مساحت لوزی و دایره

قطرهای معین بر هم عمودند و یکدیگر را نصف می‌کنند. آن‌ها لوزی را به ۴ مثلث قائم‌الزاویهٔ مساوی تقسیم می‌کنند. اگر قطرها ۸ و ۶ باشند، ضلع‌های زاویهٔ قائمهٔ هر مثلث ۴ و ۳ است.

اگر مستطیلی دور لوزی بکشیم که ضلع‌هایش برابر دو قطر باشد، این مستطیل از لوزی و ۴ مثلث مساوی با مثلث‌های داخل لوزی ساخته می‌شود. پس مساحت لوزی نصف مساحت مستطیل است.

پس مساحت لوزی برابر است با حاصل‌ضرب دو قطر تقسیم بر ۲. اشتباه رایج این است که تقسیم بر ۲ را فراموش کنیم یا قطرها را جمع کنیم.

اگر یک دایره را به قطاع‌های مساوی ببریم و آن‌ها را کنار هم بگذاریم، شکلی شبیه متوازی‌الاضلاع می‌شود که قاعده‌اش نصف محیط دایره و ارتفاعش شعاع است. پس مساحت دایره = نصف محیط × شعاع.

چون محیط دایره ۲×۳,۱۴×r است، نصف آن ۳,۱۴×r است. پس مساحت دایره برابر است با عدد پی × شعاع × شعاع، با ۳,۱۴ به جای عدد پی. اگر قطر را داشته باشی، اول نصفش کن.