که با یک قاعده پشت سر هم میآیند. الگو را پیدا کنید، ادامه دهید و اصلاح کنید.
- ماشین ورودی ـ خروجی و قاعدهٔ ترادفعددی داخل ماشین میرود و عدد دیگری بیرون میآید. کار ماشین را پیدا کنید، بعد قاعدهٔ ترادفهای عددی را.
- حد عمومی الگو و ترادف هندسیاز الگوی چوبهای گوگرد جدول بسازید، حد عمومی را پیدا کنید و با آن شکل بیستم را بدون رسم کردن بشمارید. بعد ترادفهایی را ببینید که هر بار ضرب میشوند.
- ترادف، حد nام و رابطهٔ بازگشتیبا نماد aₙ حدها را حساب کنید، ترادفی را از رابطهٔ بازگشتی بسازید، ترادف متناوب را تشخیص بدهید و اعداد مثلثی را بشمارید.
- سیگما و مجموع سلسلههانماد Σ را بخوانید، مجموع حدهای ترادف حسابی و هندسی را حساب کنید و ببینید چرا سلسلهٔ لایتناهی گاهی به یک عدد می‌رسد.
- مجموعهای ویژه، تفاضل و مدلسازیمجموع مربعها را بسازید، مجموعی را با روش تفاضلها جمع کنید، حد nام ترادف درجهٔ دوم را پیدا کنید و مسئلهٔ واقعی را با سلسلهٔ حسابی حل کنید.
الجبر
- ترتیب عملیات، حرف به جای عدد و فورمولافادهها را قدم به قدم و به ترتیب درست حساب کنید. بعد حرفی را به جای عدد بگذارید و با فورمول کار کنید.
- افادههای الجبری، حدود مشابه و قیمت عددیبا کاشیهای الجبری افاده بسازید، حدود مشابه را کنار هم بگذارید و ساده کنید، بعد به جای x عدد بگذارید و قیمت عددی افاده را پیدا کنید.
- معادله و حل معادلهٔ درجه یک با ترازومعادله مانند یک ترازوی متوازن است. عدد امتحان کنید، بعد معادلههایی با x در یک طرف یا دو طرف، با کسر و با قوس را حل کنید؛ هر کاری که با یک کفه میکنید، با کفهٔ دیگر هم بکنید.
- تشکیل معادله برای مسئلههای متنیمجهول را با یک حرف نشان دهید، مسئله را به یک معادله تبدیل کنید، آن را حل کنید و جواب را در خود مسئله امتحان کنید.
- ضرب در قوس و تجزیه به فکتورقوس را مانند یک مستطیل ببینید: با کاشیها مساحت مستطیل را رنگ کنید و قوس را رفع کنید؛ بعد برعکس کار کنید و اضلاع مستطیل را پیدا کنید تا افاده را تجزیه کنید.
- ضرب افادههای دو حده و مطابقتهادو قوس را مانند یک مستطیل از کاشیها و در جدول ضرب کنید، ببینید چرا مربع مجموع دو حد دو نوار وسطی دارد و مطابقت را از معادله تشخیص بدهید.
- نامساواتها، انتروالها و حل نامساواتحلهای یک نامساوات را روی خط اعداد نشان بدهید: دایرهٔ پُر یا خالی، قطعه خط یا نیم خط. بعد نامساواتهای خطی را حل کنید و ببینید چرا ضرب در عدد منفی جهت نامساوات را عوض میکند.
- چندجملهایها: شکل استاندارد، تفریق و ضربچندجملهای را به شکل استاندارد بنویس، با پرانتز تفریق کن، سه جمله را در دو جمله روی شبکه ضرب کن و حاصل‌ضرب را به توان برسان.
- سیستم معادلات خطی دو مجهولهنقطهای را پیدا کنید که در هر دو معادله صدق کند: آن را از محل تقاطع دو خط بخوانید، خط دوم را رسم کنید، یک مجهول را افنا کنید، با خطوط موازی آشنا شوید و جایی که گراف فقط تخمین میدهد، جواب دقیق را پیدا کنید.
- تجزیهٔ افادههای درجه دوم و مطابقتهای دیگرکاشیهای یک افادهٔ درجه دوم را به شکل مستطیل بچینید تا دو قوس آن پیدا شود، با جورههای صفر علامه‌های منفی را ببینید، اول فکتور مشترک را بیرون بکشید و با مجموع مکعبات آشنا شوید.
- معادله‌های دومجهولی و دستگاههازوجهایی را که در یک معادلهٔ دومجهولی صدق میکنند پیدا کن، نمودارش را بکش، از یک مسئله دستگاه بساز و جوابش را پیدا کن.
- افادههای کسری الجبریصورت و مخرج یک افادهٔ کسری را به فکتورها تجزیه کنید و فکتورهای مساوی را ساده بسازید. اول ببینید x کدام قیمتها را نمیتواند بگیرد؛ بعد افادههای کسری را با مخرج مشترک جمع و تفریق کنید و با ساده ساختن تقسیم کنید.
- تجزیه به روش دستهبندی و اتحاد مکعبچندجملهای چهار جملهای را با دستهبندی تجزیه کن، مجموع و تفاضل مکعبها را تجزیه کن و وقتی چند روش جور است، بدان از کجا شروع کنی.
- معادلهٔ درجه دوم: تجزیه، تکمیل مربع و فورمول محمد بن موسیمعادلات درجه دوم را با تجزیه حل کنید، مانند محمد بن موسی خوارزمی با کاشیها مربع را تکمیل کنید و با دیسکریمینانت ببینید معادله چند حل دارد.
- پولینومها و تقسیم آنهادرجه و ترتیب معیاری یک پولینوم، بعد تقسیم پولینومها با پر کردن برعکس جدول ضرب، با باقی‌مانده و با توانهایی که وجود ندارند.
- تعیین اشاره و نامساواتهای کسریدریابید یک افاده کجا مثبت و کجا منفی است: صفرهای آن را نشانی کنید، جدول اشاره را زیر محور پر کنید و حل نامساواتی مانند x − ۱x + ۲ ≥ ۰ را بخوانید.
- نامساواتهای خطی با دو متحول و ناحیهٔ حلمستقیم سرحدی را رسم کنید، آن را پُر یا نقطهچین کنید، یک نقطه را امتحان کنید و طرفی را که صدق نمیکند خطخط کنید؛ بعد ناحیهای را پیدا کنید که در دو یا سه نامساوات با هم صدق کند.
- نابرابریهای عددی و ویژگیهایشانعددها را با علامت تفاضل a − b مقایسه کن، نابرابری ثابت کن، نابرابریها را طرف به طرف جمع کن و مقدار یک عبارت را تخمین بزن.
- دستگاه نامعادلههای خطی یکمجهولیهر نامعادلهٔ دستگاه را حل کن، جوابها را روی خط نشان بده و بخش مشترکشان را پیدا کن: یک پارهخط، یک عدد یا مجموعهٔ تهی.
- دستگاه معادله‌های دومجهولیجواب دستگاهی را که یک معادلهٔ درجهٔ دوم دارد به‌صورت نقطههای مشترک نمودارها پیدا کن، آن را با روش جانشینی حل کن و از یک مسئله دستگاه بساز.
