سپړونکی
ټول کارځایونه، له اسانه تر ستونزمنه.
عددونه او مقامي قیمت
- تر ۱۰ پورې شمېرل او پرتلهمڼې جوړه جوړه کړئ، وې شمېرئ او پرتله یې کړئ. بیا د <، > او = نښې وپېژنئ.
- له ۱۰ تر ۲۰ عددونه: یو لس او څو یوپه دوو د لس چوکاټونو له ۱۰ تر ۲۰ عددونه ولولئ او جوړ یې کړئ. یو ډېر، منځنی عدد، او ترتیبي عدد.
- د عددونو خط او متناوب شمېرلعددونه د عددونو پر خط پیدا کړئ. دوه دوه، پنځه پنځه او لس لس مخ ته لاړ شئ او جفت او تاق عددونه وپېژنئ.
- مقامي قیمت: لسیز او یویز، دوه رقمي عددونهلس یویز په یوه لسیزه بدل کړئ. په لسیزو او یویزو عددونه تر ۱۰۰ پورې جوړ او ولولئ.
- درې رقمي او څلور رقمي عددونه او توسعوي شکلپه چوت کې تر ۱۰۰۰۰ پورې عددونه جوړ، ولولئ او په توسعوي شکل یې ولیکئ؛ بیا دوه عددونه له تر ټولو لوی ځای پرتله کړئ او له رومي رقمونو سره آشنا شئ.
- لوی عددونه، تقریب او اټکلمیلیوني عددونه طبقه په طبقه ولولئ او جوړ یې کړئ، عددونه نږدې لس، سل یا زر ته تقریب کړئ او له حساب مخکې حاصل اټکل کړئ.
- تقریب زدن و محاسبهٔ تقریبیعددها را به دهتا و صدتا نزدیک کن و جواب جمع و تفریق را بدون حساب دقیق حدس بزن.
- تام عددونه (مثبت او منفي)د عددونو محور له صفر څخه کیڼ لوري ته اوږد کړئ. له صفر لاندې د تودوخې درجه او د سمندر تر سطحې لاندې ژوروالی وښایاست او په ټوپونو جمع او تفریق وکړئ.
- د اعشاري کسرونو تقریبد یوه عدد د دوو ګاونډیو ترمنځ برخه لویه وګورئ او ومومئ چې عدد کوم یوه ته نږدې دی: تر یویزو، لسمو او سلمو پورې.
- قاسمونه، مضربونه او اولیه عددونهدانې د مستطیل په بڼه کېږدئ چې د یوه عدد قاسمونه پیدا کړئ. وګورئ چې ولې ځینې عددونه یوازې یو مستطیل لري.
- د وېش قابلیت، تر ټولو لوی مشترک قاسم، تر ټولو کوچنی مشترک مضرب او طاقتد عددونو په جدول کې مضربونه رنګ کړئ او د وېش د قابلیت قاعدې ومومئ. بیا مشترک قاسم او مضرب، د عددونو مربعونه او طاقت.
- د تامو عددونو ضرب او وېش او مطلقه قیمتمنفي عددونه د عددونو پر خط په ټوپونو ضرب او وېش کړئ، د نښو الګو پیدا کړئ او له صفر څخه واټن اندازه کړئ.
- نسبتي عددونه: پرتله او څلور عملیېمنفي کسرونه او اعشاري کسرونه پر یوه خط کېږدئ، پرتله یې کړئ او بیا یې پر خط د حرکت او لویولو په توګه جمع او ضرب کړئ.
- غربال عددهای اولعددهای ۱ تا ۵۰ را بنویس و مضربها را خط بزن تا فقط عددهای اول بمانند. بعد بفهم تا کجا باید غربال کنی.
- تفریق عدد منفیهر تفریق را به جمع تبدیل کن، تفریق یک عدد منفی را روی محور ببین و جمع و تفریق دو رقمی را یکان و دهگان جدا حساب کن.
- توان عدد منفی و رشد با دو برابر شدنترتیب عملها را با توان رعایت کن، فرق (−۳)² و −۳² را بفهم و ببین چرا هر بار دو برابر شدن خیلی زود به عددهای بزرگ میرسد.
- پر لومړنیو ضربي اجزاوو تجزیه، مشترک قاسم او مضرب، او جذردوه عددونه د ونې په مرسته پر لومړنیو ضربي اجزاوو تجزیه کړئ. له مشترکو ضربي اجزاوو تر ټولو لوی مشترک قاسم او تر ټولو کوچنی مشترک مضرب جوړ کړئ، او د جوړو او درېګونو په مرسته دویم جذر او دریم جذر پیدا کړئ.
- د طاقت قوانین، صفر طاقت او منفي طاقتطاقت لرونکي عددونه د یوه کسري خط پر سر د عواملو د ضرب په بڼه ولیکئ: په ضرب کې عوامل سره یو ځای کړئ؛ په تقسیم کې پورته او ښکته مساوي عوامل قلم کړئ؛ او وګورئ چې ولې a۰ = ۱ دی او منفي توان کسر معنا لري.
- تقسیم عددهای گویامعکوس یک عدد گویا را پیدا کن و تقسیم عددهای گویای علامتدار را به ضرب تبدیل کن. ببین چرا تقسیم بر صفر معنا ندارد.
- ریشهٔ nام و توانهای گویاریشهٔ nام را با توان بشناس: ریشهٔ زوج و فرد، ضرب ریشهها، و بعد توان کسری مثل ۲۷۱۳ و ۸۲۳.
- د عدد د لیکلو علمي طریقهرقمونه د ÷۱۰ او ×۱۰ سره وښوروئ تر څو د ممیزې مخې ته یوازې یو غیرصفر رقم پاتې شي، او وګورئ چې د ۱۰ توان څنګه د ښورولو شمېر شمېري.
