مساحت، حجم و طول قوس با انتیگرال

مساحت محصور زیر منحنی y = f(x) از a تا b برابر انتیگرال معین ∫f(x)dx بین a و b است: تابع اولیه را در b و در a حساب کنید و از هم تفریق کنید. بین دو منحنی، همیشه «بالایی منفی پایینی» را انتیگرال بگیرید.

اگر ناحیه را دور محور x بچرخانید، حجم جسم دورانی V = π∫(f(x))^۲dx است: تابع را مربع کنید و π را فراموش نکنید. طول قوس L = ∫√(۱ + (f′(x))^۲)dx است.

در مختصات قطبی، مساحت ناحیه‌یی که شعاع r می‌روبد برابر A = ۱۲∫r^۲dθ است. نصف و مربع را فراموش نکنید.