- دستگاه معادله‌های خطی: روش جایگذاریبهجای یک مجهول، عبارت برابرش را در معادلهٔ دیگر بگذار، پرانتز را فراموش نکن، اول یک مجهول را تنها کن و جواب را روی نمودار و در هر دو معادله بررسی کن.
- معادله‌های ناطق و جذریمعادلههای کسری و معادله‌های دارای جذر را حل کنید و جذرهای ناخواسته را با امتحان دور بیندازید.
- مجموع و حاصل ضرب جذرها، معادله‌های قابل تبدیل و تقاطع خط با پارابولااز ضریبها مجموع و حاصل ضرب جذرها را بخوانید، معادلهٔ x به توان ۴ را با تغییر متحول حل کنید و تقاطع خط و پارابولا را بیابید.
- قضیهٔ باقی‌مانده، قضیهٔ فکتور و جذرهای پولینومباقیمانده را بدون تقسیم بیابید، فکتور را با قضیهٔ فکتور بشناسید، جذرهای معادلهٔ درجه سوم را پیدا کنید و ضریبها را از جذرها بخوانید.
- نامساوات درجه دوم و پارامترنامساواتهای درجه دوم را با اشارهٔ فکتورها حل کنید و ببینید یک حرف (پارامتر) در معادله چگونه به نامساوات می‌رسد.
- تغییر موضوع فورمولیک حرف را در فورمول تنها بسازید: همان کارهای ترازو را با حرفها انجام دهید.
- قضیهٔ بینوم برای توان کسری و تقریببا چند جملهٔ اول قضیهٔ بینوم، جذر و معکوس عددهای نزدیک به ۱ را تقریب بزنید.
- معادله: قاعدهٔ پیدا کردن عدد مجهولاز روی یک مسئله معادله بساز، با قاعدهٔ پیدا کردن عدد مجهول حلش کن و با جاگذاری امتحان کن.
- محاسبات عبارتهای گویا: تفریق، مخرجهای قرینه، توان و اتحادعبارتهای گویا را با تغییر علامت تفریق کن، عامل لازم برای مخرج مشترک را پیدا کن، با مخرجهای قرینه کار کن، کسر را به توان برسان و اتحاد ثابت کن.
- معادله‌های همارز، معادله‌های گویا و مسئلههای کلامیبفهم معادله‌های همارز و ریشهٔ اضافی چیست، معادلهٔ گویا را با امتحان حل کن و برای مسئلههای حرکت و کار معادله بساز.
- معادله‌های درجهٔ دوم ناقص و سهجملهای درجهٔ دومسه نوع معادلهٔ درجهٔ دوم ناقص را حل کن، ریشه‌های یک سهجملهای درجهٔ دوم را پیدا کن و آن را با ضریب بزرگ‌ترین توان تجزیه کن.
- فرمول، معادله و ریشهٔ معادلهاز فرمول مسافت استفاده کن، عدد مجهول را پیدا کن، ریشه را با جاگذاری امتحان کن، جملهها را با علامت مخالف به طرف دیگر ببر و بفهم ax = b کِی جواب ندارد.
- دستگاه معادلهها، مدل مسئلههای کلامیمسئلههای حرکت، کار، رقم‌ها و مستطیل را به معادله ترجمه کن: مجهولها را x و y بنام، دستگاه را بنویس، حل کن و ببین جواب با داستان جور است یا نه.
- عبارت با حرفبهجای خانهٔ خالی یک حرف میگذاریم و عبارتی با حرف میسازیم. مقدار حرف را جای آن بگذار و مقدار عبارت را حساب کن.
- نامعادله با مجهول: اثر هر عدد بر نتیجهنامعادلههای دارای مجهول را به دو روش حل کن: با آزمایش عددها و با تبدیل به معادله. جواب را با سهنقطه بنویس.
مختصات و معادلهٔ خط مستقیم
- میل خط مستقیم، تقاطع با محور y و معادلهٔ خط مستقیممیل خط را با یک مثلث زینهیی اندازه کنید، m و h را در معادلهٔ y = mx + h با لغزنده تغییر بدهید، خط را از روی جدول رسم کنید و معادلهٔ خطی را که از دو نقطه میگذرد دریابید.
- شکل عمومی معادلهٔ خط مستقیم، مستقیمهای موازی و عمود، فاصله و نقطهٔ وسطیشکل عمومی معادلهٔ خط را به شکل y = mx + h بنویسید، مستقیم موازی و مستقیم عمود رسم کنید، فاصلهٔ دو نقطه را با فیثاغورث و نقطهٔ وسطی را با اوسط پیدا کنید.
- تقسیم قطعه خط به یک نسبت و فاصلهٔ نقطه از خطنقطهیی را که یک قطعه خط را به نسبت معلوم تقسیم میکند دریافت کنید و فاصلهٔ یک نقطه را از یک خط مستقیم با فورمول پیدا کنید.
- مساحت مثلث از کمیات وضعیهٔ رأسها و مسایل هندسیمساحت مثلث را از روی کمیات وضعیهٔ سه رأس آن پیدا کنید و از کمیات وضعیه برای حل مسایل هندسی استفاده کنید.
- دایره: معادله، خط و دایره، مماسمعادلهٔ دایره را بسازید و بخوانید، تقاطع یک خط را با دایره پیدا کنید و مماس و طول مماس را دریابید.
- مقاطع مخروطی و پارابولاپارابولا را به حیث محل هندسی نقاطی که فاصلهشان از محراق و خط هادی مساوی است بشناسید و معادلهٔ آن را با رأس در مبدأ و رأس اختیاری بخوانید.
- بیضوی، هایپربولا و خط نظر به آنهامحراقهای بیضوی و هایپربولا را از معادله دریابید، بیضوی را با مرکز اختیاری بسازید، مجانب هایپربولا را رسم کنید و حالت نسبی یک خط را با پارابولا بررسی کنید.
- معادلات پارامتری و کمیات قطبیمنحنی را از معادلات پارامتری نقطه به نقطه رسم کنید، پارامتر را حذف کنید، یک حرکت را مدل بسازید و کمیات قطبی را به کمیات وضعیه برگردانید.
- شیب خط و بردارهای موازیشیب m را از زاویهٔ خط با جهت مثبت محور x پیدا کن (m = tan α، حتی برای زاویهٔ باز)، خطهای عمود بر هم را بساز و برداری موازی با یک بردار دادهشده رسم کن.
- خط و محورها: مثلث، محیط و مساحتنقطههای برخورد خط ax + by = c با محورها، محیط و مساحت مثلثی که جدا میکند و نقطهٔ برخورد دو خط را پیدا کن.
- مختصات نقطه در فضاتشخیص بده نقطه کجاست، بعد فاصلهٔ دو نقطه، وسط پارهخط و نقطهٔ قرینه را از روی مختصات پیدا کن.
تابع و گراف
- رابطه، جورهٔ مرتب و تابعرابطه را با دیاگرام تیر نشان بدهید، جورههای مرتب را در مستوی کارتیزینی ببرید، تشخیص بدهید کدام رابطه تابع است و آزمایش خط عمودی را بالای یک گراف امتحان کنید.
- گرافهای واقعی، سرعت و رشداز روی یک گراف فاصله ـ زمان بخوانید کی ایستادهایم و با چه سرعتی رفتهایم، گراف یک پیادهروی را رسم کنید، پر شدن یک بوتل را با گراف آن جور کنید و رشد دو چند شونده را با رشد ثابت مقایسه کنید.
