کاوشگر
همهٔ کارگاه‌ها، از ساده به سخت.
عددها و ارزش مکانی
- شمارش و مقایسه عددها تا ۱۰سیب‌ها را جفت کن، بشمار و مقایسه کن. بعد علامت‌های <، > و = را بشناس.
- عددهای ۱۰ تا ۲۰: یک ده‌تایی و چند یکیبا دو جدول ده‌تایی عددهای ۱۰ تا ۲۰ را بخوان و بساز. یکی بیشتر، عدد بین، و عددهای ترتیبی.
- محور اعداد و شمارش چندتا چندتاعددها را روی محور پیدا کن. دوتا دوتا، پنج‌تا پنج‌تا و ده‌تا ده‌تا جلو برو و عددهای زوج و فرد را بشناس.
- دسته‌های ده‌تایی و یکی: عددهای دورقمیده تا یکی را یک دسته کن. با دسته‌های ده‌تایی و یکی‌ها عددها را تا ۱۰۰ بساز و بخوان.
- عددهای سه‌رقمی و چهاررقمی و نمایش گستردهبا مکعب‌ها عددهای تا ۱۰۰۰۰ را بساز، بخوان و به صورت گسترده بنویس؛ بعد دو عدد را از بزرگ‌ترین مرتبه مقایسه کن.
- عددهای بزرگ، تقریب و تخمینعددهای میلیونی را سه رقم سه رقم بخوان و بساز، عددها را به نزدیک‌ترین ده، صد یا هزار تقریب بزن و پیش از حساب کردن، جواب را تخمین بزن.
- تقریب زدن و محاسبهٔ تقریبیعددها را به ده‌تا و صدتا نزدیک کن و جواب جمع و تفریق را بدون حساب دقیق حدس بزن.
- عددهای صحیح (علامت‌دار)محور اعداد را از صفر به سمت چپ ادامه بده. دمای زیر صفر و عمق زیر سطح دریا را نشان بده و با پرش جمع و تفریق کن.
- تقریب عددهای اعشاریبین دو همسایهٔ یک عدد را بزرگ‌شده ببین و پیدا کن عدد به کدام نزدیک‌تر است: تا یکان، تا دهم و تا صدم. بعد ببین چه عددهایی به یک عدد گرد می‌شوند.
- شمارنده‌ها، مضرب‌ها و عددهای اولمهره‌ها را به شکل مستطیل بچین تا شمارنده‌های یک عدد را پیدا کنی. ببین چرا بعضی عددها فقط یک مستطیل دارند.
- بخش‌پذیری، ب.م.م، ک.م.م و توانروی جدول عددها مضرب‌ها را رنگ کن و قاعده‌های بخش‌پذیری را کشف کن. بعد شمارنده و مضرب مشترک، عددهای مربع و توان.
- ضرب و تقسیم عددهای صحیح و قدر مطلقعددهای منفی را با پرش روی محور ضرب و تقسیم کن، الگوی علامت‌ها را پیدا کن و فاصله از صفر را اندازه بگیر.
- عددهای گویا: مقایسه و چهار عملکسرها و عددهای اعشاری منفی را روی یک محور بگذار، آن‌ها را مقایسه کن و بعد با حرکت و بزرگ‌نمایی روی محور جمع و ضرب کن.
- غربال عددهای اولعددهای ۱ تا ۵۰ را بنویس و مضرب‌ها را خط بزن تا فقط عددهای اول بمانند. بعد بفهم تا کجا باید غربال کنی.
- تفریق عدد منفیهر تفریق را به جمع تبدیل کن، تفریق یک عدد منفی را روی محور ببین و جمع و تفریق دو رقمی را یکان و دهگان جدا حساب کن.
- توان عدد منفی و رشد با دو برابر شدنترتیب عمل‌ها را با توان رعایت کن، فرق (−۳)² و −۳² را بفهم و ببین چرا هر بار دو برابر شدن خیلی زود به عددهای بزرگ می‌رسد.
- تجزیه به عامل‌های اول، ب.م.م و ک.م.م و جذردو عدد را با درخت به عامل‌های اول بشکن. از عامل‌های مشترک ب.م.م و ک.م.م را بساز و با جفت و سه‌تایی کردن عامل‌ها جذر و ریشهٔ سوم را پیدا کن.
- قانون‌های توان، توان صفر و توان منفیعددهای توان‌دار را به صورت ضرب عامل‌ها روی یک خط کسری بنویس: برای ضرب، عامل‌ها را کنار هم بگذار؛ برای تقسیم، عامل‌های مساوی بالا و پایین را خط بزن؛ و ببین چرا a۰ = ۱ است و نمای منفی یعنی کسر.
- تقسیم عددهای گویامعکوس یک عدد گویا را پیدا کن و تقسیم عددهای گویای علامت‌دار را به ضرب تبدیل کن. ببین چرا تقسیم بر صفر معنا ندارد.
- ریشهٔ nام و توان‌های گویاریشهٔ nام را با توان بشناس: ریشهٔ زوج و فرد، ضرب ریشه‌ها، و بعد توان کسری مثل ۲۷۱۳ و ۸۲۳.
- نماد علمیرقم‌ها را با ÷۱۰ و ×۱۰ جابه‌جا کن تا فقط یک رقم غیرصفر سمت چپ ممیز بماند و ببین توانِ ۱۰ چطور تعداد جابه‌جایی‌ها را می‌شمارد.
- جذر تقریبی و عددهای حقیقی روی محورجذر یک عدد را بین دو عدد صحیح به دام بینداز، با مربع کردن تا دهم و صدم نزدیک شو و عددهای گویا و گنگ را روی محور عددهای حقیقی از هم جدا کن.
- عددهای رادیکالی و ساده کردن آن‌هاعدد زیر رادیکال را به عامل‌های اول بشکن و هر جفت را بیرون بیاور: √۱۲ = ۲√۳. رادیکال‌ها را در هم ضرب کن، رادیکال‌های متشابه را جمع کن و برای کنجکاوها: مخرج را گویا کن.
- روش اقلیدس برای بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک (ب.م.م)بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک (ب.م.م) دو عدد را با زنجیره‌ای از تقسیم‌ها پیدا کن، بی آن‌که شمارنده‌ها را بنویسی.
- قدر مطلق عددهای حقیقی و محاسبهٔ تقریبیقدر مطلق را فاصله از مبدأ ببین، سه حالت a مثبت و صفر و منفی را بشناس، قدر مطلق مجموع را با مجموع قدر مطلق‌ها مقایسه کن و با جذر تقریبی حساب کن.
- ویژگی‌های ریشه، توان گویا و معادله‌های رادیکالیریشهٔ خارج‌قسمت و ریشهٔ ریشه را پیدا کن، ریشه‌های با فرجام‌های مختلف را مقایسه کن و یک معادلهٔ رادیکالی را با مربع کردن، بررسی شرط و جای‌گذاری حل کن.
- عددها با حروف: ده‌هزارگان، صدهزارگان و میلیاردعددهای بزرگ را بساز و بخوان: عددهای پنج‌رقمی، صدهزار و عددهای بعد از میلیون.
- ریشه‌گیری: ریشهٔ دوم و سوم و علامت آن‌هابشمار چند عدد مربعشان یک عدد مثبت است، بفهم چرا ریشهٔ دوم عدد منفی معنا ندارد ولی ریشهٔ سوم دارد، و ببین چرا جذرِ مربع یک عدد همان قدر مطلق آن است.
- تقریب زدن عددها روی محورعدد را روی محور اعداد پیدا می‌کنیم و می‌بینیم به کدام ده‌تایی، صدتایی یا هزارتایی نزدیک‌تر است. عدد وسط به سمت بزرگ‌تر تقریب زده می‌شود.
- عددها با حروفعددهای دو و سه رقمی را از ده‌تایی‌ها و یکی‌ها بساز و با حروف بخوان و بنویس.
- بخش‌پذیری در اعداد صحیحالگوریتم تقسیم، ویژگی‌های بخش‌پذیری و نوشتن ب.م.م دو عدد به‌صورت ترکیبی از خود آن دو عدد.
- جدول عددها و شمارش چندتا چندتاروی جدول عددها سه‌تا سه‌تا، چهارتا چهارتا، شش‌تا شش‌تا و هفت‌تا هفت‌تا جلو برو و با میله‌ها جمع تکراری را ببین.
- هم‌نهشتی در اعداد صحیحعددهایی که در تقسیم بر یک عدد باقی‌مانده یکسان دارند، «هم‌نهشت» هستند. ببین چطور با آن‌ها حساب کنیم.
- ارزش مکانی عددهای اعشاریعدد اعشاری را در جدول ارزش مکانی با ستون‌های یکان، دهم و صدم بنویس و بخوان، و با نمایش گسترده بساز و مقایسه کن.
- تقریب: گرد کردن و قطع کردنیک عدد را با تقریب کمتر از ۱۰، ۱۰۰، ۱، ۰/۱ با دو روش «گرد کردن» و «قطع کردن» تقریب بزن، تشخیص بده کدام گرد شده است، کسر را تقریب بزن و حاصل‌ضرب را تخمین بزن.
- ترکیب عددهای ۶ تا ۹ و صفرعددهای ۶، ۷، ۸ و ۹ را با مهره‌ها به دو قسمت تقسیم کن. بعد ببین اگر همه چیز برداشته شود یا هیچ چیز برداشته نشود چه می‌شود.
- کارت تجزیه و نوارهادو قسمتی را که ۶ را می‌سازند بنویس و نواری از ۷ خانه بساز.
- ویژگی‌های ریشهٔ دومریشهٔ دوم مجذورها، حاصل‌ضرب‌ها، خارج‌قسمت‌ها و توان‌ها را با ویژگی‌های ریشهٔ دوم پیدا کن.
- دنبالهٔ عددهای طبیعی و نیم‌خط عددیعدد قبل از یک عدد را پیدا کن، بفهم چرا بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود ندارد، نقطهٔ K(5) را روی نیم‌خط عددی نشان بده و یک مقیاس را بخوان.
- تقسیم با باقی‌مانده و بخش‌پذیری بر ۹ و ۳بفهم چرا باقی‌مانده از مقسوم‌علیه کوچک‌تر است، مقسوم را با a = bq + r بساز و بخش‌پذیری بر ۹ و ۳ را با مجموع رقم‌ها بسنج.
چهار عمل اصلی
- جمع و تفریق تا ۱۰سیب‌ها را کنار هم بگذار، بردار و مقایسه کن. با دو عدد، ۱۰ بساز.
- جمع و تفریق تا ۲۰ و عبور از دهاول ۱۰ را پر کن، بعد بقیه را بگذار. سه عدد را جمع کن، جای عددها را عوض کن و چهار جملهٔ یک خانواده را پیدا کن.
- جمع و تفریق ذهنی روی محورهر جمع و تفریق را با پرش روی محور نشان بده: اول دهگانها، بعد یکانها، یا اول تا ده بعدی.
- ضرب و تقسیم با دسته‌های مساویسیبها را در دسته‌های مساوی بچین، مهره‌ها را ردیف کن و ببین ضرب و تقسیم چطور به هم وصلاند.
- جدول ضربضربها را با شکل یاد بگیر و با بازی تمرین کن: اول ۲، ۵ و ۱۰، بعد صفر و یک، بعد بقیهٔ جدول ضرب.
- ضرب و تقسیم در ۱۰، ۱۰۰ و ۱۰۰۰وقتی عددی را در ۱۰ ضرب میکنی، هر رقم یک ستون به چپ میرود؛ وقتی بر ۱۰ تقسیم میکنی، یک ستون به راست. این را روی جدول ارزش مکانی ببین، اول با عددهای طبیعی و بعد با عددهای اعشاری.
- جمع و تفریق ستونیعددها را زیر هم بنویس و ستون به ستون جمع و تفریق کن؛ یک ده‌تایی را به ستون بعد ببر، از ستون کناری قرض بگیر و جوابت را بررسی کن.
- ضرب ستونیضرب را ستونی بنویس: اول ضرب در یک عدد یکرقمی با عدد کوچک بالای ستون، بعد ضرب دو عدد دورقمی با دو سطر، و آخر ضرب عددهای اعشاری.
- تقسیم با باقی‌مانده و تقسیم طولانیتقسیم را رقم به رقم بنویس، ببین باقی‌مانده چیست و در مسئله با آن چه کنی، و جواب تقسیم را با ضرب بررسی کن.
- تکمیلی: جمع و تفریق با چرتکهبا مهرههای چرتکه عددهای دورقمی را جمع و تفریق کن. ده مهرهٔ یکان را با یک مهرهٔ دهگان عوض کن، و برعکس.
- ضرب عددهای رند و محاسبهٔ اعشاریضرب عددهایی که صفر آخر دارند (۴۰×۳۰ و ۶۵۰×۳۰۰)، جمع و تفریق ستونیِ عددهای اعشاری، و ضرب دو عدد اعشاری با شمردن رقمهای اعشار.
- ضرب ستونی در عدد چندرقمی و عدد گردبا حاصلضربهای جزئی در عدد سه‌رقمی، عددی که صفر دارد و عدد گرد ستونی ضرب کن.
- ضرب با مکعب‌ها: هر بخش را جدا ضرب کناول ضرب در عددهای ده‌تایی، بعد ضرب عدد چندرقمی در یک عدد یکرقمی با مکعبهای صدتایی، ده‌تایی و یکی: هر بخش را جدا ضرب می‌کنیم و حاصلها را جمع می‌کنیم.
