وکتور در فضا: طول، فاصله و کوساین‌های جهت

این کارگاه با فصل هفتم ریاضی صنف یازدهم («وکتورها در فضا») هماهنگ است. در سیستم مختصات قایم سه‌بعدی هر نقطه سه مختصات دارد و هر وکتور را a = xi + yj + zk می‌نویسیم. مثلاً (۲, ۳, ۶) همان ۲i + ۳j + ۶k است.

طول وکتور قطر مکعب مستطیلی است که ضلع‌هایش مؤلفه‌های آن‌اند: |a| = √(x^۲ + y^۲ + z^۲). فاصلهٔ دو نقطهٔ A و B طول وکتور AB = OB − OA است، و هر مختصات نقطهٔ وسطی نیم‌مجموع مختصات‌های همنام دو نقطه است.

اگر ⁦α، β⁩ و γ زاویه‌های وکتور با محورهای ⁦x، y⁩ و z باشند، کوساین هر کدام مؤلفهٔ آن محور تقسیم بر طول وکتور است. مربع‌های این سه کوساین جمعاً ۱ می‌شود. اشتباه‌های معمول: جمع کردن مؤلفه‌ها به جای مربع‌ها، فراموش کردن جذر، و تفریق مختصات‌ها با ترتیب نادرست.