- گراف تابع درجه دوم (پارابولا)جدول y = x۲ − ۲x − ۳ را با xهای منفی پر و رسم کنید، ببینید چرا پایین پارابولا گرد است، جذرها، تقاطع با محور y و رأس پارابولا را از گراف بخوانید و ببینید a در y = ax۲ چه میکند.
- علامهٔ f(x)، ناحیهٔ تعریف و ناحیهٔ قیمتهاقیمت تابع را از روی قاعده حساب کنید، ورودیِ یک خروجی را پیدا کنید، ناحیهٔ تعریف یک کسر و یک جذر را بنویسید و ناحیهٔ قیمتها را از گراف بخوانید.
- تابع قیمت مطلقه و تابع جزء صحیحقیمت مطلقه را در جدول و گراف ببینید، معادلهٔ قیمت مطلقه را با دو تقاطع گراف و خط حل کنید، زینههای جزء صحیح را بخوانید و کرایهٔ موتر را که زینهزینه بالا میرود نشان بدهید.
- توابع متزاید و متناقص، توابع جفت و تاقانتروالهایی را که گراف بالا یا پایین میرود پیدا کنید، نقطهها را نسبت به محور y و مبدأ قرینه کنید و با f(−x) بسنجید تابع جفت است یا تاق یا هیچکدام.
- جمع، ترکیب و معکوس توابعدو تابع را جمع کنید، ترتیب در ترکیب تابع مرکب را رعایت کنید، معکوس یک ماشین را با برگشت دادن مرحلهها پیدا کنید، گراف معکوس را با قرینه کردن نسبت به y = x بسازید و با خط افقی بسنجید کدام تابع معکوس دارد.
- انتقال، انعکاس و کشش گرافبا لغزندهها گراف y = (x − h)۲ + k را انتقال بدهید، رأس پارابولا را از روی گراف بخوانید، ببینید f(۲x) نقطه را کجا میبرد و چند تبدیل را با هم روی یک پارابولا اعمال کنید.
- تابع درجه سوم، رسم پولینوم و مجانبجدول یک تابع درجه سوم را پر و رسم کنید، گراف یک پولینوم را از جذرها و تقاطع با محور y بسازید و مجانبهای عمودی و افقی یک تابع ناطق را با خط نشان بدهید.
- تابع خطی: فرمول، جدول، نمودارتابع را با فرمول، جدول و نمودار نشان بده، خط را از روی a و b رسم کن، ریشهٔ تابع را پیدا کن و ببین تابع کجا مثبت است.
- تابع درجهٔ دوم و ویژگی‌های تابعرأس سهمی را با فرمول پیدا کن، ویژگی‌های تابع را از روی نمودار بخوان، نامعادلهٔ درجهٔ دوم را با نمودار حل کن و نمودار y = |f(x)| و y = f(|x|) را رسم کن.
- عدد e، رشد و زوال اکسپوننشیلببینید چرا (۱ + ۱n)n به عدد e نزدیک می‌شود، گراف y = a×ex را بالای گراف دادهشده بنشانید و مدل رشد و زوال بسازید.
- تابع نمایی با پایهٔ دلخواه و معادلهٔ نماییجدول y = ۲x را پر کن، ببین پایهٔ بزرگ‌تر از ۱ منحنی صعودی و پایهٔ بین ۰ و ۱ منحنی نزولی میسازد و معادلهٔ نمایی را با همپایه کردن حل کن.
- لوگاریتم و جدول لوگاریتمببینید لوگاریتم همان توانی است که قاعده باید به آن برسد، گراف لوگاریتم را از آینهٔ گراف اکسپوننشیل بسازید و با کرکترستیک و مانتیس از جدول لوگاریتم و انتی لوگاریتم کار بگیرید.
- قوانین لوگاریتم و معادلههاقانون ضرب و توان لوگاریتم را ببینید، یک معادلهٔ لوگاریتمی حل کنید و با لوگاریتم دیتا را به خط مستقیم تبدیل کنید.
- توابع چندضابطهای و علامت، ویژگی‌های قدر مطلقمقدار تابع چندضابطهای را بخوان، نمودار تابع علامت را رسم کن، نمودار y = |x − ۱| + ۲ را با جابهجایی V بساز و نامعادلههای قدر مطلقی را روی نمودار بخوان.
- بیشترین و کمترین مقدار، تابعهای توانیبیشترین و کمترین مقدار تابع را روی یک مجموعه پیدا کن، نمودار y = xn را برای n زوج و فرد مقایسه کن و با نمودار y = x−n آشنا شو.
- معادله و نامعادلهٔ نمایی: روشهایک توان مشترک را فاکتور بگیر، با تغییر متغیر t = 2^x معادله را ساده کن، ریشه را از روی نمودار بخوان و بفهم نامعادله چه وقت جهتش را حفظ میکند.
- تابعهای y = kx و y = √x و نمودارشاننمودار هذلولی را از روی جدول رسم کن، ببین شاخههایش در کدام ناحیهها هستند، k را از روی یک نقطه پیدا کن و نمودار y = √x را رسم کن.
- اتحاد لگاریتمی، تغییر مبنا و تابع لگاریتمیاتحاد اصلی لگاریتم را به کار ببر، مبنا را عوض کن و لگاریتمهایی با مبنای بین ۰ و ۱ را مقایسه کن.
- معادله و نامعادلهٔ لگاریتمیمعادلههایی با مجموع لگاریتمها را حل کن، ریشه‌ها را با دامنه بسنج، با t = log x متغیر را عوض کن، مبنای مجهول را پیدا کن و نامعادلههایی با مبنای بین ۰ و ۱ را حل کن.
- تابع y = x² و نمودار آنبرای y = x² جدول مقدارها بساز، نقطهها را رسم کن، ویژگی‌های نمودار را بشناس و معادله‌های x² = 4 و x² = x + 2 را با نمودار حل کن.
- ویژگی‌های تابع از روی نموداراز نمودار تابعی روی [−۴, ۷]، ریشه‌ها، بازههایی که علامت تابع ثابت است، بازهٔ صعودی و بیشترین مقدار را پیدا کن.
- نمودار y = ⁿ√x و توان‌های گویانمودار ³√x و ⁴√x و √x را مقایسه کن، دامنهٔ ریشهٔ nام و توان گویا را پیدا کن و عددها را با کمک صعودی بودن مقایسه کن.
وکتور
- قطعه خط جهتدار، وکتور و وکتور انتقالوکتور را از نقطهٔ شروع تا نقطهٔ ختم رسم کنید و مختصات آن را بخوانید، وکتورهای مساوی و معکوس را دریابید و یک شکل را به وسیلهٔ یک وکتور انتقال بدهید.
- جمع وکتورها، ضرب عدد در وکتور و وکتورهای واحدوکتورها را به روش مثلث و متوازیالاضلاع جمع کنید، دو وکتور را از هم تفریق کنید، با ضرب یک عدد وکتوری را دراز یا برعکس کنید و هر وکتور را با i و j بنویسید.
- اضافی: وکتور در حرکت و تغییر مکانحرکتهای یک روبات را جمع کنید، با وکتور معکوس آن را به نقطهٔ شروع برگردانید و ببینید جریان آب دریا مسیر یک شناگر را چطور تغییر میدهد.