- جمع و تفریق چهاررقمی با مکعبهای هزارتاییجمع و تفریق عددهای چهاررقمی در جدول ارزش مکانی با مکعبهای یکی، ده‌تایی، صدتایی و هزارتایی، با تبدیل ده تا به یکی در ستون بعد.
- شمردن دستهای و مسئلههای ضربشمردن با گامهای ۷ و ۲۰۰، «چند برابر» در داستانها، تبدیل دلار به تومان و مسئلههای سرعت با ماشین ضرب.
- اجزای تساوی: جمعشونده، حاصل جمع، حاصل تفریقروی خط عددی تکهتکه جمع و تفریق کن، نام اجزای تساوی را یاد بگیر و تفریق را با جمع پیدا کن.
- عدد نامعلوم و تغییر حاصل جمعجمعشوندهٔ نامعلوم و عددهای نامعلوم تفریق را با قاعده پیدا کن، عبارتها را بدون حساب مقایسه کن و ببین حاصل جمع چطور عوض می‌شود.
- عددهای دو رقمی: رقمبهرقم، تکهتکه و ترفند گرد کردنعددهای دو رقمی را رقمبهرقم و تکهتکه جمع و تفریق کن و ۳۸ + ۹ را با کمک ۱۰ حساب کن و یکی اضافه را برگردان.
- جدول ضرب و بستگی نتیجه به عددهاجدول ضرب را بررسی کن، پشت سر هم ضرب و تقسیم کن و ببین حاصل‌ضرب و خارج‌قسمت چطور به عددها بستگی دارند.
- روش‌های ذهنی: رقمبهرقم، گرد کردن، تقسیم تکهتکهعددها را رقمبهرقم و با گرد کردن جمع و تفریق کن، عددها را بشکن و تقسیم کن و عددهای گرد را با واحدهای ارزش مکانی تقسیم کن.
- راههای هوشمندانه برای ضرب و تقسیمضرب و تقسیم در ۵، ۲۵، ۵۰، ۱۱، ۱۰۱، ۹ و ۹۹ را با راههای آسان انجام بده.
- قانون‌های عمل‌ها و محاسبهٔ هوشمندانهبا خاصیتهای جابهجایی، شرکتپذیری و پخشی، حساب کردن را آسان کن و عبارتها را با عددهای گویا ساده کن.
- عبارت، تساوی، نابرابریعبارت و تساوی و نابرابری را از هم تشخیص بده، تساویهای نادرست را خط بزن و عبارتها را بدون محاسبه مقایسه کن.
- تقسیم با باقی‌مانده بر ۱۰ و ۱۰۰با پوشاندن رقمهای سمت راست بر ۱۰ و ۱۰۰ با باقی‌مانده تقسیم کن و عددهای مختوم به صفر را با خط زدن صفرهای برابر تقسیم کن.
- زنجیرهٔ عملهاپیکانها را دنبال کن: یک عدد در دایره و یک عمل روی پرچم. عدد آخر زنجیره را پیدا کن و پرچمِ پاکشده را برگردان.
- جدولهای جمعجدول جمع ۱ و ۲ و ۵ و ۷ را بخوان، نتیجهها را بپوشان و دوباره بنویس. بعد جمعهای دهگان دوم (۱۱ تا ۲۰).
- تفریق ۶ و ۷ و ۸ و ۹عدد اول را به صورت جمع دو عدد مناسب بنویس که یکیشان با عدد دوم برابر است. آنوقت جمعشونده دیگر میماند.
- جمع و تفریق یک حاصلجمعیک حاصلجمع را به عدد اضافه کن، از عدد کم کن و یک عدد را از حاصلجمع کم کن؛ تساویها را با پرانتز بنویس.
کسرها
- کسر چیست؟یک چیز را به قسمتهای مساوی تقسیم کن و با کسر نشان بده چند قسمت را برداشتهای.
- کسر روی محور اعدادکسرها هم عددند و هر کدام جای خودش را روی محور اعداد دارد. فاصلهٔ صفر تا یک را قسمتهای مساوی ببین و نقطه بگذار.
- کسرهای مساوییک مقدار را می‌شود با کسرهای مختلفی نشان داد. ببین چطور وقتی قسمتها ریزتر یا درشتتر می‌شوند، کسر عوض می‌شود ولی مقدار نه.
- مقایسهٔ کسرهاکدام کسر بزرگ‌تر است؟ نوارها را زیر هم بگذار و ببین رنگ کدام جلوتر رفته است.
- جمع و تفریق کسرهاکسرها را روی نوار کنار هم بگذار، جمع کن و کم کن. وقتی مخرجها مساوی نیستند، اول بخشها را مساوی کن.
- ضرب و تقسیم کسرهابا نوار ببین ضرب در کسر یعنی «چند بار» یا «چه کسری از»، و تقسیم بر کسر یعنی «چند تا در آن جا می‌شود».
- عدد اعشاریدهمها و صدمها را روی محور اعداد پیدا کن و ببین عدد اعشاری چطور نوشته و خوانده می‌شود.
- تقسیم و کسرتقسیم را رقم به رقم بنویس و ببین هر کسر در واقع یک تقسیم است که می‌شود آن را به عدد اعشاری تبدیل کرد.
- کسری از یک مقدارسیبها را مساوی پخش کن و چند قسمت بردار. بعد یک دستور پخت را بزرگ و کوچک کن.
- درصد و تبدیل کسر، اعشار و درصددرصد یعنی «چند از صد». با مربع صدتایی و نوار ۱۰۰٪ ببین کسر، عدد اعشاری و درصد سه اسم برای یک مقدارند.
- ضرب و تقسیم عددهای مخلوطبا نوارها ببین ضرب و تقسیم عدد مخلوطها چطور کار میکند، و در یک عبارت اول کدام عمل را انجام بدهی.
- تقسیم اعشاری و عددهای اعشاری متناوبتقسیم اعشاری را به تقسیم عددهای طبیعی تبدیل کن، تقسیم را ادامه بده تا ببینی کجا رقم‌ها تکرار می‌شوند، و یک عدد اعشاری متناوب را به کسر تبدیل کن.
- کسر مرکبکسری که صورت یا مخرجش کسر است: یک کسر را روی نوار تقسیم کن، کسر در کسر را بشمار و با وارونه کردن کسر پایین تقسیم کن.
- تفریق عدد مخلوط و محاسبه با کسرعددهای مخلوط را از هم کم کن، یک واحد را در صورت نیاز به کسر باز کن، عبارتهایی با کسر مرکب را حل کن و یک دستور پخت را برای تعداد بیشتری لیوان بزرگ کن.
- قسمتی از یک عدد و پیدا کردن عدد از روی قسمتشقسمتی از یک عدد را پیدا کن و از روی قسمت، کل را به دست بیاور: اول یک قسمت، بعد کل یا چند قسمت.
- کسر بزرگ‌تر از واحد، پیدا کردن عدد از روی کسرش، درصد و مقدار تقریبی اعشاریکسر بزرگ‌تر از واحد را روی نوارها نشان بده، از روی مقدار یک کسر یا یک درصد کل را پیدا کن، یک عدد را به‌صورت درصدی از عدد دیگر بنویس و کسر را تا رقم صدم گرد کن.
- کسری از واحدهای اندازه‌گیری۶ سانتیمتر چه کسری از یک متر است و ۳ ماه چه کسری از یک سال؟ کسری از یک واحد را با واحد کوچک‌تر بنویس و با عدد همراه با واحد مقایسه کن.
نسبت و تناسب
- نسبت و تقسیم به نسبتبا نوار دورنگ ببین «۲ به ۳» یعنی چه، نسبتها را ساده کن، و یک مقدار را به نسبت دادهشده تقسیم کن.
- تناسب و روش واحدبا جدول تناسب، مقدار مجهول را پیدا کن: اول مقدار برای یک واحد، بعد برای هر مقدار دیگر. آخر سر هم تناسب معکوس.
- بزرگ‌نمایی و شکلهای متشابهیک شکل را با نسبت معلوم بزرگ کن، شکلهای متشابه را پیدا کن، نسبت تشابه را بخوان و یک شکل متشابه بکش.
- درصد تغییر، ضریب تغییر و قیمت اولیهمقدار اولیه یک نوار ۱۰۰٪ است. افزایش، نوار را بلندتر میکند (۱۲۰٪) و کاهش، کوتاهتر (۸۵٪). با نوار، ضریب تغییر، درصد تغییر و قیمت اولیه را پیدا کن.
- نرخ، قیمت واحد و چگالیبا جدول نسبت، مقدار «برای هر یک» را پیدا کن: قیمت هر کیلوگرم، لیتر برای هر هزار تومان، و جرم هر سانتیمتر مکعب.
- نقشه و رسم با مقیاسبا خطکش روی نقشه و نقشهٔ خانه اندازه بگیر و با مقیاس، اندازهٔ واقعی را پیدا کن.
- نمودار تناسب مستقیم و تناسب معکوسنمودار تناسب مستقیم را از روی جدول رسم کن، k را از یک نقطه پیدا کن، منحنی y = kx را با لغزنده از یک نقطه بگذران، نمودار تناسب مستقیم را پیدا کن و یک تناسب معکوس رسم کن.
- تکمیلی: تناسب مرکبدر تناسب مرکب سه مقدار با هم تغییر میکنند. در جدول هر بار فقط یکی را عوض کن و ببین تناسب مستقیم است یا معکوس.
- مسافت، سرعت، زمان: s = v × tمسافت، سرعت و زمان را از روی جدول و با فرمولهای s = v × t ،v = s ÷ t و t = s ÷ v پیدا کن.
- حرکت دو جسم و کار مشترکفاصلهٔ دو جسمی را که همزمان حرکت میکنند و زمان کار مشترک را با جدول و نقشهٔ حل پیدا کن.
- تقسیم متناسب و مقدار یکسانمسئلهها را با یادداشت کوتاه «قیمت، تعداد، هزینه» حل کن: تقسیم متناسب و پیدا کردن مقدار یکسان از دو اختلاف یا دو مجموع.
- چهارم متناسب و دو بار پیدا کردن مقدار یک واحدمسئلهها را با روش نسبتها و با پیدا کردن مقدار یک واحد حل کن، و مسئلههایی که دو مقدار در آن‌ها عوض می‌شود.
- شکلهای متشابه: طول، مساحت و حجموقتی شکلی با نسبت تشابه k بزرگ می‌شود، طولها k برابر، مساحتها k² برابر و حجمها k³ برابر می‌شوند. با جدول نسبت، اندازهٔ مجهول را پیدا کن.
- کار: بازده، زمان و کل کارمسئلههای کار را حل کن: بازده در یک ساعت × زمان کار = کل کار انجامشده، با جدول کوتاه.
- مسئلههای تناسب: مقدار ثابتمسئلههایی را حل کن که یک مقدارشان ثابت است (وزن یک جعبه، قیمت یک مداد، وزن کل): اول آن را پیدا کن، بعد به پرسش جواب بده.
- حرکت و کار: یک روش برای هر دومسئلههای حرکت همزمان و کار گروهی را با یک روش حل کن: سرعت × زمان = مسافت و بازده × زمان = کار انجامشده.
پول و حساب‌های مالی
- آشنایی با پول: سکه و اسکناسسکهها و اسکناسها را بشناس، با آن‌ها یک مقدار پول درست کن و ببین ریال و تومان چه فرقی دارند.
- خرید کردن و باقیماندهٔ پولقیمت چند چیز را با هم جمع کن، پولش را بده و باقی پول را با شمردن رو به جلو پیدا کن.
- درصد در خرید و فروش: تخفیف، سود و زیانبا نوار ۱۰۰٪ ببین تخفیف چقدر از قیمت کم میکند، و سود و زیان فروشنده چند درصدِ اصل پول است.
- سود ساده و سود مرکبپسانداز را سال به سال دنبال کن: با سود ساده هر سال همان مقدار اضافه می‌شود و با سود مرکب هر سال در همان عدد ضرب می‌شود. بعد ببین قیمت یک وسیله چطور هر سال کم می‌شود.
- درصد و واحد درصدفرق «۵ درصد زیاد شد» با «۵ واحد درصد زیاد شد» چیست؟ نرخ ۲۰٪ که به ۲۵٪ می‌رسد، سهم دانشآموزان ممتاز و یک مسئلهٔ بانکی.
اندازه‌گیری
- مقایسهٔ اندازهها: بلندتر، سنگینتر، پرترکدام بلندتر است؟ کدام سنگینتر است؟ با گیره، وجب و لیوان اندازه بگیر.
- اندازه‌گیری طول، جرم و گنجایشبا خطکش، ترازو و پیمانه اندازه بگیر. اول حدس بزن، بعد اندازه بگیر.
- ساعت و تقویمعقربههای ساعت را بچرخان، ساعت بعدازظهر را مثل گوشی بنویس و روزها را در تقویم پیدا کن.
- محیط و مساحتدور شکل را بپیما تا محیط را پیدا کنی، شکل را با مربعهای واحد بپوشان تا مساحت را پیدا کنی، و ببین که دو شکل با مساحت برابر میتوانند محیطهای متفاوت داشته باشند.
- ربع ساعت و ترتیب زمان«یک ربع بعد از ۹» و «یک ربع مانده به ۱۰» را روی ساعت نشان بده، ساعت را به دو صورت بنویس و ببین کدام کار بیشتر طول میکشد.
