نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص

این کارگاه برای صنف نهم است (فصل چهارم «مثلثات»: «نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص، رابطهٔ میل و تانجانت» و «معادلات مثلثاتی»).

یک مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع ۲ را با ارتفاعش نصف کنید. هر نیمه یک مثلث قایم‌الزاویه با زاویه‌های ⁦۳۰، ۶۰⁩ و ۹۰ درجه است؛ وترش ۲، ضلع کوتاهش ۱ و ارتفاعش با قضیهٔ فیثاغورث √(۲^۲ − ۱^۲) = √۳ است. از همین مثلث: ⁦sin ۳۰° = ۱۲، cos ۳۰° = √۳۲، sin ۶۰° = √۳۲، cos ۶۰° = ۱۲⁩.

قطر یک مربع با ضلع ۱ زاویهٔ ۴۵ درجه می‌سازد و دو ضلع کنارش مساوی‌اند، پس tan ۴۵° = ۱. خطی که از مبدأ می‌گذرد و با محور x زاویهٔ α می‌سازد، میل آن tanα است.

نسبت مثلثاتی با اندازهٔ زاویه متناسب نیست: sin ۶۰° دو برابر sin ۳۰° نیست. اینجا فقط زاویه‌های حاده (بین ۰ و ۹۰ درجه) را در نظر می‌گیریم.