- وکتور در فضا: طول، فاصله و کوساینهای جهتیک وکتور در فضا قطر یک مکعب مستطیل است. طول وکتور، فاصلهٔ دو نقطه، نقطهٔ وسطی و کوساینهای جهت را از مختصات آن‌ها دریافت کنید.
- حاصل ضرب سکالری و وکتوریحاصل ضرب سکالری دو وکتور یک عدد است و زاویهٔ بین آن‌ها را نشان میدهد؛ حاصل ضرب وکتوری یک وکتور است که بر هر دو عمود است. هر دو را حساب کنید و به کار ببرید.
- مساحت و حجم با ضرب خارجیاندازهٔ ضرب خارجی دو بردار مساحت متوازیالاضلاع آنهاست. با سه بردار میتوان حجم متوازیالسطوح را با یک دترمینان به دست آورد.
- معادلهٔ خط و مستوی در فضایک خط در فضا با یک نقطه و یک وکتور جهت و یک مستوی با یک نقطه و یک وکتور نورمال تعیین می‌شود. معادله‌های آن‌ها را بنویسید و نقطهها را بررسی کنید.
- زاویهها، تقاطع و فاصله در فضازاویهٔ یک خط با یک مستوی، نقطهٔ تقاطع خط و مستوی، فاصلهٔ یک نقطه از مستوی و زاویهٔ دو مستوی را با ضرب سکالری و معادلهها پیدا کنید.
- وکتورها در اثبات و حل مسئلهمرکز ثقل نقطههای وزندار، اثبات هندسی با وکتور (پارهخط وصلکنندهٔ وسط دو ضلع مثلث) و مسئلههای سرعت و متوازیالاضلاع را با رسم وکتور حل کنید.
- بردار در صفحه: مختصات، اندازه، ضرب داخلیمختصات و اندازهٔ بردار را پیدا کن، ضرب داخلی را با مختصات و با زاویه حساب کن، شرط عمود بودن دو بردار را بنویس و زاویهٔ بین دو بردار را پیدا کن.
- ضرب داخلی بردارها: اندازه، زاویه و مختصاتضرب داخلی را از اندازهها و زاویه به دست بیاور، مربع مجموع بردارها را حساب کن، کسینوس زاویهٔ دو بردار را پیدا کن و زاویهٔ یک مثلث را از رأسهایش بساز.
- بردار در فضا: جمع، ضرب در عدد، همخطی و همصفحهایبردارها را با قاعدهٔ متوازیالسطوح و با مختصات جمع کن، بردار را در عدد ضرب کن و بفهم چه وقت سه بردار در یک صفحهاند.
- بردار روی منشور و مکعب مستطیل: مساوی، مجموع، همخطروی منشور بردارهای مساوی، همجهت و قرینه را از هم تشخیص بده، بردارها را جمع کن، یک بردار را با بردارهای دیگر بنویس و بردارهای همخط را از روی مختصات پیدا کن.
مثلثات
- نسبت مثلثاتیها در مثلث قایمالزاویهیک مثلث قایمالزاویه با زاویهٔ ۳۵ درجه را بزرگ و کوچک کنید و ببینید اضلاع تغییر میکنند ولی نسبت آن‌ها نه. بعد ضلع مقابل، ضلع مجاور و وتر را برای هر زاویه پیدا کنید و با جدول مثلثاتی، بدون ماشین حساب، یک ضلع و یک زاویه را حساب کنید.
- نسبتهای مثلثاتی زاویههای خاصبا نصف کردن یک مثلث متساویالاضلاع و یک مربع، قیمت دقیق ساین، کوساین و تانجانت زاویههای ۳۰، ۴۵ و ۶۰ درجه را دریابید، تانجانت را با میل خط ربط بدهید و معادلهای مثل sin x = ۱۲ را حل کنید.
- زاویههای بزرگ، دایرهٔ مثلثاتی و رادیانیک نقطه را روی دایرهٔ مثلثاتی با زاویههای بزرگ‌تر از ۹۰ درجه و حتا منفی بچرخانید، ساین و کوساین را از جای آن بخوانید، زاویه را به رادیان بسنجید و قیمتهای دقیقی مثل sin۷π۶ را دریابید.
- زوایای وابسته، قوس و قطاعیک نقطه را روی دایرهٔ مثلثاتی انعکاس بدهید تا رابطهٔ ساین و کوساین زوایای θ و ۱۸۰ − θ را ببینید، با زاویهٔ مرجع cos ۱۲۰° را دریابید و طول قوس و مساحت قطاع را وقتی زاویه به رادیان است حساب کنید.
- گراف ساین و کوساین، دورهٔ تناوب و دامنهٔ نوسانگرافهای ساین و کوساین را بخوانید: کوساین کجا صفر می‌شود، دوره و بزرگ‌ترین قیمت در y = sin ۲x و y = ۲sin x + ۱ چطور تغییر میکنند و سیکانت و ساین معکوس را از همین منحنیها بخوانید.
- مطابقتهای مثلثاتی و اثباتبا sin۲θ + cos۲θ = ۱ و tanθ = sinθcosθ یک نسبت را از نسبت دیگر دریابید، سطر غلط یک «اثبات» را پیدا کنید و بدانید اثبات یک مطابقت چه معنا دارد.
- زوایای مرکب، دوچند و سهچند، مجموع و حاصلضرببا فورمولهای جمع زاویهها و قیمتهای دقیق sin ۷۵° را دریابید، با زاویهٔ دوچند و سهچند کار کنید، مجموع ساینها را به حاصل‌ضرب بدل کنید و √۳sin x + cos x را به شکل یک ساین بنویسید.
- معادلات مثلثاتی درجه دوم و سیستمهامعادلههای مثلثاتی را با پیدا کردن همهٔ زاویهها از ۰ تا ۳۶۰ درجه حل کنید: tan x = −۱، معادله‌های درجه دوم در ساین یا کوساین (یکی اول مطابقت لازم دارد) و سیستم دو معادله با دو مجهول x و y.
- قانون ساین، کوساین، تانجانت و مسایل فضاییمثلثهای رسم شده به مقیاس را با قانون ساین، قانون کوساین و قانون تانجانت حل کنید، بعد از مثلثهای قایمالزاویه کار بگیرید تا یک زاویه را در مکعب مستطیل دریابید.
- مساحت مثلث: ساین، هیرون و دایرههامساحت مثلث را از دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها یا از سه ضلع با فورمول هیرون دریابید، بعد با مساحت، شعاع دایرهٔ داخل و دایرهٔ دور مثلث را حساب کنید.
- تانژانت: نمودار، دامنه و دورهٔ تناوبنمودار y = tan x را بخوان: علامتش در هر ربع، جاهایی که تعریف نشده است، دورهٔ تناوبش و جوابهای معادلهٔ tan x = ۱.
- زوج و فرد بودن و فرمولهای کاهش زاویهکشف کن که سینوس، تانژانت و کتانژانت فردند و کسینوس زوج است، بعد قاعدهٔ تبدیل را به کار ببر: چه وقت نام تابع عوض می‌شود و علامت چیست.