- تبدیل واحدهامتر را به سانتیمتر، گرم را به کیلوگرم و لیتر را به میلیلیتر تبدیل کن. نوار تبدیل کمکت میکند.
- مساحت مثلث، متوازیالاضلاع، ذوزنقه و دایرهتکهها را جابه‌جا کن تا ببینی چرا مساحت متوازیالاضلاع «قاعده × ارتفاع» است، چرا مثلث نصف آن است، ذوزنقه را با یک ذوزنقهٔ دیگر کامل کن و مساحت دایره را تخمین بزن.
- حجم مکعب مستطیلبا مکعبهای واحد جعبه بساز، مکعب‌ها را طبقه به طبقه بشمار و ببین چرا حجم مکعب مستطیل «طول × عرض × ارتفاع» است.
- تکمیلی: خواندنِ دما با دماسنجدماسنج را بخوان و دمای زیرِ صفر را نشان بده.
- حجم و مساحت منشور و استوانهمنشور و استوانه را بچرخان، قاعده را پیدا کن، آن را لایه لایه پر کن تا ببینی چرا «حجم = مساحت قاعده × ارتفاع» است، و گسترده را باز کن تا مساحت جانبی و مساحت کل را بشماری.
- اندازه‌گیری دقیقتر و قسمتی از یک واحدبا واحد خودت اندازه بگیر، قسمتهای کوچک سانتیمتر را بشمار و وسط یک خط را پیدا کن.
- حجم و مساحت هرم، مخروط و کرههرم را در منشورش، و کره را در استوانهاش آب کن تا ببینی ۱۳ و ۲۳ از کجا میآیند. مخروط را باز کن تا قطاع دایره را ببینی، مولّد را با رابطهٔ فیثاغورس پیدا کن و حجم و مساحت یک برج را حساب کن.
- لوله، قوطی و جعبه: مسئلههای حجم و سطحیک ورق را لوله کن و گنجایشش را به لیتر بگو، مساحت ورق قوطی و جعبه را مقایسه کن و حجم جعبهٔ بدون در را پیدا کن.
- دقت اندازه‌گیری: کران بالا و کران پاییناندازهٔ گردشده در واقع جایی در یک بازه است. بازه را رسم کن و با کرانها بزرگ‌ترین و کوچکترین جواب را پیدا کن.
- اندازه‌گیری زمان: دقیقه و ثانیهساعت رسیدن را پیدا کن، زمان گذشته بین دو ساعت را با پیکانهای زمان حساب کن، و دقیقه و ثانیه و ساعت را به هم تبدیل کن.
- کیلومتر، گنجایش و جرم آبمتر و کیلومتر را به هم تبدیل کن، گنجایش ظرف را از حجم مایع درونش جدا کن، و ببین یک لیتر آب چند سانتیمتر مکعب و چند گرم است.
- مساحت لوزی و دایرهمساحت لوزی را با چهار مثلث و با قطرهایش پیدا کن، ببین چرا لوزی نصف مستطیل دورش است، و مساحت دایره را از روی قطاعهایش و با فرمول عدد پی × شعاع × شعاع حساب کن.
- متر و سانتیمتر، کیلوگرم و گرم با هماندازههای دوواحدی را بخوان و بنویس (۳۲۵ سانتیمتر = ۳ متر و ۲۵ سانتیمتر)، واحد مناسب را انتخاب کن و نیم سانتیمتر را روی خطکش بخوان.
- دسیمتر و کار با اندازههایاد بگیر که ۱ دسیمتر برابر ۱۰ سانتیمتر است، روبانها را با دسیمتر اندازه بگیر و طولهای دسیمتری و سانتیمتری را جمع کن.
- اندازههای چندواحدی و چهار عمل روی آنهااندازههای دوواحدی را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کن: همه را با یک واحد بنویس، حساب کن و جواب را دوباره با دو واحد بنویس.
- مساحت مستطیل و یکاهای مساحتمساحت مستطیل را با S = a · b پیدا کن، ضلع مجهول را حساب کن و یکاهای مساحت را بشناس: سانتیمتر مربع، دسیمتر مربع، متر مربع، آر و هکتار.
- زمان: جمع و تفریق عددهای نامدارواحد بزرگ زمان را به واحد کوچک‌تر تبدیل کن، جمع یا تفریق کن و جواب را با دو واحد بنویس. مدت یک رویداد را از روی شروع و پایانش پیدا کن.
- منشور، مکعبمستطیل و هرم: ویژگیها، برشها، هرم ناقصقطر مکعبمستطیل، حجم منشور مایل، مساحت جانبی هرم منتظم، حجم هرم ناقص و برش هرم را پیدا کن.
- برشهای استوانه، مخروط و کره، معادلهٔ کرهقطر مقطع محوری، شعاع برش مخروط و کره را پیدا کن و مرکز و شعاع را از معادلهٔ کره بخوان.
- منشور: مسئلههایی با قطر و زاویهارتفاع و یال جانبی منشور قائم را از روی یک قطر و یک زاویه پیدا کن، مساحت جانبی را حساب کن و جواب را با رادیکال بنویس.
- هرم: رأس روی کدام نقطهٔ قاعده میافتد؟از روی برابری یالهای جانبی یا زاویههای دووجهی، مشخص کن رأس هرم روی کدام نقطهٔ قاعده تصویر می‌شود؛ بعد ارتفاع و مساحت جانبی را پیدا کن.
- حجم جسمها: مسئلههاحجم یک قطعه را از بالا آمدن آب، شعاع یک کرهٔ ذوبشده و حجم جسمی که از دوران مثلث یا ذوزنقه ساخته می‌شود پیدا کن. π را در جواب نگه دار.
- محیط چندضلعیمحیط مثلث ABC و مستطیل DMPK را بهعنوان جمع طول همهٔ ضلعها پیدا کن.
- طول کمان، مساحت قطاع و قطعهٔ دایرهطول کمان n درجه، مساحت قطاع و قطعهٔ دایره را با l = πRn/180 و S = πR²n/360 پیدا کن.
هندسه و شکل‌ها
- شکلهای هندسی و تقارنروی صفحهٔ میخدار مثلث و مربع بساز، مثلثها را پیدا کن و خط تقارن را بکش.
- گوشه، دایره، مستطیل و تقارنگوشهها را بشمار، شکلی را که گوشه ندارد پیدا کن، مستطیل بکش، شکل را تا کن و آن را به بخشهای مساوی تقسیم کن.
- شکلهای فضایی: مکعب، استوانه، کره…مکعب، مکعب مستطیل، استوانه، مخروط، کره و هرم را بشناس، وجهها و یالها را بشمار و گسترده مکعب را بساز.
- خط، نیم‌خط، پارهخط و زاویهنیمخطها را پیدا کن، روی صفحهٔ نقطهدار خط موازی و عمود بکش و زاویهها را با زاویهٔ قائمه مقایسه کن.
- مثلثها و چهارضلعیهامثلثها را از روی ضلعها و زاویهها دستهبندی کن، خانوادهٔ چهارضلعیها را بشناس و قطرهای لوزی را بکش.
- چندضلعیها و مجموع زاویههاچندضلعیهای منتظم را پیدا کن، مجموع زاویههای مثلث را کشف کن و با تقسیم به مثلث، مجموع زاویههای چندضلعیها را پیدا کن.
- اندازه‌گیری زاویه با نقالهزاویه را با نقاله بخوان و رسم کن. زاویههای روی یک خط، زاویههای متقابل به رأس و نیمساز را پیدا کن.
- دایره، شعاع، قطر و عدد پیقطر و شعاعِ دایره را اندازه بگیر. نواری دورِ دایره بپیچ و ببین محیطِ دایره چند برابرِ قطرش است.
- رسمهای هندسی با پرگار و خطکشبا پرگار و خطکش وتر و کمان را بشناس، عمودمنصف و نیمساز را رسم کن و مثلث را از روی ضلعهایش بساز.
- زاویههای دو خط موازی و یک خط موربدو خط موازی و یک خط مورب را بکش و بچرخان و ببین کدام زاویهها همیشه با هم برابرند، کدامها مکملاند، و وقتی خطها موازی نباشند چه می‌شود. بعد با یک خط موازی نشان بده که مجموع زاویههای مثلث ۱۸۰ درجه است.
- نابرابری مثلث، میانه، ارتفاع، نیمساز و عمودمنصفبا سه چوب مثلث بساز و ببین کدام سه طول مثلث می‌سازند و کدام نه. بعد میانه، ارتفاع و عمودمنصف را روی مثلثی که خودت شکلش را عوض میکنی امتحان کن و ببین سه میانه همیشه کجا به هم میرسند.
- شکلهای هم‌نهشت و حالتهای هم‌نهشتی مثلثهایک شکل را جابه‌جا کن، بچرخان و برگردان تا روی شکل دیگر بیفتد. بعد رأسهای متناظر دو مثلث را پیدا کن، حالت هم‌نهشتی را انتخاب کن، یک اثبات سطر به سطر بنویس و با یک مثال نقض نشان بده که «ضضز» حالت هم‌نهشتی نیست.
- رابطهٔ فیثاغورس و عکس آنروی ضلعهای یک مثلث قائمالزاویه مربع بساز و مساحتها را مقایسه کن، با چهار مثلث یکسان ببین چرا رابطهٔ فیثاغورس درست است، ضلع مجهول را پیدا کن، با عکس رابطه بفهم مثلثی قائمالزاویه است یا نه، و √۲ را با پرگار روی محور نشان بده.
- استدلال و اثبات در هندسهیک مثلث متساویالساقین را بکش و ببین زاویههای قاعدهاش همیشه برابر میمانند. بعد این را با دلیل ثابت کن، از آن در یک اثبات تازه استفاده کن و با یک مثال نقض نشان بده یک ادعای دیگر غلط است.
- قضیهٔ تالس و تشابه مثلثهاخطی موازی یک ضلع مثلث را جابه‌جا کن و ببین نسبت تکههایی که روی دو ضلع دیگر میسازد همیشه برابر میماند. بعد عکس قضیه، مثلثهای متشابه و نسبت تشابه را امتحان کن.
- مکان هندسیهمهٔ نقطههایی را پیدا کن که از یک نقطه، از یک پارهخط، از دو نقطه یا از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ معینی دارند، و ببین چه شکلی می‌سازند. بعد با پرگار ناحیهای را رنگ کن که دو شرط را با هم دارد.
- خط و دایره، زاویهٔ مرکزی و زاویهٔ محاطی و مماسیک خط را روی دایره بالا و پایین ببر و ببین کِی دایره را قطع میکند، کِی بر آن مماس است و کِی از آن جداست. دو دایره را به هم برسان، یک مماس را دور دایره بچرخان و ببین زاویهٔ محاطی همیشه نصف زاویهٔ مرکزی است.
- چندضلعیهای محاطی و محیطی و روابط طولی در دایرهدایرهٔ محیطی و دایرهٔ محاطی یک مثلث را بساز و ببین مرکزشان کجاست. بعد گوشههای یک چهارضلعی محاطی را روی دایره بکش و دو وتر متقاطع را امتحان کن: کدام رابطه همیشه درست میماند؟
- نماهای جسم و فیثاغورس در فضابرجی از مکعب‌ها را بچرخان، نمای روبهرو، بالا و کناری آن را پیدا کن و روی شبکه بکش. بعد قطر مکعب مستطیل را با دو بار رابطهٔ فیثاغورس پیدا کن.
- تکمیلی: قضیههای مثلث قائمالزاویهاگر یک زاویهٔ حادهٔ مثلث قائمالزاویه ۳۰ درجه باشد، ضلع روبهروی آن نصف وتر است؛ و میانه وارد بر وتر هم نصف وتر است. این دو را ببین، یکی را ثابت کن و به کار ببر.
- اصلها، پارهخطها و قضیههاببین از دو نقطه فقط یک خط میگذرد و AB = AC + CB است، وسط یک پارهخط را پیدا کن و قضیه را از عکسش تشخیص بده.
- تکمیلی: کاشیکاری با چندضلعیهانسخههایی از یک چندضلعی منتظم را دور یک نقطه بچین و ببین کدامها بدون جای خالی و بدون روی هم افتادن جا می‌شوند، چرا پنجضلعی منتظم جای خالی میگذارد، و با دو نوع چندضلعی کاشیکاری کن.
- تکمیلی: چندوجهیهای منتظم و سطح مقطعچندوجهی منتظمها را بچرخان، وجهها، رأسها و یالهایشان را بشمار و رابطهٔ V − E + F = ۲ را کشف کن. بعد یک مکعب را با چاقو ببُر و ببین سطح مقطع چه شکلهایی میتواند باشد.
- زاویهٔ خارجی، ضلعها و زاویهها، مثلثهای قائمالزاویهببین زاویهٔ خارجی برابر مجموع دو زاویهٔ داخلی دور از آن است، زاویهٔ بزرگ‌تر روبهروی ضلع بلندتر است و حالتهای هم‌نهشتی مثلثهای قائمالزاویه را به کار ببر.
- وتر، مکان هندسی و چهار مرحلهٔ رسمببین پارهخطی که مرکز را به وسط وتر وصل میکند بر وتر عمود است، فاصلهٔ مرکز تا وتر را پیدا کن و تعداد جوابهای یک مسئلهٔ مکان هندسی را بشمار.
