بردار در صفحه: مختصات، اندازه، ضرب داخلی

مختصات بردار در صفحه در فصل «بردار و مختصات» ریاضی هشتم آمده و ضرب داخلی در فصل ۳ هندسهٔ ۳ دوازدهم. بردار با مختصات داده می‌شود: اگر ⁦A (x_۱,y_۱)⁩ و ⁦B (x_۲,y_۲)⁩ باشد، ⁦AB (x_۲ − x_۱,y_۲ − y_۱)⁩ است. اندازهٔ ⁦a (a_۱,a_۲)⁩ برابر |a| = √(a_۱^۲ + a_۲^۲) است.

زاویهٔ بین دو بردار ناصفر a و b زاویهٔ AOB است که ⁦OA = a⁩ و ⁦OB = b⁩. آن را ⁦∠(a, b)⁩ می‌نویسیم؛ برای بردارهای هم‌جهت ⁦۰°⁩ و برای بردارهای خلاف جهت ⁦۱۸۰°⁩ است. وقتی زاویه ⁦۹۰°⁩ باشد بردارها بر هم عمودند: ⁦a ⊥ b⁩.

ضرب داخلی دو بردار ناصفر برابر است با حاصل‌ضرب اندازه‌هایشان در کسینوس زاویهٔ بینشان: ⁦a · b = |a| |b| cos ∠(a, b)⁩. با مختصات: ⁦a · b = a_۱b_۱ + a_۲b_۲⁩. دو بردار درست وقتی بر هم عمودند که ضرب داخلی‌شان صفر باشد.

کسینوس زاویهٔ بین دو بردار ناصفر: cos∠(a,b) = a_۱b_۱ + a_۲b_۲√(a_۱^۲ + a_۲^۲)·√(b_۱^۲ + b_۲^۲).