- ویژگی‌های تابعهای مثلثاتیویژگیهای سینوس، کسینوس و کتانژانت را از روی نمودارشان بخوان: دوره، زوج یا فرد بودن، ریشه‌ها، بازههای نزولی، دامنه و برد.
- جواب کلی معادله‌های مثلثاتیخط y = b نمودار سینوس، کسینوس یا تانژانت را در بینهایت نقطه قطع میکند. همهٔ جوابها را با یک فرمول و n ∈ ℤ بنویس و در معادلهای که به درجهٔ دوم می‌رسد، ریشهای را که نمیشود کنار بگذار.
- سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه از ۰ تا ۱۸۰ درجهسینوس و کسینوس را با مختصات یک نقطه روی نیمدایرهٔ یکه تعریف کن، مقدار آن‌ها را برای زاویههای باز پیدا کن و از رابطهٔ sin²α + cos²α = 1 استفاده کن.
- حل مثلثمثلث را در چهار حالت حل کن: یک ضلع و دو زاویه، دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها، سه ضلع، و دو ضلع با زاویهٔ مقابل یکی از آن‌ها.
- نتیجههای قضیهٔ کسینوسهانوع مثلث (تند، قائم یا باز) را از بزرگ‌ترین ضلعش پیدا کن، مجموع مربعهای دو قطر متوازیالاضلاع را حساب کن و یک مسئله دربارهٔ ضلعهای AB و BC حل کن.
- کتانژانت، اتحاد مثلثاتی و حل مثلث قائمالزاویهکتانژانت و اتحاد اصلی مثلثاتی را یاد بگیر، مثلث قائمالزاویه را از روی وتر و یک زاویه یا از روی دو ضلع قائم حل کن و مسئلههای کاربردی را حل کن.
احصائیه و گراف
- جمعآوری دیتا، خطهای شمارش و گراف تصویریاز شاگردان صنف بپرسید، با خطهای شمارش حساب کنید و گراف تصویری رسم کنید.
- گراف میلهای و گراف خط منکسراز روی جدول گراف میلهای و گراف خط منکسر رسم کنید، آن‌ها را بخوانید و برای هر پرسش گراف مناسب را انتخاب کنید.
- چوبخط، جمع و تفریق با چوبخط و نمودار تصویری دهتاییچیزها را دستهبندی کن و با چوبخط بشمار، با چوبخط جمع و تفریق کن، و نمودار تصویری بکش که هر تصویر ۱۰ تاست.
- گراف دایروی و اوسطگراف دایروی را رنگ کنید و بخوانید، ستونها را همقد کنید تا اوسط را پیدا کنید، و نوع دیتا را بشناسید.
- مد، میانه، اوسط و ساحهٔ تحولکارتهای دیتا را ترتیب کنید تا میانه را پیدا کنید، مد و ساحهٔ تحول را از گراف نقطهیی بخوانید، ببینید وقتی یک قیمت تغییر میکند اوسط چطور حرکت میکند، و بهترین مقیاس مرکزی را انتخاب کنید.
- دیتای پرت و مقایسهٔ دو مجموعهٔ دیتاخیز جفت دو صنف را با یک مقیاس مرکزی و ساحهٔ تحول مقایسه کنید، یک قیمت را خیلی دور ببرید و ببینید اوسط، میانه و ساحهٔ تحول چه میکنند، و تصمیم بگیرید که یک دیتای پرت اشتباه است یا واقعی.
- دستهبندی دیتا، گراف مستطیلی و گراف چندضلعی کثرتقد شاگردان را در دستههای با طول مساوی بگذارید، جدول کثرت و کثرت نسبی را تکمیل کنید، گراف مستطیلی بکشید که میلههایش به هم چسپیدهاند و وسط دستهها را با هم وصل کنید تا گراف چندضلعی کثرت ساخته شود.
- اوسط دیتای دستهبندیشده و کثرت تجمعیبا ستون «وسط دسته × کثرت» اوسط دیتای دستهبندیشده را پیدا کنید، اوسط دو صنف را درست یکجا کنید، ستون کثرت تجمعی و گراف آن را بسازید و میانه را از روی گراف بخوانید.
- معلومات دو متحوله و گراف پراگندهگیجورههای معلومات را رسم کنید، نوع معلومات را بگویید، همبستهگی را توضیح دهید، مناسبترین خط را بکشید، با آن پیشبینی کنید و همبستهگی را از رابطهٔ علت و معلول جدا کنید.
- جامعه و نمونه، نمونهٔ تصادفی و روش‌های جمعآوری اطلاعاتاز جامعهٔ ۶۰۰ شاگرد یک مکتب، نمونهٔ تصادفی ۱۰ نفری و ۵۰ نفری بگیرید و نتیجه را با تمام مکتب مقایسه کنید. نمونهٔ یکطرفه را پیدا کنید و برای هر سؤال، روش مناسب جمعآوری اطلاعات را انتخاب کنید.
- تکمیلی: اوسط انحراففاصلهٔ هر نقطه را تا اوسط ببینید، اوسط این فاصلهها را پیدا کنید، بفهمید چرا مجموع تفاضلهای علامهدار همیشه صفر است، و دو مجموعهٔ دیتا را با پراگندگی آن‌ها مقایسه کنید.
- چارکها و گراف صندوقچهییدیتای مرتبشده را به چهار بخش تقسیم کنید، Q₁ و Q₃ را پیدا کنید، پنج عدد گراف صندوقچهیی را نشان دهید و نیمهٔ میانی دیتا را با فاصلهٔ بین چارکها اندازه کنید.
- واریانس، انحراف معیاری و ضریب تغییراتپراگندهگی را با مربع فاصلهها از اوسط اندازه کنید: واریانس، انحراف معیاری و ضریب تغییرات برای مقایسهٔ پراگندهگی دیتایی که واحدهای مختلف دارند.
- شکل دیتا و منحنی نورمالشکل یک گراف مستطیلی را بخوانید (متناظر یا کج)، ببینید کجشدگی اوسط را چطور از میانه دور میکند و برای دیتای زنگولهیی از قاعدهٔ ۶۸–۹۵–۹۹,۷ کار بگیرید.
- همبستهگی و خط رگرسیونقدرت همبستهگی را از r بخوانید، نقطهٔ اوسط را دریابید، خط رگرسیون را با میل و قطع محور بسازید و در داخل دیتای موجود پیشبینی کنید.
- گراف ساقه و برگ و سلسلههای زمانیدیتا را در گراف ساقه و برگ بنویسید و بخوانید، بعد یک سلسلهٔ زمانی را به شکل گراف خط منکسر رسم کنید و با اوسط متحرک هموار کنید.
- دستههای نابرابر و دیتای دو متحولهگراف مستطیلی دستههایی با عرض فرقکننده را با کثافت کثرت رسم کنید، کثرت را از روی میله بخوانید و دو متحول یک گروه را بالای یک گراف بخوانید.
- خط فقر، شاخص قیمت و تورمخط فقر را از میانهٔ درآمدها پیدا کن، شاخص قیمت کالاها را حساب کن و ببین تورم چه تأثیری دارد.
- روند، درونیابی و برونیابیالگو و روند یک سری زمانی را بخوان، مقدار بین دادهٔ ثبتشده را با درونیابی و مقدار بعد از آن را با برونیابی تخمین بزن.