- مقاطع مخروطی: برش یک مخروطیک مخروط را با صفحههای مختلف ببر و ببین دایره، بیضی، سهمی و هذلولی از کجا میآیند. بعد ببین نسبت فاصله از کانون به فاصله از خط هادی چه خمی میسازد.
- چندضلعی منتظم و دایرهٔ محاطی خارجی مثلثضلع و آپوتم یک چندضلعی منتظم را از شعاع دایرهٔ محیطی یا محاطی پیدا کن و شعاع دایرهٔ محاطی خارجی یک مثلث را حساب کن.
- خط و صفحه در فضابا یک مکعب مستطیل کشف کن دو خط در فضا چه وضعیتی نسبت به هم دارند: موازی، متقاطع یا متنافر. بعد خط و صفحه، خط عمود بر صفحه و زاویهٔ دو خط متنافر را بررسی کن.
- اصلهای هندسهٔ فضایی و مقطعهااز سه نقطه یک صفحه بگذران، خط برخورد دو صفحه را پیدا کن، خطی را که با صفحه موازی است تشخیص بده و شکل مقطع یک مکعب را نام ببر.
- صفحههای موازی، تصویر و عمودهاموازی بودن دو صفحه را بررسی کن، پارهخطهای بین صفحههای موازی را مقایسه کن و طول یک تصویر موازی و فاصلهٔ یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کن.
- تقارن چندضلعیها و زاویههای داخلی و خارجیمحورهای تقارن چندضلعیهای منتظم را بشمار، زاویهٔ هر گوشهٔ آن‌ها را پیدا کن و ببین چرا مجموع زاویههای خارجی همیشه ۳۶۰ درجه است.
- قضیههای دایره و قضیهٔ نیمساز زاویهٔ مثلثثابت کن دو مماس از یک نقطه برابرند و یاد بگیر نیمساز زاویهٔ مثلث ضلع مقابل را به نسبت دو ضلع دیگر تقسیم میکند.
- عمود و موازی از یک نقطه، و رسم شکل از روی دادههااز نقطهای بیرون خط، عمود و موازی رسم کن و با تحلیل مسئله، لوزی و مثلث متساویالساقین را با پرگار بساز.
- رسم زاویه و مثلث با پرگار و خطکشزاویهای برابر زاویهٔ دادهشده رسم کن. مثلثی بساز از دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها، از یک ضلع و دو زاویهٔ کنار آن، و مثلث قائمالزاویهای از یک ضلع قائمه و وتر.
- روش مکان هندسی در رسم: نقطه، دایره، مثلثنقطهٔ مطلوب را به صورت برخورد دو مکان هندسی پیدا کن. سه مسئله از کتاب اوکراین: نقطهای روی یک خط به فاصلهٔ معین از خط دیگر، دایرهٔ مماس بر یک خط در نقطهای معین، و مثلث با یک ضلع و شعاع دایرهٔ محیطی.
- اثبات به برهان خلفاثبات به روش برهان خلف را یاد بگیر: فرض کن حکم نادرست است، به تناقض برس و نتیجه بگیر.
- قضیههای سوا، منلائوس، بطلمیوس و خط اویلرچهار قضیهٔ تکمیلی: چه وقت سه خط از رأسهای مثلث به یک نقطه میرسند، چه وقت سه نقطه روی یک خطاند، حاصل‌ضرب قطرهای چهارضلعی محاطی و خط اویلر.
- نیم‌خط، پارهخط و قطر چندضلعینامگذاری نقطهها با حرف، نیم‌خط و پارهخط، کشیدن پارهخط با اندازهٔ دادهشده و شمردن قطرهای چندضلعی با «حل مسئلهٔ سادهتر».
- تقارن و تا کردن کاغذشمردن شکلهای متقارن با کمک خط تقارن، کشیدن قرینه و حدس زدن شکل بعد از تا کردن و بریدن کاغذ.
- حل مسئله در هندسه: فرض و حکم و طرحفرض و حکم را از هم جدا کن، قبل از نوشتن اثبات طرح بریز، با عمود و فیثاغورس کوتاهترین مسیر را پیدا کن و کاربرد دایره را در مسئلهها ببین.
- رابطههای طولی در مثلث قائمالزاویه و ویژگی‌های تناسبارتفاع وارد بر وتر مثلث قائمالزاویه را بکش و ببین AH² = BH×HC است؛ بعد طول یک ضلع را با این رابطه پیدا کن، ویژگی جمع در تناسب را به کار ببر و رابطهٔ فیثاغورس را از همینجا بساز.
- دایره و قرصدایره را از قرص تشخیص بده، مرکز و شعاعها را پیدا کن و نقطههایی را که روی دایرهاند علامت بزن.
- عمود و مایل، زاویهٔ خط و صفحه، زاویهٔ دووجهیمایل را از عمود و تصویرش پیدا کن، زاویهٔ بین خط و صفحه و زاویهٔ دووجهی را با زاویهٔ خطیاش اندازه بگیر و نشان بده دو صفحه بر هم عمودند.
- متوازیالاضلاع، مستطیل، لوزی و مربععنصرهای چهارضلعی، ویژگیها و شرطهای متوازیالاضلاع و قطرهای مستطیل و لوزی را یاد بگیر.
- ذوزنقه، پارهخط میانی، چهارضلعی محیطی و مساحت ذوزنقهویژگیهای ذوزنقهٔ متساویالساقین، پارهخط میانی، شرط وجود دایرهٔ محاطی در چهارضلعی و مساحت ذوزنقه را یاد بگیر.
- حالت دوم و سوم تشابه مثلثهامثلثهای متشابه را با دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها یا با سه ضلع پیدا کن، ضلع مجهول را حساب کن و در دام زاویهای که بین ضلعها نیست نیفت.
- پارهخط، طول آن و خطپارهخطها را با گذاشتن یکی روی دیگری مقایسه کن، طول AB را از دو قسمت پیدا کن، فاصلهٔ نقطهها را اندازه بگیر و ببین از دو نقطه چند خط میگذرد.
- چندضلعی، شکلهای هم‌نهشت، مساحت، آر و هکتارچندضلعی را با رأسهایش نامگذاری کن، با گذاشتن یک شکل روی شکل دیگر شکل هم‌نهشت را پیدا کن، فرق شکلهای هم‌نهشت با شکلهای هممساحت را بفهم و مساحت زمین را به هکتار تبدیل کن.
- استوانه و مخروط: قاعدهها و گستردهقاعدههای استوانه و مخروط را پیدا کن و مساحت جانبی استوانه را از گستردهاش حساب کن.
- نقطه، خط راست، خط منحنی، نیم‌خط، پارهخط و خط شکستهدر تصویر نقطه، خط راست و خط منحنی را پیدا کن. قسمتهایی را که نقطهها روی یک خط می‌سازند نام ببر و طول یک خط شکسته را حساب کن.
- خطهای موازی که صفحه را قطع میکنند، و تصویر موازیطول پارهخطها را بین خطهای موازی که صفحه را قطع میکنند پیدا کن، و نسبت پارهخطها را در تصویر موازی.
- مرور هندسهٔ فضایی پایهٔ دهمگام درست بعدی را در اثبات دربارهٔ خطهای متنافر انتخاب کن، بعد مسئلههایی دربارهٔ زاویهٔ بین دو خط، تصویر موازی و عمود بر صفحه حل کن.
- خودت را بسنج: چندوجهیها، جسمهای دورانی و حجمآزمونهای چهارگزینهای دربارهٔ مساحت جانبی منشور، استوانه و مخروط و حجم کره.
- چندوجهیها: وجه، یال، رأسقاعدهها، وجههای جانبی و یالهای هرم، منشور و مکعبمستطیل را پیدا کن و وجهها و یالهایشان را بشمار.
- مساحت تصویر قائم یک چندضلعیبا قضیهٔ مساحت تصویر، S' = S · cos α، مساحت تصویر یا مساحت خود چندضلعی را پیدا کن.
- برخورد خط و صفحه، برخورد دو صفحهبا اصلهای هندسهٔ فضایی نقطهٔ برخورد یک خط با صفحهٔ قاعدهٔ مکعب و خط برخورد دو صفحه از یک چهاروجهی را رسم کن.
- نقطهای که از رأسها یا ضلعهای چندضلعی به یک فاصله استاگر نقطهٔ M از رأسهای مثلث به یک فاصله باشد، تصویرش مرکز دایرهٔ محیطی است؛ اگر از ضلعها به یک فاصله باشد، مرکز دایرهٔ محاطی. فاصلهٔ M تا صفحه را پیدا کن.
- زاویه، زاویهٔ قائمه، مستطیل و مربعزاویه را با حرفها نام ببر، با الگو زاویهٔ قائمه را پیدا کن، مستطیل را از چهارضلعیهای دیگر و مربع را از مستطیلهای دیگر تشخیص بده.
- چندضلعیهای منتظم: زاویه، تعداد ضلعها، رسماز روی زاویهٔ چندضلعی منتظم تعداد ضلعهایش را پیدا کن، بررسی کن چنین چندضلعیای هست یا نه، و با وترهای برابر شعاع ششضلعی و چندضلعی ۲n ضلعی بساز.
مکان، جهت و تقارن
- مکان، جهت و چرخشچپ و راست، بالا و پایین و «بین» را پیدا کن. بعد پیکان را ربع دور، نیم دور و سهربع دور بچرخان.
- مختصات و انتقالنقطهها را با مختصاتشان روی صفحهٔ شطرنجی بگذار، رأس گمشدهٔ یک شکل را پیدا کن و شکل‌ها را انتقال بده.
- تقارن محوری، دوران و تقارن مرکزیدر چهار ناحیهٔ صفحهٔ مختصات نقطه بگذار، شکل‌ها را نسبت به محور قرینه کن، حول یک نقطه دوران بده و مرکز تقارن را پیدا کن.
- تبدیلهای هندسی و تجانسببین کدام تبدیلها اندازهها، زاویهها و جهتِ شکل را نگه میدارند، یک شکل را از یک مرکز با ضریب ۲ و ۱۲ تجانس بده، مرکزِ یک تجانس را پیدا کن و ببین مساحت چند برابر می‌شود.
- قرینه و دورانقرینهٔ شکل را نسبت به خط عمودی، خط مایل و محور طولها بکش، شکل را از روی نیمهاش کامل کن، شکل را حول نقطههای مختلف دوران بده و مختصات قرینه را پیدا کن.
- ترکیب تبدیلها، تقارن و کاربرد قرینهدو بازتاب پشت سر هم، بازتاب لغزشی، محورهای تقارن یک چندضلعی و کوتاهترین مسیر با کمک قرینه را بشناس.
الگوها و دنباله‌ها
- الگوهای تکراری و الگوهای عددیشکلها و عددهایی که با یک قاعده پشت سر هم میآیند. الگو را پیدا کن، ادامه بده و درستش کن.
- ماشین ورودی ـ خروجی و قاعدهٔ الگوعددی وارد ماشین می‌شود و عدد دیگری بیرون میآید. کار ماشین را پیدا کن، بعد قاعدهٔ الگوهای عددی را.
- جملهٔ عمومی الگو و دنبالهٔ هندسیاز الگوی چوبکبریتها جدول بساز، جملهٔ عمومی را پیدا کن و با آن شکل بیستم را بدون کشیدن بشمار. بعد دنبالههایی را ببین که هر بار ضرب می‌شوند.
- دنباله، جملهٔ nام و بازگشتبا نماد aₙ جملهها را حساب کن، دنبالهای را از رابطهٔ بازگشتی بساز، دنبالهٔ متناوب را تشخیص بده و اعداد مثلثی را بشمار.
- سیگما و مجموع سریهانماد Σ را بخوان، مجموع جملههای دنبالهٔ حسابی و هندسی را حساب کن و ببین چرا مجموع نامتناهی گاهی عدد می‌شود.
- مجموعهای ویژه، تفاضل و مدلسازیمجموع مربعها را بساز، مجموعی را با روش تفاضلها جمع کن، جملهٔ عمومی دنبالهٔ درجهٔ دوم را پیدا کن و مسئلهای واقعی را با سری حسابی حل کن.
جبر
- ترتیب عمل‌ها، حرف به جای عدد و فرمولعبارتها را قدمبهقدم و به ترتیب درست حساب کن. بعد حرفی را به جای عدد بگذار و با فرمول کار کن.
- عبارتهای جبری، جملههای متشابه و مقدار عددیبا کاشیهای جبری عبارت بساز، جملههای متشابه را کنار هم بگذار و ساده کن، بعد به جای x عدد بگذار و مقدار عددی عبارت را پیدا کن.
- معادله و حل معادلهٔ درجهٔ اول با ترازومعادله مثل یک ترازوی متعادل است. عدد امتحان کن، بعد معادلههایی با x در یک طرف یا دو طرف، با کسر و با پرانتز را حل کن؛ هر کاری با یک کفه میکنی، با کفهٔ دیگر هم بکن.
- نوشتن معادله برای مسئلههای توصیفیمجهول را با یک حرف نشان بده، مسئله را به یک معادله تبدیل کن، آن را حل کن و جواب را در خود مسئله بررسی کن.
- ضرب در پرانتز و فاکتورگیریپرانتز را مثل یک مستطیل ببین: با کاشیها مساحت مستطیل را رنگ کن و پرانتز را باز کن؛ بعد برعکس کار کن و ضلعهای مستطیل را پیدا کن تا عبارت را تجزیه کنی.
