ضرب داخلی بردارها: اندازه، زاویه و مختصات

این کارگاه با بخش «ضرب داخلی» فصل ۳ هندسهٔ ۳ (پایهٔ دوازدهم) هماهنگ است. زاویهٔ بین دو بردار ناصفر a و b همان زاویهٔ AOB است که ⁦OA = a⁩ و ⁦OB = b⁩. آن را با ⁦∠(a, b)⁩ نشان می‌دهیم و ۰° ≤ ∠(a,b) ≤ ۱۸۰°. اگر زاویه ⁦۹۰°⁩ باشد، بردارها بر هم عمودند.

ضرب سکالری دو بردار برابر است با حاصل‌ضرب اندازه‌هایشان در کسینوس زاویهٔ بینشان: ⁦a · b = |a| |b| cos ∠(a, b)⁩. ضرب داخلی ⁦a · a⁩ را a² می‌نویسیم و ⁦a² = |a|²⁩. دو بردار ناصفر وقتی بر هم عمودند که ⁦a · b = ۰⁩ باشد.

برای a با مختصات (a_۱,a_۲,a_۳) و b با مختصات (b_۱,b_۲,b_۳) داریم a·b = a_۱b_۱ + a_۲b_۲ + a_۳b_۳. پس cos∠(a,b) = a_۱b_۱ + a_۲b_۲ + a_۳b_۳√(a_۱^۲ + a_۲^۲ + a_۳^۲)·√(b_۱^۲ + b_۲^۲ + b_۳^۲).

ضرب داخلی جابه‌جایی‌پذیر است، ⁦(ka) · b = k(a · b)⁩ و نسبت به جمع پخشی است. پس ⁦(a + b)² = a² + 2a · b + b²⁩.