- جمعآوری داده، مقیاس و نمودار خط شکستهجوابهای یک نظرسنجی را با چوبخط جدول کن، برای محور نمودار مقیاس مناسب انتخاب کن و نمودار دمای ۱۲ ماه را بخوان و تفسیر کن.
- درصد در آمار و احتمالنتیجهٔ یک نظرسنجی را به درصد بنویس، از زاویهٔ قطاع دایره درصد را پیدا کن، دایرهٔ درصدی بکش و احتمال را به صورت درصد بنویس.
- انواع متغیر، گردآوری داده و برآوردمتغیر کیفی و کمّی، گسسته و پیوسته را از هم جدا کن، نمونهٔ طبقهای بگیر، پرسشنامهٔ بیطرف را پیدا کن و میانگین جامعه را از روی نمونه تخمین کن.
- جدول دادهها: خواندن و پر کردنیک جدول ساده را بخوان، بزرگ‌ترین مقدار را پیدا کن، اختلاف را حساب کن و جدول را از دادهها پر کن.
- دستهبندی بر اساس ویژگیچیزها را بر اساس رنگ و شکل دستهبندی کن، تعداد هر دسته را بشمار و بزرگ‌ترین دسته را پیدا کن.
احتمال
- احتمال: حتمی، ممکن، ناممکناز خریطه گلوله بکشید، چرخک را بچرخانید و دانهٔ رمل بیندازید. بگویید هر حادثه حتمی است، ممکن است یا ناممکن.
- احتمال تجربی و احتمال نظریچرخک را بچرخانید، سرپوش بوتل را بیندازید و دانهٔ رمل بیندازید: ۱۰ بار، ۱۰۰ بار، ۱۰۰۰ بار. ببینید که کثرت نسبی کمکم به احتمال نزدیک می‌شود.
- فضای نمونه، حادثههای مرکب و حادثهٔ مکملهتمام حالتهای یک سکه و یک چرخک، دو سکه و دو دانهٔ رمل را بشمارید. حالتهای مطلوب را در جدول ۶ در ۶ پیدا کنید و احتمال «واقع نشدن» را از احتمال «واقع شدن» به دست آورید.
- دیاگرام وین، حادثهها و جدول دوطرفه۳۰ شاگرد یک صنف را بر اساس فوتبال و شطرنج در دیاگرام وین جابه‌جا کنید، همان معلومات را به جدول دوطرفه ببرید و برگردانید، حادثهها را مانند ست ببینید و احتمال «یا» را با قاعدهٔ جمع حساب کنید.
- دیاگرام درختی، اصل شمارش و حوادث مستقلدیاگرام درختی را رشد دهید تا جورههای لباس و نتیجههای مسابقه را بشمارید، احتمالها را روی شاخچهها بنویسید، در طول هر مسیر ضرب کنید، مسیرها را جمع کنید و ببینید وقتی مهره دوباره در خریطه گذاشته نشود چه تغییر میکند.
- قواعد احتمال، فضاهای پیوسته و تعداد مورد انتظاراحتمال نتیجههایی را که با هم واقع نمیشوند جمع کنید، پیدا کنید کدام لیستها میتوانند احتمال باشند، احتمال را به شکل بخشی از یک طول حساب کنید و پیشبینی کنید چند بار واقع می‌شود.
- احتمال مشروطبا جدول، دیاگرام وین و درخت احتمال یک حادثه را وقتی دیگری را از قبل میدانیم حساب کنید، ببینید چرا ترتیب «به شرط» مهم است و با حوادث وابسته آشنا شوید.
- حوادث مستقل و احتمال کلبا یک جدول بسنجید دو حادثه مستقلاند یا نه، ببینید چرا حوادثی که با هم واقع نمیشوند مستقل نیستند و مسیرهای درخت را جمع کنید تا احتمال نتیجهیی را که از چند راه میآید پیدا کنید.
- متحول تصادفی و امید ریاضیبه هر نتیجهٔ دو تاس یک عدد بدهید، احتمال قیمتهای آن عدد را پیدا کنید، اوسط یک تاس را حساب کنید و تصمیم بگیرید یک بازی در هر پرتاب چقدر میارزد.
- احتمال غیرهمشانس و قانون بیزبرای حالتهایی که شانس برابر ندارند، به هر حالت یک وزن بده و جمع بزن. بعد درخت را برعکس بخوان: وقتی پیچ معیوب پیدا شد، از کدام ماشین بوده است؟
- توزیع دو جملهیی و پواسنمسیرهای درخت را که دقیقاً k موفقیت دارند بشمارید، ببینید فورمول دو جملهیی از کجا میآید و برای حوادثی که اتفاقی میرسند از فورمول پواسن کار بگیرید.
- توزیع نورمال و نمرهٔ استانداردفاصله از اوسط را به حساب انحراف معیاری روی یک خط اعداد نشان بدهید، قاعدهٔ ۶۸–۹۵–۹۹,۷ را به کار ببرید، نمرهٔ استاندارد را حساب کنید و احتمال یک دنباله را پیدا کنید.
- اوسط نمونه، نسبت نمونه و قضیهٔ لیمت مرکزیببینید اوسط نمونهها بسیار کمتر از قیمتهای تکی پراگنده است، خطای معیاری اوسط و نسبت را حساب کنید و با قضیهٔ لیمت مرکزی یک احتمال پیدا کنید.
- احتمال و ترکیباحتمال یک پیشامد را با رابطهٔ P(A) = m ÷ n پیدا کن، وقتی حالتها را با ترکیب C(n, k) و جایگشت P(n, k) میشماریم.
ست و منطق
- ستها: عنصر، ست فرعی، اتحاد، تقاطع و مکملهکارتهای عددها را در دایرههای دیاگرام وین بگذارید، ست را با قوسهای {} بنویسید، اتحاد و تقاطع و تفاضل را رنگ کنید و با دیاگرام بشمارید.
- ترتیبها و گروهها: ترتیب و ترکیبدیاگرام درختی را رشد دهید و بشمارید چه کسانی میتوانند اول و دوم شوند، دوستان را در یک صف بچینید و ببینید چرا یک گروه کمتر از یک ترتیب شمرده می‌شود.
- قضیهٔ بینوم و مثلث پاسکال(a + b)³ را سه قوس ببینید و مسیرهایی را که هر جمله را می‌سازند بشمارید، ضرایب را از مثلث پاسکال بخوانید و برای بسطهای دارای عدد به کار ببرید.
- شمارش بدون دوبارهشماری و اصل کبوتر و لانهشاگردان دو کلوب را بشمارید بدون این‌که کسانی را که در هر دو هستند دو بار بشمارید، مضربهای ۲ یا ۳ را بشمارید و با اصل کبوتر و لانه مطمئن شوید که دو چیز در یک جعبه میافتند.
- گزارهنما، زیرمجموعهها و قوانین مجموعههاگزاره و گزارهنما را از هم جدا کن، مجموعهٔ جواب یک گزارهنما را بساز، تعداد زیرمجموعهها را بشمار و قوانین توزیعپذیری و جذب را روی نمودار ون هاشور بزن.
- بیانها، «و»، «یا»، «نه» و «اگر … پس …»تشخیص دهید کدام جملهها بیاناند، «و»، «یا» و «نه» را درست به کار ببرید، وعدهٔ «اگر … پس …» را بسنجید و عکسنقیض را پیدا کنید.