- ضرب دوجملهایها و اتحادهادو پرانتز را مثل یک مستطیل از کاشیها و در جدول ضرب کن، ببین چرا مربع یک دوجملهای دو نوار وسطی دارد و اتحاد را از معادله تشخیص بده.
- نابرابریها، بازهها و حل نامعادلهجوابهای یک نابرابری را روی محور اعداد نشان بده: دایرهٔ توپر یا توخالی، پارهخط یا نیم‌خط. بعد نامعادله حل کن و ببین چرا ضرب در عدد منفی جهت نابرابری را عوض میکند.
- چندجملهایها: شکل استاندارد، تفریق و ضربچندجملهای را به شکل استاندارد بنویس، با پرانتز تفریق کن، سه جمله را در دو جمله روی شبکه ضرب کن و حاصل‌ضرب را به توان برسان.
- دستگاه دو معادلهٔ خطی دومجهولینقطهای را پیدا کن که در دو معادله با هم صدق کند: آن را از محل برخورد دو خط بخوان، خط دوم را رسم کن، یک مجهول را حذف کن، با خطهای موازی آشنا شو و جایی که نمودار فقط تقریب میدهد، جواب دقیق را پیدا کن.
- تجزیهٔ عبارتهای درجهٔ دوم و اتحادهای دیگرکاشیهای یک عبارت درجهٔ دوم را به شکل مستطیل بچین تا دو پرانتزش پیدا شود، با جفتهای صفر علامت‌های منفی را ببین، اول فاکتورگیری کن و با اتحاد چاق و لاغر آشنا شو.
- معادله‌های دومجهولی و دستگاههازوجهایی را که در یک معادلهٔ دومجهولی صدق میکنند پیدا کن، نمودارش را بکش، از یک مسئله دستگاه بساز و جوابش را پیدا کن.
- عبارتهای گویاصورت و مخرج یک عبارت گویا را تجزیه کن و عامل‌های مساوی را ساده کن. اول ببین x چه عددهایی نمیتواند باشد؛ بعد عبارتهای گویا را با مخرج مشترک جمع و تفریق کن و با ساده کردن تقسیم کن.
- تجزیه به روش دستهبندی و اتحاد مکعبچندجملهای چهار جملهای را با دستهبندی تجزیه کن، مجموع و تفاضل مکعب‌ها را تجزیه کن و وقتی چند روش جور است، بدان از کجا شروع کنی.
- معادلهٔ درجهٔ دوم: تجزیه، مربع کامل و فرمول کلیمعادلههای درجهٔ دوم را با تجزیه حل کن، مثل خوارزمی با کاشیها مربع را کامل کن و با دلتا ببین معادله چند جواب دارد.
- چندجملهایها و تقسیم آنهادرجه و مرتب کردن یک چندجملهای، بعد تقسیم چندجملهایها با پر کردن وارونهٔ جدول ضرب، با باقی‌مانده و با توانهایی که جا افتادهاند.
- تعیین علامت و نامعادلههای کسریپیدا کن یک عبارت کجا مثبت است و کجا منفی: ریشه‌ها را علامت بزن، جدول تعیین علامت را زیر محور پر کن و جواب نامعادلهای مثل x − ۱x + ۲ ≥ ۰ را بخوان.
- نامعادلهٔ دومتغیره و ناحیهٔ جوابخط مرزی را رسم کن، آن را توپر یا خطچین کن، یک نقطه را امتحان کن و ناحیه را رنگ کن؛ بعد ناحیهای را پیدا کن که در دو یا سه نامعادله با هم صدق کند.
- نابرابریهای عددی و ویژگیهایشانعددها را با علامت تفاضل a − b مقایسه کن، نابرابری ثابت کن، نابرابریها را طرف به طرف جمع کن و مقدار یک عبارت را تخمین بزن.
- دستگاه نامعادلههای خطی یکمجهولیهر نامعادلهٔ دستگاه را حل کن، جوابها را روی خط نشان بده و بخش مشترکشان را پیدا کن: یک پارهخط، یک عدد یا مجموعهٔ تهی.
- دستگاه معادله‌های دومجهولیجواب دستگاهی را که یک معادلهٔ درجهٔ دوم دارد به‌صورت نقطههای مشترک نمودارها پیدا کن، آن را با روش جانشینی حل کن و از یک مسئله دستگاه بساز.
- دستگاه معادله‌های خطی: روش جایگذاریبهجای یک مجهول، عبارت برابرش را در معادلهٔ دیگر بگذار، پرانتز را فراموش نکن، اول یک مجهول را تنها کن و جواب را روی نمودار و در هر دو معادله بررسی کن.
- معادله‌های گویا و رادیکالیمعادلههای کسری و معادله‌های رادیکالی را حل کن و ریشه‌های اضافی را با امتحان کنار بگذار.
- مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها، معادله‌های قابل تبدیل و برخورد خط و سهمیاز ضریبها مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را بخوان، معادلهٔ درجهٔ چهارم را با تغییر متغیر حل کن و برخورد خط و سهمی را پیدا کن.
- قضیهٔ باقی‌مانده، قضیهٔ عامل و ریشه‌های چندجملهایباقیمانده را بدون تقسیم پیدا کن، عامل را با قضیهٔ عامل بشناس، ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ سوم را بیاب و ضریبها را از ریشه‌ها بخوان.
- نامعادلهٔ درجهٔ دوم و پارامترنامعادلههای درجه دوم را با علامت عامل‌ها حل کن و ببین یک حرف (پارامتر) در معادله چگونه به نامعادله می‌رسد.
- تغییر موضوع فرمولیک حرف را در فرمول تنها بساز: همان کارهای ترازو را با حرفها انجام بده.
- قضیهٔ دوجملهای برای توان کسری و تقریببا چند جملهٔ اول قضیهٔ دوجملهای، ریشه و وارون عددهای نزدیک به ۱ را تقریب بزن.
- معادله: قاعدهٔ پیدا کردن عدد مجهولاز روی یک مسئله معادله بساز، با قاعدهٔ پیدا کردن عدد مجهول حلش کن و با جاگذاری امتحان کن.
- محاسبات عبارتهای گویا: تفریق، مخرجهای قرینه، توان و اتحادعبارتهای گویا را با تغییر علامت تفریق کن، عامل لازم برای مخرج مشترک را پیدا کن، با مخرجهای قرینه کار کن، کسر را به توان برسان و اتحاد ثابت کن.
- معادله‌های همارز، معادله‌های گویا و مسئلههای کلامیبفهم معادله‌های همارز و ریشهٔ اضافی چیست، معادلهٔ گویا را با امتحان حل کن و برای مسئلههای حرکت و کار معادله بساز.
- معادله‌های درجهٔ دوم ناقص و سهجملهای درجهٔ دومسه نوع معادلهٔ درجهٔ دوم ناقص را حل کن، ریشه‌های یک سهجملهای درجهٔ دوم را پیدا کن و آن را با ضریب بزرگ‌ترین توان تجزیه کن.
- فرمول، معادله و ریشهٔ معادلهاز فرمول مسافت استفاده کن، عدد مجهول را پیدا کن، ریشه را با جاگذاری امتحان کن، جملهها را با علامت مخالف به طرف دیگر ببر و بفهم ax = b کِی جواب ندارد.
- دستگاه معادلهها، مدل مسئلههای کلامیمسئلههای حرکت، کار، رقم‌ها و مستطیل را به معادله ترجمه کن: مجهولها را x و y بنام، دستگاه را بنویس، حل کن و ببین جواب با داستان جور است یا نه.
- عبارت با حرفبهجای خانهٔ خالی یک حرف میگذاریم و عبارتی با حرف میسازیم. مقدار حرف را جای آن بگذار و مقدار عبارت را حساب کن.
- نامعادله با مجهول: اثر هر عدد بر نتیجهنامعادلههای دارای مجهول را به دو روش حل کن: با آزمایش عددها و با تبدیل به معادله. جواب را با سهنقطه بنویس.
مختصات و معادلهٔ خط
- شیب خط، عرض از مبدأ و معادلهٔ خطشیب خط را با یک مثلث پلهای اندازه بگیر، a و b را در معادلهٔ y = ax + b با لغزنده تغییر بده، خط را از روی جدول رسم کن و معادلهٔ خطی را که از دو نقطه میگذرد پیدا کن.
- معادلهٔ کلی خط، خطهای موازی و عمود، فاصله و وسطمعادلهٔ کلی خط را به شکل y = ax + b بنویس، خط موازی و خط عمود رسم کن، فاصلهٔ دو نقطه را با فیثاغورس و وسط پارهخط را با میانگین پیدا کن.
- تقسیم پارهخط به نسبت دادهشده و فاصلهٔ نقطه از خطنقطهای را که پارهخط را به نسبت معلوم تقسیم میکند پیدا کن و فاصلهٔ یک نقطه از یک خط را با فرمول حساب کن.
- مساحت مثلث از مختصات رأسها و مسئلههای هندسیمساحت مثلث را از روی مختصات سه رأس پیدا کن و با مختصات مسئلههای هندسی را حل کن.
- دایره: معادله، خط و دایره، مماسمعادلهٔ دایره را بساز و بخوان، برخورد یک خط با دایره را پیدا کن و مماس و طول مماس را به دست بیاور.
- مقطعهای مخروطی و سهمیسهمی را مجموعهٔ نقطههایی بشناس که فاصلهشان از کانون و خط هادی برابر است و معادلهٔ آن را با رأس در مبدأ و رأس دلخواه بخوان.
- بیضی، هذلولی و خط نسبت به آنهاکانونهای بیضی و هذلولی را از معادله پیدا کن، بیضی را با مرکز دلخواه بساز، مجانب هذلولی را رسم کن و وضعیت یک خط را نسبت به سهمی بررسی کن.
- معادله‌های پارامتری و مختصات قطبیمنحنی را از معادله‌های پارامتری نقطهبهنقطه رسم کن، پارامتر را حذف کن، یک حرکت را مدل کن و مختصات قطبی را به مختصات دکارتی برگردان.
- شیب خط و بردارهای موازیشیب m را از زاویهٔ خط با جهت مثبت محور x پیدا کن (m = tan α، حتی برای زاویهٔ باز)، خطهای عمود بر هم را بساز و برداری موازی با یک بردار دادهشده رسم کن.
- خط و محورها: مثلث، محیط و مساحتنقطههای برخورد خط ax + by = c با محورها، محیط و مساحت مثلثی که جدا میکند و نقطهٔ برخورد دو خط را پیدا کن.
- مختصات نقطه در فضاتشخیص بده نقطه کجاست، بعد فاصلهٔ دو نقطه، وسط پارهخط و نقطهٔ قرینه را از روی مختصات پیدا کن.
تابع و نمودار
- رابطه، زوج مرتب و تابعرابطه را با نمودار پیکانی نشان بده، زوجهای مرتب را روی دستگاه مختصات ببر، تشخیص بده کدام رابطه تابع است و آزمون خط عمودی را روی یک نمودار امتحان کن.
- نمودارهای واقعی، سرعت و رشداز روی یک نمودار مسافت ـ زمان بخوان کی ایستادهایم و با چه سرعتی رفتهایم، نمودار یک پیادهروی را بکش، پر شدن یک بطری را با نمودار جور کن و رشد دوبرابرشونده را با رشد ثابت مقایسه کن. (این درس برای فراتر رفتن است؛ در کتابهای ایران در پایهٔ دهم و یازدهم میآید.)
- نمودار تابع درجهٔ دوم (سهمی)جدول y = x۲ − ۲x − ۳ را با x های منفی پر کن و رسم کن، ببین چرا پایین سهمی گرد است، ریشه‌ها، عرض از مبدأ و رأس سهمی را از روی نمودار بخوان و با لغزنده ببین a در y = ax۲ چه میکند.
- نماد f(x)، دامنه و بردمقدار تابع را از روی ضابطه حساب کن، ورودی مناسب یک خروجی را پیدا کن، دامنهٔ یک کسر و یک رادیکال را بنویس و برد را از روی نمودار بخوان.
- تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیحقدر مطلق را در جدول و نمودار ببین، معادلهٔ قدر مطلقی را با دو نقطهٔ برخورد نمودار و خط حل کن، پلههای جزء صحیح را بخوان و کرایهٔ تاکسی را که پلهای بالا میرود رسم کن.
- تابع صعودی و نزولی، تابع زوج و فردبازههایی را که نمودار بالا یا پایین میرود پیدا کن، نقطهها را نسبت به محور y و مبدأ قرینه کن و با f(−x) بررسی کن تابع زوج است، فرد است یا هیچکدام.
- جمع، ترکیب و وارون توابعدو تابع را جمع کن، ترتیب در ترکیب تابع مرکب را رعایت کن، وارون یک ماشین را با برعکس کردن مرحلهها پیدا کن، نمودار وارون را با قرینه کردن نسبت به y = x بساز و با خط افقی بررسی کن کدام تابع وارون دارد.
- انتقال، بازتاب و کشش نموداربا لغزندهها نمودار y = (x − h)۲ + k را جابه‌جا کن، رأس سهمی را از روی نمودار بخوان، ببین f(۲x) نقطه را کجا میبرد و چند تبدیل را با هم روی یک سهمی اعمال کن.