- سورها، استدلال معتبر و قوانین دموارگان«همه» را نفی کنید، «هر مضرب ۶ مضرب ۳ است» را رسم کنید، استدلال معتبر را از نامعتبر جدا کنید و قوانین دموارگان را برای ستها به کار ببرید.
- ثبوت: مستقیم، حالتها، خلف و استقرابا الجبر ثابت کنید جمع دو عدد تاق جفت است، ادعایی را با تقسیم به حالتها بررسی کنید، با برهان خلف ثابت کنید بزرگ‌ترین عدد جفت وجود ندارد و گام استقرا را برای اعداد تاق بردارید.
- جوره مرتب، رابطه و رابطهٔ معادلA × B را با نقطهها نشان دهید، یک رابطه را انتخاب کنید، آن را معکوس کنید تا رابطهٔ معکوس به دست آید و ببینید چرا «همباقیمانده بودن» رابطهٔ معادل است.
- شمارش با تکرار: جایگشت با تکرار، گروهبندی و ستاره و خطتیلههای همرنگ را در یک ردیف بچین، رمزهایی با رقم تکراری بشمار، دانشآموزان را در اتاقها تقسیم کن و تعداد انتخابهای گل از چند نوع را با ستاره و خط پیدا کن.
- نمایش مجموعه با نماد ریاضی و مجموعههای نامتناهیمجموعههای ℕ و ℤ و ℚ و ℝ را بشناس، اعضای مجموعهای را از روی شرطش بنویس، شرط یک مجموعه را بنویس و ببین چرا عددهای زوج و طبیعی «هماندازه»اند.
- ضریبهای دوجملهای، مثلث خیام–پاسکال و اثبات با شمارشگروههایی از دوستانت را به دو دسته تقسیم کن، قاعدهٔ مثلث خیام–پاسکال را با شمارش ثابت کن و ببین چرا مجموع هر ردیف توانی از ۲ است.
- گراف: رأس، یال و درجهگراف را بخوان: درجهٔ رأسها را پیدا کن، مجموع درجهها را با تعداد یالها مقایسه کن و ببین چرا گاهی یک گراف ممکن نیست.
- گراف: مجموعهٔ احاطهگرایستگاهها را طوری بگذار که همهٔ نقطههای نقشه پوشش داده شوند و کمترین تعداد لازم، یعنی عدد احاطهگری گراف، را پیدا کن.
- اصل جمع و ضرب، جایگشت و ترکیباصل جمع را از اصل ضرب تشخیص بده، فرمولهای جایگشت n شیء، جایگشت r تایی و ترکیب را به کار ببر و معادلهای با فاکتوریل حل کن.
- مسئلههای شمارشی: فهرستکردن، نمودار درختی و اصل ضربهمهٔ حالتهای قرار گرفتن سه دختر در طبقهها را پیدا کن، نمودار درختی حالتها را بساز و بفهم چرا تعداد حالتها با ضرب به دست میآید.
- اصل جمع و اصل ضرببه چند روش می‌شود «الف یا ب» و «الف و ب» را انتخاب کرد؟ اصل جمع، اصل ضرب، زوجهای (a, b)، نقشهٔ راهها و مسئلههای رقم‌ها.
اعداد مختلط
- اعداد مختلط: i، جمع، ضرب و تقسیمبا عدد i که i² = −۱ است آشنا شوید، اعداد مختلط را منحیث نقطههای مستوی جمع کنید، مثل قوسها ضرب کنید و با مزدوج تقسیم کنید.
- معادله‌های درجهٔ دوم و پولینومها با ریشهٔ مختلطببینید چرا x² + ۴x + ۱۳ = ۰ ریشهٔ حقیقی ندارد، معادلههایی با ریشهٔ مختلط را حل کنید، ریشه‌ها را در مستوی بگذارید و ریشهٔ گمشدهٔ یک معادلهٔ درجهٔ سوم را پیدا کنید.
- دیاگرام آرگاند: قدر مطلق، زاویه و چرخاندناعداد مختلط را منحیث نقطههای دیاگرام آرگاند ببینید، قدر مطلق و زاویهٔ آن‌ها را پیدا کنید، آن‌ها را نسبت به محور حقیقی قرینه کنید و با چرخاندن و کشیدن ضرب کنید.
- طاقتها، ریشه‌ها و دایرهها در دیاگرام آرگانداز e(iθ) منحیث یک نقطه بالای دایرهٔ واحد کار بگیرید، با دموآور به طاقت برسانید، چهار ریشهٔ یک عدد را منحیث مربع بگذارید و با |z − c| = r دایره رسم کنید.
ماتریس‌ها
- متریکس: مرتبه، عنصرها و انواع خاصمتریکس را مانند یک جدول بخوانید: عنصر را با سطر و ستونش پیدا کنید، مرتبه را بگویید و متریکسهای صفر، واحد و قطری را بسازید.
- جمع، ضرب سکالر، ضرب و ترانسپوز متریکسهامتریکسهای هممرتبه را جمع و تفریق کنید، در یک سکالر ضرب کنید، سطر را در ستون ضرب کنید و سطرها را ستون بسازید.
- دیترمینانتدیترمینانت ۲ × ۲ و ۳ × ۳ را حساب کنید، ببینید تبدیل کردن جای دو سطر چه میکند و دیترمینانت مساحتها را چطور تغییر میدهد.
- معکوس متریکس و حل سیستممعکوس متریکس ۲ × ۲ را با دیترمینانت پیدا کنید، معکوس ۳ × ۳ را با عملیه‌های سطری بیابید و با آن سیستم معادلات را حل کنید.
- طریقهٔ کرامر و طریقهٔ حذفی گاوسسیستم معادلات را با دیترمینانت (کرامر) حل کنید، بعد با عملیه‌های سطری (گاوس) و ببینید دیترمینانت صفر چگونه خطهای موازی میدهد.
- متریکس به حیث تبدیلمتریکس نقطههای مستوی را جابه‌جا میکند: آن را بالای یک نقطه اجرا کنید، از تصویر i و j بسازیدش و نقطههای ثابتش را پیدا کنید.
کلکولس (حساب دیفرانسیل و انتگرال)
- لیمت: نزدیک شدن به یک عددجدول قیمتهای تابعی را که در یک نقطه تعریف نشده، نزدیک همان نقطه پر کنید، لیمت را از گراف بخوانید و ببینید چرا لیمت طرف چپ و طرف راست باید برابر باشند.
- محاسبهٔ لیمت: خواص، صفر بر صفر و ساینلیمت جمع و ضرب را از گرافها حساب کنید، شکل مبهم صفر بر صفر را با تجزیه و ساده کردن باز کنید و لیمت ساین را بشناسید.
- لیمت بینهایت و لیمت در بینهایتببینید چرا ۱x۲ نزدیک صفر بزرگ می‌شود، مجانب افقی را رسم کنید، و شکلهای مبهم ∞ ÷ ∞ و ∞ − ∞ را باز کنید.
- متمادیت و سرعت تغییرببینید چه وقت گراف را بدون برداشتن قلم میتوان رسم کرد، k را برای متمادی شدن پیدا کنید و سرعت تغییر اوسط را کوچککوچک به سرعت لحظهیی نزدیک کنید.