- تابع درجهٔ سوم، رسم چندجملهای و مجانبجدول یک تابع درجهٔ سوم را پر و رسم کن، نمودار یک چندجملهای را از ریشه‌ها و محل برخورد با محور y بساز و مجانبهای قائم و افقی یک تابع گویا را با خط نشان بده.
- تابع خطی: فرمول، جدول، نمودارتابع را با فرمول، جدول و نمودار نشان بده، خط را از روی a و b رسم کن، ریشهٔ تابع را پیدا کن و ببین تابع کجا مثبت است.
- تابع درجهٔ دوم و ویژگی‌های تابعرأس سهمی را با فرمول پیدا کن، ویژگی‌های تابع را از روی نمودار بخوان، نامعادلهٔ درجهٔ دوم را با نمودار حل کن و نمودار y = |f(x)| و y = f(|x|) را رسم کن.
- عدد e، رشد و کاهش نماییببین چرا (۱ + ۱n)n به عدد e نزدیک می‌شود، نمودار y = a×ex را روی نمودار دادهشده منطبق کن و مدل رشد و کاهش بساز.
- تابع نمایی با پایهٔ دلخواه و معادلهٔ نماییجدول y = ۲x را پر کن، ببین پایهٔ بزرگ‌تر از ۱ منحنی صعودی و پایهٔ بین ۰ و ۱ منحنی نزولی میسازد و معادلهٔ نمایی را با همپایه کردن حل کن.
- لگاریتم و جدول لگاریتمببین لگاریتم همان توانی است که باید پایه را به آن برسانیم، نمودار لگاریتم را با قرینه کردن نمودار نمایی بساز و با مشخصه و مانتیس از جدول لگاریتم و پادلگاریتم استفاده کن.
- قانون‌های لگاریتم و معادلههاقانون ضرب و توان لگاریتم را ببین، یک معادلهٔ لگاریتمی حل کن و با لگاریتم گرفتن از y خط راست بساز.
- توابع چندضابطهای و علامت، ویژگی‌های قدر مطلقمقدار تابع چندضابطهای را بخوان، نمودار تابع علامت را رسم کن، نمودار y = |x − ۱| + ۲ را با جابهجایی V بساز و نامعادلههای قدر مطلقی را روی نمودار بخوان.
- بیشترین و کمترین مقدار، تابعهای توانیبیشترین و کمترین مقدار تابع را روی یک مجموعه پیدا کن، نمودار y = xn را برای n زوج و فرد مقایسه کن و با نمودار y = x−n آشنا شو.
- معادله و نامعادلهٔ نمایی: روشهایک توان مشترک را فاکتور بگیر، با تغییر متغیر t = 2^x معادله را ساده کن، ریشه را از روی نمودار بخوان و بفهم نامعادله چه وقت جهتش را حفظ میکند.
- تابعهای y = kx و y = √x و نمودارشاننمودار هذلولی را از روی جدول رسم کن، ببین شاخههایش در کدام ناحیهها هستند، k را از روی یک نقطه پیدا کن و نمودار y = √x را رسم کن.
- اتحاد لگاریتمی، تغییر مبنا و تابع لگاریتمیاتحاد اصلی لگاریتم را به کار ببر، مبنا را عوض کن و لگاریتمهایی با مبنای بین ۰ و ۱ را مقایسه کن.
- معادله و نامعادلهٔ لگاریتمیمعادلههایی با مجموع لگاریتمها را حل کن، ریشه‌ها را با دامنه بسنج، با t = log x متغیر را عوض کن، مبنای مجهول را پیدا کن و نامعادلههایی با مبنای بین ۰ و ۱ را حل کن.
- تابع y = x² و نمودار آنبرای y = x² جدول مقدارها بساز، نقطهها را رسم کن، ویژگی‌های نمودار را بشناس و معادله‌های x² = 4 و x² = x + 2 را با نمودار حل کن.
- ویژگی‌های تابع از روی نموداراز نمودار تابعی روی [−۴, ۷]، ریشه‌ها، بازههایی که علامت تابع ثابت است، بازهٔ صعودی و بیشترین مقدار را پیدا کن.
- نمودار y = ⁿ√x و توان‌های گویانمودار ³√x و ⁴√x و √x را مقایسه کن، دامنهٔ ریشهٔ nام و توان گویا را پیدا کن و عددها را با کمک صعودی بودن مقایسه کن.
بردار
- پارهخط جهتدار، بردار و بردار انتقالبردار را از ابتدا تا انتها رسم کن و مختصاتش را ستونی بخوان، بردارهای مساوی و قرینه را پیدا کن و شکلی را با یک بردار انتقال بده.
- جمع بردارها، ضرب عدد در بردار و بردارهای واحدبردارها را به روش مثلث و متوازیالاضلاع جمع کن، دو بردار را از هم کم کن، با ضرب یک عدد برداری را بلند یا برعکس کن و هر بردار را با i و j بنویس.
- تکمیلی: بردار در حرکت و جابهجاییحرکتهای یک ربات را با هم جمع کن تا یک حرکت شود، با بردار قرینه آن را به نقطهٔ شروع برگردان، و ببین جریان آب رودخانه مسیر یک شناگر را چطور عوض میکند.
- بردار در فضا: اندازه، فاصله و کسینوسهای هادییک بردار در فضا قطر یک مکعب مستطیل است. اندازهٔ بردار، فاصلهٔ دو نقطه، وسط پارهخط و کسینوسهای هادی را از مختصات به دست بیاور.
- ضرب داخلی و ضرب خارجیضرب داخلی دو بردار یک عدد است و زاویهٔ بین آن‌ها را نشان میدهد؛ ضرب خارجی یک بردار است که بر هر دو عمود است. هر دو را حساب کن و به کار ببر.
- مساحت و حجم با ضرب خارجیاندازهٔ ضرب خارجی دو بردار مساحت متوازیالاضلاع آنهاست. با سه بردار میتوان حجم متوازیالسطوح را با یک دترمینان به دست آورد.
- معادلهٔ خط و صفحه در فضایک خط در فضا با یک نقطه و یک بردار هادی و یک صفحه با یک نقطه و یک بردار عمود بر آن معین می‌شود. معادلههایشان را بنویس و نقطهها را بررسی کن.
- زاویهها، برخورد و فاصله در فضازاویهٔ یک خط با یک صفحه، نقطهٔ برخورد خط و صفحه، فاصلهٔ یک نقطه از صفحه و زاویهٔ دو صفحه را با ضرب داخلی و معادلهها پیدا کن.
- بردار در اثبات و حل مسئلهمرکز ثقل نقطههای وزندار، اثبات هندسی با بردار (پارهخط واصل وسطهای دو ضلع مثلث) و مسئلههای سرعت و متوازیالاضلاع را با کشیدن بردار حل کن.
- بردار در صفحه: مختصات، اندازه، ضرب داخلیمختصات و اندازهٔ بردار را پیدا کن، ضرب داخلی را با مختصات و با زاویه حساب کن، شرط عمود بودن دو بردار را بنویس و زاویهٔ بین دو بردار را پیدا کن.
- ضرب داخلی بردارها: اندازه، زاویه و مختصاتضرب داخلی را از اندازهها و زاویه به دست بیاور، مربع مجموع بردارها را حساب کن، کسینوس زاویهٔ دو بردار را پیدا کن و زاویهٔ یک مثلث را از رأسهایش بساز.
- بردار در فضا: جمع، ضرب در عدد، همخطی و همصفحهایبردارها را با قاعدهٔ متوازیالسطوح و با مختصات جمع کن، بردار را در عدد ضرب کن و بفهم چه وقت سه بردار در یک صفحهاند.
- بردار روی منشور و مکعب مستطیل: مساوی، مجموع، همخطروی منشور بردارهای مساوی، همجهت و قرینه را از هم تشخیص بده، بردارها را جمع کن، یک بردار را با بردارهای دیگر بنویس و بردارهای همخط را از روی مختصات پیدا کن.
مثلثات
- نسبت مثلثاتیها در مثلث قائمالزاویهیک مثلث قائمالزاویه با زاویهٔ ۳۵ درجه را بزرگ و کوچک کن و ببین ضلعها عوض می‌شوند ولی نسبتشان نه. بعد ضلع مقابل، ضلع مجاور و وتر را برای هر زاویه پیدا کن و با یک جدول مثلثاتی، بدون ماشینحساب، یک ضلع و یک زاویه را حساب کن.
- نسبتهای مثلثاتی زاویههای خاصبا نصف کردن یک مثلث متساویالاضلاع و یک مربع، مقدار دقیق سینوس، کسینوس و تانژانت زاویههای ۳۰، ۴۵ و ۶۰ درجه را پیدا کن، تانژانت را به شیب خط ربط بده و معادله‌ای مثل sin x = ۱۲ را حل کن.
- زاویههای بزرگ، دایرهٔ مثلثاتی و رادیانیک نقطه را روی دایرهٔ مثلثاتی با زاویههای بزرگ‌تر از ۹۰ درجه و حتی منفی بچرخان، سینوس و کسینوس را از جای آن بخوان، زاویه را با رادیان بسنج و مقدارهای دقیقی مثل sin۷π۶ را پیدا کن.
- زاویههای مرتبط، کمان و قطاعیک نقطه را روی دایرهٔ مثلثاتی قرینه کن تا رابطهٔ سینوس و کسینوس زاویههای θ و ۱۸۰ − θ را ببینی، با زاویهٔ مرجع cos ۱۲۰° را پیدا کن و طول کمان و مساحت قطاع را وقتی زاویه به رادیان است حساب کن.
- نمودار سینوس و کسینوس، دوره و دامنهنمودارهای سینوس و کسینوس را بخوان: کسینوس کجا صفر می‌شود، دوره و بیشترین مقدار در y = sin ۲x و y = ۲sin x + ۱ چطور تغییر میکنند و سکانت و سینوس وارون را از همین منحنیها بخوان.
- اتحادهای مثلثاتی و اثباتبا sin۲θ + cos۲θ = ۱ و tanθ = sinθcosθ یک نسبت را از نسبت دیگر پیدا کن، سطر نادرست یک «اثبات» را بیاب و بفهم اثبات یک اتحاد یعنی چه.
- زاویههای مرکب، دو برابر و سه برابر، جمع و ضرببا رابطههای جمع زاویهها و مقدارهای دقیق sin ۷۵° را پیدا کن، با زاویهٔ دو برابر و سه برابر کار کن، مجموع سینوسها را به حاصل‌ضرب تبدیل کن و √۳sin x + cos x را به شکل یک سینوس بنویس.
- معادله‌های مثلثاتی درجهٔ دوم و دستگاههامعادلههای مثلثاتی را با پیدا کردن همهٔ زاویهها از ۰ تا ۳۶۰ درجه حل کن: tan x = −۱، معادله‌های درجهٔ دوم برحسب سینوس یا کسینوس (یکی اول اتحاد لازم دارد) و دستگاه دو معادله با دو مجهول x و y.
- قضیهٔ سینوسها، کسینوسها، تانژانتها و مسئلههای فضاییمثلثهای رسمشده به مقیاس را با قضیهٔ سینوسها، قضیهٔ کسینوسها و قضیهٔ تانژانتها حل کن، بعد از مثلثهای قائمالزاویه استفاده کن تا یک زاویه را در مکعب مستطیل پیدا کنی.
- مساحت مثلث: سینوس، هرون و دایرههامساحت مثلث را از دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها یا از سه ضلع با فرمول هرون پیدا کن، بعد با مساحت، شعاع دایرهٔ درون و دایرهٔ بیرون مثلث را حساب کن.
- تانژانت: نمودار، دامنه و دورهٔ تناوبنمودار y = tan x را بخوان: علامتش در هر ربع، جاهایی که تعریف نشده است، دورهٔ تناوبش و جوابهای معادلهٔ tan x = ۱.
- زوج و فرد بودن و فرمولهای کاهش زاویهکشف کن که سینوس، تانژانت و کتانژانت فردند و کسینوس زوج است، بعد قاعدهٔ تبدیل را به کار ببر: چه وقت نام تابع عوض می‌شود و علامت چیست.
- ویژگی‌های تابعهای مثلثاتیویژگیهای سینوس، کسینوس و کتانژانت را از روی نمودارشان بخوان: دوره، زوج یا فرد بودن، ریشه‌ها، بازههای نزولی، دامنه و برد.
- جواب کلی معادله‌های مثلثاتیخط y = b نمودار سینوس، کسینوس یا تانژانت را در بینهایت نقطه قطع میکند. همهٔ جوابها را با یک فرمول و n ∈ ℤ بنویس و در معادله‌ای که به درجهٔ دوم می‌رسد، ریشهای را که نمیشود کنار بگذار.
- سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه از ۰ تا ۱۸۰ درجهسینوس و کسینوس را با مختصات یک نقطه روی نیمدایرهٔ یکه تعریف کن، مقدار آن‌ها را برای زاویههای باز پیدا کن و از رابطهٔ sin²α + cos²α = 1 استفاده کن.
- حل مثلثمثلث را در چهار حالت حل کن: یک ضلع و دو زاویه، دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها، سه ضلع، و دو ضلع با زاویهٔ مقابل یکی از آن‌ها.
- نتیجههای قضیهٔ کسینوسهانوع مثلث (تند، قائم یا باز) را از بزرگ‌ترین ضلعش پیدا کن، مجموع مربعهای دو قطر متوازیالاضلاع را حساب کن و یک مسئله دربارهٔ ضلعهای AB و BC حل کن.
- کتانژانت، اتحاد مثلثاتی و حل مثلث قائمالزاویهکتانژانت و اتحاد اصلی مثلثاتی را یاد بگیر، مثلث قائمالزاویه را از روی وتر و یک زاویه یا از روی دو ضلع قائم حل کن و مسئلههای کاربردی را حل کن.
آمار و نمودار
- جمعآوری دادهها، چوبخط و نمودار تصویریاز بچههای کلاس بپرس، با چوبخط بشمار و نمودار تصویری بکش.
- نمودار ستونی و نمودار خط شکستهاز روی جدول نمودار ستونی و نمودار خط شکسته بکش، آن‌ها را بخوان و برای هر سؤال نمودار مناسب را انتخاب کن.
- چوبخط، جمع و تفریق با چوبخط و نمودار تصویری دهتاییچیزها را دستهبندی کن و با چوبخط بشمار، با چوبخط جمع و تفریق کن، و نمودار تصویری بکش که هر تصویر ۱۰ تاست.
- نمودار دایرهای و میانگیننمودار دایرهای را رنگ کن و بخوان، ستونها را هماندازه کن تا میانگین را پیدا کنی، و نوع دادهها را بشناس.
- مد، میانه، میانگین و دامنهٔ تغییراتکارتهای داده را مرتب کن تا میانه را پیدا کنی، مد و دامنهٔ تغییرات را از نمودار نقطهای بخوان، ببین وقتی یک داده عوض می‌شود میانگین چطور جابه‌جا می‌شود، و بهترین شاخص مرکزی را انتخاب کن.
- دادهٔ پرت و مقایسهٔ دو مجموعه دادهپرش جفت دو کلاس را با یک شاخص مرکزی و دامنهٔ تغییرات مقایسه کن، یک داده را خیلی دور ببر و ببین میانگین، میانه و دامنهٔ تغییرات چه میکنند، و تصمیم بگیر یک دادهٔ پرت اشتباه است یا واقعی.
- دستهبندی دادهها، هیستوگرام و چندبر فراوانیقد دانشآموزان را در دسته‌های همطول بگذار، جدول فراوانی و فراوانی نسبی را کامل کن، هیستوگرامی بکش که ستونهایش به هم چسبیدهاند و مرکز دستهها را به هم وصل کن تا چندبر فراوانی ساخته شود.
- میانگین دادههای دستهبندیشده و فراوانی تجمعیبا ستون «مرکز دسته × فراوانی» میانگین دادههای دستهبندیشده را پیدا کن، میانگین دو کلاس را درست با هم ترکیب کن، ستون فراوانی تجمعی و نمودارش را بساز و میانه را از روی نمودار بخوان.
- دادههای دومتغیره و نمودار پراکنشزوجهای داده را رسم کن، نوع داده را بگو، همبستگی را توصیف کن، خط برازش را بکش، با آن پیشبینی کن و همبستگی را از رابطهٔ علت و معلولی جدا کن.
- جامعه و نمونه، نمونهگیری تصادفی و روش‌های گردآوری دادهاز جامعهٔ ۶۰۰ دانشآموز یک مدرسه، نمونهٔ تصادفی ۱۰ نفره و ۵۰ نفره بگیر و نتیجه را با کل مدرسه مقایسه کن. نمونهٔ سوگیرانه را پیدا کن و برای هر پرسش، روش مناسب گردآوری داده را انتخاب کن.
- تکمیلی: میانگین انحراف از میانگینفاصلهٔ هر نقطه تا میانگین را ببین، میانگین این فاصلهها را پیدا کن، بفهم چرا جمع تفاضلهای علامت‌دار همیشه صفر است، و دو مجموعه داده را با پراکندگیشان مقایسه کن.
- چارکها و نمودار جعبهایدادههای مرتبشده را به چهار بخش تقسیم کن، Q₁ و Q₃ را پیدا کن، پنج عدد نمودار جعبهای را نشان بده و نیمهٔ میانی دادهها را با دامنهٔ میانچارکی اندازه بگیر.
- واریانس، انحراف معیار و ضریب تغییراتپراکندگی را با مجذور فاصلهها از میانگین اندازه بگیر: واریانس و انحراف معیار را حساب کن و با ضریب تغییرات، پراکندگی دادههایی با واحدهای مختلف را مقایسه کن.
- شکل دادهها و منحنی نرمالشکل یک نمودار مستطیلی را بخوان (متقارن یا چوله)، ببین چولگی میانگین را چطور از میانه دور میکند و برای دادههای زنگولهای از قاعدهٔ ۶۸–۹۵–۹۹/۷ استفاده کن.
- همبستگی و خط رگرسیونقدرت همبستگی را از r بخوان، نقطهٔ میانگین را پیدا کن، خط رگرسیون را با شیب و عرض از مبدأ بساز و داخل دادهٔ موجود پیشبینی کن.
- نمودار ساقه و برگ و سریهای زمانیدادهها را در نمودار ساقه و برگ بنویس و بخوان، بعد یک سری زمانی را به صورت نمودار خطی بکش و با میانگین متحرک هموارش کن.
- دسته‌های نابرابر و دادههای دو متغیرهنمودار مستطیلی با دستههایی با پهنای متفاوت را با چگالی فراوانی بکش، فراوانی را از روی ستون بخوان و دو متغیر مربوط به یک گروه را روی یک نمودار بخوان.
- خط فقر، شاخص قیمت و تورمخط فقر را از میانهٔ درآمدها پیدا کن، شاخص قیمت کالاها را حساب کن و ببین تورم چه تأثیری دارد.
- روند، درونیابی و برونیابیالگو و روند یک سری زمانی را بخوان، مقدار بین دادهٔ ثبتشده را با درونیابی و مقدار بعد از آن را با برونیابی تخمین بزن.
- جمعآوری داده، مقیاس و نمودار خط شکستهجوابهای یک نظرسنجی را با چوبخط جدول کن، برای محور نمودار مقیاس مناسب انتخاب کن و نمودار دمای ۱۲ ماه را بخوان و تفسیر کن.
- درصد در آمار و احتمالنتیجهٔ یک نظرسنجی را به درصد بنویس، از زاویهٔ قطاع دایره درصد را پیدا کن، دایرهٔ درصدی بکش و احتمال را به صورت درصد بنویس.
- انواع متغیر، گردآوری داده و برآوردمتغیر کیفی و کمّی، گسسته و پیوسته را از هم جدا کن، نمونهٔ طبقهای بگیر، پرسشنامهٔ بیطرف را پیدا کن و میانگین جامعه را از روی نمونه تخمین کن.
- جدول دادهها: خواندن و پر کردنیک جدول ساده را بخوان، بزرگ‌ترین مقدار را پیدا کن، اختلاف را حساب کن و جدول را از دادهها پر کن.
- دستهبندی بر اساس ویژگیچیزها را بر اساس رنگ و شکل دستهبندی کن، تعداد هر دسته را بشمار و بزرگ‌ترین دسته را پیدا کن.
احتمال
- احتمال: حتمی، ممکن، غیرممکناز کیسه مهره بردار، چرخنده را بچرخان و تاس بینداز. بگو هر اتفاق حتمی است، ممکن است یا غیرممکن.
- احتمال تجربی و احتمال نظریچرخنده را بچرخان، درِ بطری را بینداز و تاس بینداز: ۱۰ بار، ۱۰۰ بار، ۱۰۰۰ بار. ببین کسر آزمایشها کمکم به احتمال نزدیک می‌شود.
- فضای نمونه، پیشامدهای مرکب و پیشامد متممهمهٔ حالتهای یک سکه و یک چرخنده، دو سکه و دو تاس را بشمار. حالتهای مطلوب را در جدول ۶ در ۶ پیدا کن و احتمال «نیامدن» را از احتمال «آمدن» به دست بیاور.
- نمودار ون، پیشامدها و جدول دوطرفه۳۰ دانشآموز یک کلاس را بر اساس فوتبال و شطرنج در نمودار ون بچین، همان دادهها را به جدول دوطرفه ببر و برگردان، پیشامدها را مثل مجموعه ببین و احتمال «یا» را با قانون جمع حساب کن.
- نمودار درختی، اصل ضرب و پیشامدهای مستقلنمودار درختی را رشد بده تا جورهای لباس و نتیجههای مسابقه را بشماری، احتمالها را روی شاخهها بنویس، در طول هر مسیر ضرب کن، مسیرها را با هم جمع کن و ببین وقتی مهره را برنمیگردانیم چه چیزی عوض می‌شود.
- قاعده‌های احتمال، حالتهای پیوسته و تعداد مورد انتظاراحتمال برآمدهایی را که با هم رخ نمیدهند جمع کن، پیدا کن کدام فهرستها میتوانند احتمال باشند، احتمال را به صورت بخشی از یک طول حساب کن و پیشبینی کن چند بار اتفاق میافتد.
- احتمال شرطیبا جدول، نمودار ون و درخت احتمال یک پیشامد را وقتی دیگری را از قبل میدانیم حساب کن، ببین چرا ترتیب «به شرط» مهم است و با پیشامدهای وابسته آشنا شو.
- پیشامدهای مستقل و احتمال کلبا یک جدول بسنج دو پیشامد مستقلاند یا نه، ببین چرا پیشامدهایی که با هم رخ نمیدهند مستقل نیستند و مسیرهای درخت را جمع کن تا احتمال پیشامدی را که از چند راه رخ میدهد پیدا کنی.
- متغیر تصادفی و امید ریاضیبه هر برآمد دو تاس یک عدد بده، احتمال مقدارهای آن عدد را پیدا کن، میانگین یک تاس را حساب کن و تصمیم بگیر یک بازی در هر پرتاب چقدر میارزد.
- احتمال غیرهمشانس و قانون بیزبرای حالتهایی که شانس برابر ندارند، به هر حالت یک وزن بده و جمع بزن. بعد درخت را برعکس بخوان: وقتی پیچ معیوب پیدا شد، از کدام ماشین بوده است؟
- توزیع دوجملهای و پواسنمسیرهای درخت را که دقیقاً k موفقیت دارند بشمار، ببین فرمول دوجملهای از کجا میآید و برای رویدادهایی که تصادفی میرسند از فرمول پواسن استفاده کن.
- توزیع نرمال و نمرهٔ استانداردفاصله از میانگین را بر حسب انحراف معیار روی یک خط اعداد علامت بزن، قاعدهٔ ۶۸–۹۵–۹۹/۷ را به کار ببر، نمرهٔ استاندارد را حساب کن و احتمال یک دُم را پیدا کن.
- میانگین نمونه، نسبت نمونه و قضیهٔ حد مرکزیببین میانگین نمونهها خیلی کمتر از مقدارهای تکی پراکنده است، خطای معیار میانگین و نسبت را حساب کن و با قضیهٔ حد مرکزی یک احتمال پیدا کن.
- احتمال و ترکیباحتمال یک پیشامد را با رابطهٔ P(A) = m ÷ n پیدا کن، وقتی حالتها را با ترکیب C(n, k) و جایگشت P(n, k) میشماریم.
مجموعه و منطق
- مجموعهها: عضو، زیرمجموعه، اجتماع، اشتراک و متممکارت عددها را در بیضیهای نمودار ون بچین، مجموعه را با آکولاد بنویس، اجتماع و اشتراک و تفاضل را هاشور بزن و با نمودار بشمار.
- ترتیبها و گروهها: جایگشت و ترکیبدرخت حالتها را رشد بده و بشمار چه کسانی میتوانند اول و دوم شوند، دوستانت را در یک ردیف بچین و ببین چرا یک گروه از آدمها کمتر از یک ترتیب شمرده می‌شود.
- قضیهٔ دوجملهای و مثلث خیام–پاسکال(a + b)³ را به شکل ضرب سه پرانتز ببین، مسیرهایی را که هر جمله را می‌سازند بشمار، ضریبها را از مثلث خیام–پاسکال بخوان و برای بسط عبارتهایی که عدد دارند به کار ببر.
- شمارش بدون دو بار شمردن و اصل لانهٔ کبوتردانشآموزان دو باشگاه را بشمار بدون اینکه کسانی را که در هر دو هستند دو بار بشماری، مضربهای ۲ یا ۳ را بشمار و با اصل لانهٔ کبوتر مطمئن شو که دو چیز در یک جعبه میافتند.
- گزارهنما، زیرمجموعهها و قوانین مجموعههاگزاره و گزارهنما را از هم جدا کن، مجموعهٔ جواب یک گزارهنما را بساز، تعداد زیرمجموعهها را بشمار و قوانین توزیعپذیری و جذب را روی نمودار ون هاشور بزن.
- گزارهها، «و»، «یا»، «نه» و «اگر … آنگاه …»تشخیص بده کدام جملهها گزارهاند، «و»، «یا» و «نه» را درست به کار ببر، قول «اگر … آنگاه …» را بسنج و عکسنقیض را پیدا کن.
- سورها، استدلال معتبر و دمورگان«همه» را نقیض کن، «هر مضرب ۶ مضرب ۳ است» را بکش، استدلال معتبر را از نامعتبر جدا کن و قانون‌های دمورگان را برای مجموعهها به کار ببر.
- اثبات: مستقیم، حالتها، خلف و استقرابا جبر ثابت کن مجموع دو عدد فرد زوج است، ادعایی را با تقسیم به حالتها بررسی کن، با برهان خلف ثابت کن بزرگ‌ترین زوج وجود ندارد و گام استقرا را برای مجموع عددهای فرد پیدا کن.