- از قاطع تا مماس: تعریف مشتقنقطهٔ Q را روی گراف به P نزدیک کنید، میل خط قاطع را در جدول ببینید که به میل مماس می‌رسد، مماس را رسم کنید و بفهمید چرا در یک گوشه مشتق وجود ندارد.
- قوانین مشتققاعدهٔ توان، ضرب، تقسیم و مشتق تابع مرکب را با عدد روی یک نقطه بیازمایید و با مماس و عمود روی گراف بررسی کنید.
- مشتق ساین، اکسپوننشیل، لوگاریتم و توابع معکوسمشتق sin x را نزدیک صفر بسنجید، مماس بر ex را رسم کنید، با آینه بودن ln x نسبت به ex مشتق آن را پیدا کنید و قاعدهٔ تابع معکوس را به arctan برسانید.
- مشتق ضمنی، پارامتری، مرتبهٔ دوم و سرعتهای وابستهمیل دایره را در یک نقطه با مشتق ضمنی پیدا کنید، میل منحنی پارامتری را حساب کنید، مشتق دوم را بگیرید و بفهمید چطور تغییر ضلع، تغییر مساحت را میسازد.
- معادلهٔ خط مماس و بیشترین و کمترین مقدار تابع در یک بازهمعادلهٔ خط مماس را با y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) بنویس، مماس موازی یک خط و مماس گذرنده از نقطهای خارج از منحنی را پیدا کن، بعد بیشترین و کمترین مقدار تابع را در [a,b] پیدا کن.
- علامت مشتق و شکل گرافبا علامت f′(x) جاهای تابع متزاید و تابع متناقص را پیدا کنید، نقاط بحرانی (اعظمی و اصغری) را روی گراف بگذارید، نقطهٔ انعطاف را با f″(x) دریابید و قیمت اعظمی را حساب کنید.
- قضیهٔ رول، قاعدهٔ هوپیتال و سلسلهٔ مکلورننقطهای را که خط مماس افقی است پیدا کنید، نقطهٔ قضیهٔ قیمت اوسط را حساب کنید، لیمت شکل مبهم ۰/۰ را با مشتق بگیرید و ضریب سلسلهٔ مکلورن cosh(x) را بیابید.
- تخمین مساحت، مجموع ریمان و قاعدهٔ ذوزنقهمساحت زیر y = x۲ را با مستطیلهای باریک و ذوزنقهها تخمین کنید و ببینید با باریک شدن نوارها، تخمینها به کدام عدد نزدیک میشوند.
- از تابع اولیه تا انتیگرال معینتابع اولیه را بیابید و ببینید چرا +C لازم است، انتیگرال معین را با F(b) − F(a) حساب کنید، اوسط تابع را بیابید و با انتیگرال ۱x آشنا شوید.
- طریقه‌های انتیگرالگیریمتغیر و سرهای انتیگرال را با هم تعویض کنید، به طریقهٔ قسمی انتیگرال بگیرید، کسر را به کسور قسمی جدا کنید، تعویض مثلثاتی را انتخاب کنید و تصمیم بگیرید انتیگرال غیرحقیقی (ناسره) قیمت دارد یا نه.
- مساحت، حجم و طول قوس با انتیگرالبا انتیگرال معین مساحت محصور زیر یک منحنی و بین دو منحنی، حجم جسم دورانی، طول قوس و مساحت یک ناحیهٔ قطبی را حساب کنید.
- معادله‌های دیفرانسیلیک سرعت تغییر را به شکل معادلهٔ دیفرانسیل بنویسید، جواب y = Cekx را روی گراف پیدا کنید و یک معادلهٔ تفکیکپذیر را با شرط ابتدایی حل کنید.
- رسم گراف و اعظمیسازیمجانبها و نقاط مهم یک گراف را پیدا کنید و با قیمت اعظمی، مسئلههایی مثل بزرگ‌ترین مساحت و بزرگ‌ترین حجم را حل کنید.
- برنامهٔ بررسی تابع و رسم نمودارتابع را طبق برنامه بررسی کن: دامنه، زوج یا فرد بودن، ریشه‌ها، صعودی و نزولی بودن، نقطههای اکستریمم؛ بعد نقطههای کلیدی نمودار را مشخص کن.
- نمودار علامت مشتق و جهت تابعاز روی علامت مشتق در هر بازه با پیکان نشان بده تابع کجا صعودی ↗ و کجا نزولی ↘ است و نقطههای اکستریمم را پیدا کن.
روش‌های حل مسئله
- حل مسائل: رسم شکلمسئله را بخوانید. بگویید چه میدانید و چه میخواهید. شکل آن را بکشید و جواب را پیدا کنید.
- حل مسائل: جملهٔ عددی با خانهٔ □مسئله را به یک جملهٔ عددی تبدیل کنید. به جای عددی که نمیدانید یک خانهٔ □ بگذارید و آن را پیدا کنید.
- حل مسائل: نوشتن منظم، پیدا کردن الگو، حذف حالتها و حدس و امتحانچهار راه برای حل مسئله: همهٔ حالتها را با نظم بنویسید، الگو را پیدا کنید، حالتهای ناممکن را خط بزنید، و حدس بزنید و امتحان کنید.
- حل مسائل: مسئلههای مرحلهای، مسئلهٔ سادهتر و فهرست منظممسئلهٔ بزرگ را چند مرحله کنید، اول یک مسئلهٔ سادهتر حل کنید، همهٔ حالتها را به ترتیب بنویسید، و خود شما طریقه را انتخاب کنید.
- حل مسائل: راهبردها با مسئلههای هفتمفهرست منظم، زیرمسئله و مسئلهٔ سادهتر را با مسئلههای پولی و عددهای بزرگ‌تر تمرین کن.
- حل مسائل: مسئلهٔ سود و اطلاعات کافیسود فروشنده را در جدول پیدا کن، و ببین کدام عددهای مسئله لازماند و کدام نه، یا یک عدد کم است.
- مسئله: نوشتهٔ کوتاه و حلدادهها را کوتاه بنویس، تساوی بساز، مسئله را در یک یا دو قدم حل کن و جواب را بنویس.
- مسئلهها: چند برابر، چند تا بیشتر، مسئلهٔ معکوسیک عدد را چند برابر کن، با «چند برابر» مقایسه کن، مسئلههای غیرمستقیم و معکوس را حل کن.
- مسئلههای جدولی: قیمت، تعداد، هزینهیادداشت کوتاه را به شکل جدول «قیمت، تعداد، هزینه» بنویس و مسئلههای مجموع، تفاضل و نسبت دو حاصل‌ضرب را حل کن.
- مسئلههای چندمرحلهایمسئلهٔ ساده و چندمرحلهای را از هم تشخیص بده و حل را مرحلهبهمرحله و به صورت یک عبارت با پرانتز بنویس.
- مسئلههای چندمرحلهای با ضرب و تقسیممسئلههای چندمرحلهای را حل کن: باقی‌مانده، جمع و تفاضل حاصل‌ضرب‌ها و چند برابر بیشتر یا کمتر.
- دو مسئله را مقایسه کن: چه چیزی عوض شد؟دو مسئلهٔ مشابه را کنار هم بگذار، پیشبینی کن راه حل چه می‌شود و مسئلهٔ تغییریافته را حل کن.