- زوج مرتب، رابطه و همارزیA × B را با نقطهها نشان بده، یک رابطه را انتخاب کن، آن را وارونه کن تا رابطهٔ وارون به دست آید و ببین چرا «همباقیمانده بودن» رابطهٔ همارزی است.
- شمارش با تکرار: جایگشت با تکرار، گروهبندی و ستاره و خطتیلههای همرنگ را در یک ردیف بچین، رمزهایی با رقم تکراری بشمار، دانشآموزان را در اتاقها تقسیم کن و تعداد انتخابهای گل از چند نوع را با ستاره و خط پیدا کن.
- نمایش مجموعه با نماد ریاضی و مجموعههای نامتناهیمجموعههای ℕ و ℤ و ℚ و ℝ را بشناس، اعضای مجموعهای را از روی شرطش بنویس، شرط یک مجموعه را بنویس و ببین چرا عددهای زوج و طبیعی «هماندازه»اند.
- ضریبهای دوجملهای، مثلث خیام–پاسکال و اثبات با شمارشگروههایی از دوستانت را به دو دسته تقسیم کن، قاعدهٔ مثلث خیام–پاسکال را با شمارش ثابت کن و ببین چرا مجموع هر ردیف توانی از ۲ است.
- گراف: رأس، یال و درجهگراف را بخوان: درجهٔ رأسها را پیدا کن، مجموع درجهها را با تعداد یالها مقایسه کن و ببین چرا گاهی یک گراف ممکن نیست.
- گراف: مجموعهٔ احاطهگرایستگاهها را طوری بگذار که همهٔ نقطههای نقشه پوشش داده شوند و کمترین تعداد لازم، یعنی عدد احاطهگری گراف، را پیدا کن.
- اصل جمع و ضرب، جایگشت و ترکیباصل جمع را از اصل ضرب تشخیص بده، فرمولهای جایگشت n شیء، جایگشت r تایی و ترکیب را به کار ببر و معادله‌ای با فاکتوریل حل کن.
- مسئلههای شمارشی: فهرستکردن، نمودار درختی و اصل ضربهمهٔ حالتهای قرار گرفتن سه دختر در طبقهها را پیدا کن، نمودار درختی حالتها را بساز و بفهم چرا تعداد حالتها با ضرب به دست میآید.
- اصل جمع و اصل ضرببه چند روش می‌شود «الف یا ب» و «الف و ب» را انتخاب کرد؟ اصل جمع، اصل ضرب، زوجهای (a, b)، نقشهٔ راهها و مسئلههای رقم‌ها.
اعداد مختلط
- اعداد مختلط: i، جمع، ضرب و تقسیمبا عدد i که i² = −۱ است آشنا شو، عددهای مختلط را مثل نقطههایی در صفحه جمع کن، مثل پرانتزها ضرب کن و با مزدوج تقسیم کن.
- معادله‌های درجهٔ دوم و چندجملهایها با ریشهٔ مختلطببین چرا x² + ۴x + ۱۳ = ۰ ریشهٔ حقیقی ندارد، معادلههایی با ریشهٔ مختلط حل کن، ریشه‌ها را روی صفحه بگذار و ریشهٔ گمشدهٔ یک معادلهٔ درجهٔ سوم را پیدا کن.
- نمودار آرگاند: قدرمطلق، آرگومان و چرخاندنعددهای مختلط را نقطههایی در نمودار آرگاند ببین، قدرمطلق و آرگومان آن‌ها را پیدا کن، آن‌ها را نسبت به محور حقیقی قرینه کن و با چرخاندن و بزرگ کردن ضرب کن.
- توان‌ها، ریشه‌ها و دایرهها در نمودار آرگاندe(iθ) را نقطهای روی دایرهٔ یکه ببین، با قضیهٔ دموآور به توان برسان، ریشه‌های چهارم یک عدد را مثل رأسهای یک مربع بگذار و با |z − c| = r دایره بکش.
ماتریس‌ها
- ماتریس: مرتبه، درایهها و ماتریسهای خاصماتریس را مثل یک جدول بخوان: درایه را با سطر و ستونش پیدا کن، مرتبه را بگو و ماتریسهای صفر، همانی و قطری را بساز.
- جمع، ضرب عدد، ضرب و ترانهادهٔ ماتریسهاماتریسهای هممرتبه را جمع و تفریق کن، در یک عدد ضرب کن، سطر در ستون ضرب کن و سطرها را ستون کن.
- دترمیناندترمینان ۲ × ۲ و ۳ × ۳ را حساب کن، ببین جابه‌جا کردن سطرها چه میکند و دترمینان مساحتها را چطور تغییر میدهد.
- وارون ماتریس و حل دستگاهوارون ماتریس ۲ × ۲ را با دترمینان بیاب، وارون ۳ × ۳ را با عملهای سطری پیدا کن و با آن دستگاه را حل کن.
- قاعدهٔ کرامر و روش حذفی گاوسدستگاه را با دترمینان (کرامر) حل کن، بعد با عملهای سطری (گاوس) و ببین دترمینان صفر چطور خطهای موازی میدهد.
- ماتریس بهعنوان تبدیلماتریس نقطههای صفحه را جابه‌جا میکند: آن را روی یک نقطه اعمال کن، از تصویر i و j بسازش و نقطههای ثابتش را پیدا کن.
حساب دیفرانسیل و انتگرال
- حد: نزدیک شدن به یک عددجدول مقدارهای تابعی را که در یک نقطه تعریف نشده است، در نزدیکی همان نقطه پر کن، حد را از نمودار بخوان و ببین چرا حد چپ و حد راست باید با هم برابر باشند.
- محاسبهٔ حد: قانونها، صفر بر صفر و سینوسحد جمع و ضرب را از روی نمودارها حساب کن، شکل مبهم صفر بر صفر را با تجزیه و ساده کردن باز کن و حد سینوس را بشناس.
- حد بینهایت و حد در بینهایتببین چرا ۱x۲ نزدیک صفر بزرگ می‌شود، مجانب افقی را بکش، و شکلهای مبهم ∞ ÷ ∞ و ∞ − ∞ را باز کن.
- پیوستگی و آهنگ تغییرببین چه وقت نمودار را بدون برداشتن قلم میتوان کشید، k را برای پیوسته شدن پیدا کن و بازه را کوچک و کوچک‌تر کن تا آهنگ تغییر متوسط به آهنگ لحظهای برسد.
- از قاطع تا مماس: تعریف مشتقنقطهٔ Q را روی نمودار به P نزدیک کن، ببین شیب خط قاطع در جدول به شیب مماس نزدیک می‌شود، مماس را بکش و بفهم چرا در یک گوشه مشتق وجود ندارد.
- قاعده‌های مشتقگیریقاعدهٔ توان، حاصل‌ضرب، خارج‌قسمت و زنجیره‌ای را روی یک نقطه با عدد امتحان کن و با مماس و خط قائم روی نمودار بررسی کن.
- مشتق سینوس، نمایی، لگاریتم و توابع وارونمشتق sin x را نزدیک صفر بررسی کن، مماس بر ex را بکش، با کمک قرینه بودن ln x و ex نسبت به خط y = x، مشتق آن را پیدا کن و قاعدهٔ مشتق تابع وارون را برای arctan بهکار ببر.
- مشتق ضمنی، پارامتری، مرتبهٔ دوم و آهنگهای وابستهشیب دایره را در یک نقطه با مشتق ضمنی پیدا کن، شیب منحنی پارامتری را حساب کن، مشتق دوم را بگیر و ببین تغییر ضلع چطور تغییر مساحت را بهدنبال دارد.
- معادلهٔ خط مماس و بیشترین و کمترین مقدار تابع در یک بازهمعادلهٔ خط مماس را با y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) بنویس، مماس موازی یک خط و مماس گذرنده از نقطهای خارج از منحنی را پیدا کن، بعد بیشترین و کمترین مقدار تابع را در [a,b] پیدا کن.
- علامت مشتق و شکل نموداربا علامت f′(x) بازههای صعودی و نزولی را پیدا کن، نقطههای اکسترمم را روی نمودار مشخص کن، نقطهٔ عطف را با f″(x) پیدا کن و مقدار ماکزیمم را حساب کن.
- قضیهٔ رول، هوپیتال و سری مکلورننقطهای را پیدا کن که مماس افقی است، نقطهٔ قضیهٔ مقدار میانگین را حساب کن، حد کسری با صورت و مخرج ۰ را با هوپیتال حساب کن و ضریب سری مکلورن cosh(x) را پیدا کن.
- تخمین مساحت، مجموع ریمان و قاعدهٔ ذوزنقهمساحت زیر y = x۲ را با مستطیلهای باریک و ذوزنقهها تخمین بزن و ببین با باریکتر شدن نوارها، تخمینها به کدام عدد نزدیک می‌شوند.
- از تابع اولیه تا انتگرال معینتابع اولیه بیاب و ببین چرا +C لازم است، انتگرال معین را با F(b) − F(a) حساب کن، مقدار میانگین تابع را بیاب و با انتگرال ۱x آشنا شو.
- روش‌های انتگرالگیریمتغیر و کرانها را با هم عوض کن، جزء به جزء انتگرال بگیر، کسر را به کسرهای جزئی تجزیه کن، تغییر متغیر مثلثاتی انتخاب کن و تصمیم بگیر انتگرال ناسره مقدار دارد یا نه.
- مساحت، حجم و طول قوس با انتگرالبا انتگرال معین مساحت زیر یک منحنی و بین دو منحنی، حجم جسم دورانی، طول قوس و مساحت یک ناحیهٔ قطبی را حساب کن.
- معادله‌های دیفرانسیلیک آهنگ تغییر را به‌صورت معادلهٔ دیفرانسیل بنویس، جواب y = Cekx را روی نمودار پیدا کن و یک معادلهٔ جداشدنی را با شرط اولیه حل کن.
- رسم نمودار و بهینهسازیمجانبها و نقطههای مهم یک نمودار را پیدا کن و با ماکزیممگیری، مسئلههایی مثل بزرگ‌ترین مساحت و بزرگ‌ترین حجم را حل کن.
- برنامهٔ بررسی تابع و رسم نمودارتابع را طبق برنامه بررسی کن: دامنه، زوج یا فرد بودن، ریشه‌ها، صعودی و نزولی بودن، نقطههای اکستریمم؛ بعد نقطههای کلیدی نمودار را مشخص کن.
- نمودار علامت مشتق و جهت تابعاز روی علامت مشتق در هر بازه با پیکان نشان بده تابع کجا صعودی ↗ و کجا نزولی ↘ است و نقطههای اکستریمم را پیدا کن.
راهبردهای حل مسئله
- حل مسئله: رسم شکلمسئله را بخوان. بگو چه میدانی و چه میخواهی. شکلش را بکش و جواب را پیدا کن.
- حل مسئله: روش نمادینمسئله را به یک تساوی تبدیل کن. به جای عددی که نمیدانی یک مربع □ بگذار و آن را پیدا کن.
- حل مسئله: الگوسازی، الگویابی، حذف حالتها و حدس و آزمایشچهار راه برای حل مسئله: همهٔ حالتها را با نظم بنویس، الگو را پیدا کن، حالتهای نشدنی را خط بزن، و حدس بزن و آزمایش کن.
- حل مسئله: زیرمسئله، مسئلهٔ سادهتر و فهرست منظممسئلهٔ بزرگ را چند مرحله کن، اول یک مسئلهٔ سادهتر حل کن، همهٔ حالتها را به ترتیب بنویس، و خودت راهبرد را انتخاب کن.
- حل مسئله: راهبردها با مسئلههای هفتمفهرست منظم، زیرمسئله و مسئلهٔ سادهتر را با مسئلههای پولی و عددهای بزرگ‌تر تمرین کن.
- حل مسئله: مسئلهٔ سود و اطلاعات کافیسود فروشنده را در جدول پیدا کن، و ببین کدام عددهای مسئله لازماند و کدام نه، یا یک عدد کم است.
- مسئله: نوشتهٔ کوتاه و حلدادهها را کوتاه بنویس، تساوی بساز، مسئله را در یک یا دو قدم حل کن و جواب را بنویس.
- مسئلهها: چند برابر، چند تا بیشتر، مسئلهٔ معکوسیک عدد را چند برابر کن، با «چند برابر» مقایسه کن، مسئلههای غیرمستقیم و معکوس را حل کن.
- مسئلههای جدولی: قیمت، تعداد، هزینهیادداشت کوتاه را به شکل جدول «قیمت، تعداد، هزینه» بنویس و مسئلههای مجموع، تفاضل و نسبت دو حاصل‌ضرب را حل کن.
- مسئلههای چندمرحلهایمسئلهٔ ساده و چندمرحلهای را از هم تشخیص بده و حل را مرحلهبهمرحله و به صورت یک عبارت با پرانتز بنویس.
- مسئلههای چندمرحلهای با ضرب و تقسیممسئلههای چندمرحلهای را حل کن: باقی‌مانده، جمع و تفاضل حاصل‌ضرب‌ها و چند برابر بیشتر یا کمتر.
- دو مسئله را مقایسه کن: چه چیزی عوض شد؟دو مسئلهٔ مشابه را کنار هم بگذار، پیشبینی کن راه حل چه می‌شود و مسئلهٔ تغییریافته را حل کن.