- تقریبي دویم جذر او پر خط حقیقي عددونهد یوه عدد دویم جذر د دوو تامو عددونو ترمنځ پیدا کړئ، په مربع کولو سره تر لسمو او سلمو پورې نږدې شئ او ناطق او غیر ناطق عددونه د حقیقي عددونو پر خط سره جلا کړئ.
- جذري عددونه او د هغوی ساده کولد جذر لاندې عدد په اولي عواملو تجزیه کړئ او هره جوړه بهر راوباسئ: √۱۲ = ۲√۳. جذرونه ضرب کړئ، مشابه جذرونه جمع کړئ او مخرج ناطق کړئ.
- د تر ټولو لوی مشترک قاسم لپاره د اقلیدس طریقهد دوو عددونو تر ټولو لوی مشترک قاسم د وېشونو په یوه لړۍ پیدا کړئ، پرته له دې چې قاسمونه یې ولیکئ.
- قدر مطلق عددهای حقیقی و محاسبهٔ تقریبیقدر مطلق را فاصله از مبدأ ببین، سه حالت a مثبت و صفر و منفی را بشناس، قدر مطلق مجموع را با مجموع قدر مطلقها مقایسه کن و با جذر تقریبی حساب کن.
- ویژگیهای ریشه، توان گویا و معادلههای رادیکالیریشهٔ خارجقسمت و ریشهٔ ریشه را پیدا کن، ریشههای با فرجامهای مختلف را مقایسه کن و یک معادلهٔ رادیکالی را با مربع کردن، بررسی شرط و جایگذاری حل کن.
- عددونه په کلمو: لس زرګونی، سل زرګونی او ملیاردلوی عددونه جوړ کړئ او ولولئ: پنځه رقمي عددونه، سل زره او له میلیون وروسته عددونه.
- ریشهگیری: ریشهٔ دوم و سوم و علامت آنهابشمار چند عدد مربعشان یک عدد مثبت است، بفهم چرا ریشهٔ دوم عدد منفی معنا ندارد ولی ریشهٔ سوم دارد، و ببین چرا جذرِ مربع یک عدد همان قدر مطلق آن است.
- تقریب زدن عددها روی محورعدد را روی محور اعداد پیدا میکنیم و میبینیم به کدام دهتایی، صدتایی یا هزارتایی نزدیکتر است. عدد وسط به سمت بزرگتر تقریب زده میشود.
- عددها با حروفعددهای دو و سه رقمی را از دهتاییها و یکیها بساز و با حروف بخوان و بنویس.
- بخشپذیری در اعداد صحیحالگوریتم تقسیم، ویژگیهای بخشپذیری و نوشتن ب.م.م دو عدد بهصورت ترکیبی از خود آن دو عدد.
- جدول عددها و شمارش چندتا چندتاروی جدول عددها سهتا سهتا، چهارتا چهارتا، ششتا ششتا و هفتتا هفتتا جلو برو و با میلهها جمع تکراری را ببین.
- همنهشتی در اعداد صحیحعددهایی که در تقسیم بر یک عدد باقیمانده یکسان دارند، «همنهشت» هستند. ببین چطور با آنها حساب کنیم.
- ارزش مکانی عددهای اعشاریعدد اعشاری را در جدول ارزش مکانی با ستونهای یکان، دهم و صدم بنویس و بخوان، و با نمایش گسترده بساز و مقایسه کن.
- تقریب: گرد کردن و قطع کردنیک عدد را با تقریب کمتر از ۱۰، ۱۰۰، ۱، ۰/۱ با دو روش «گرد کردن» و «قطع کردن» تقریب بزن، تشخیص بده کدام گرد شده است، کسر را تقریب بزن و حاصلضرب را تخمین بزن.
- ترکیب عددهای ۶ تا ۹ و صفرعددهای ۶، ۷، ۸ و ۹ را با مهرهها به دو قسمت تقسیم کن. بعد ببین اگر همه چیز برداشته شود یا هیچ چیز برداشته نشود چه میشود.
- کارت تجزیه و نوارهادو قسمتی را که ۶ را میسازند بنویس و نواری از ۷ خانه بساز.
- ویژگیهای ریشهٔ دومریشهٔ دوم مجذورها، حاصلضربها، خارجقسمتها و توانها را با ویژگیهای ریشهٔ دوم پیدا کن.
- دنبالهٔ عددهای طبیعی و نیمخط عددیعدد قبل از یک عدد را پیدا کن، بفهم چرا بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد، نقطهٔ K(5) را روی نیمخط عددی نشان بده و یک مقیاس را بخوان.
- تقسیم با باقیمانده و بخشپذیری بر ۹ و ۳بفهم چرا باقیمانده از مقسومعلیه کوچکتر است، مقسوم را با a = bq + r بساز و بخشپذیری بر ۹ و ۳ را با مجموع رقمها بسنج.
څلور ګونې عملیې
- جمع او تفریق تر ۱۰ پورېمڼې یو ځای کړئ، لرې یې کړئ او پرتله یې کړئ. په دوو عددونو ۱۰ جوړ کړئ.
- تر ۲۰ پورې جمع او تفریق، له لسو تېرېدللومړی ۱۰ ډک کړئ، بیا پاتې کېږدئ. درې عددونه جمع کړئ، د عددونو ځای بدل کړئ او د یوې عددي کورنۍ څلور جملې پیدا کړئ.
- د عددونو پر خط ذهني جمع او تفریقهره جمع او تفریق د عددونو پر خط په حرکتونو وښایاست: لومړی لسیزې، بیا یویزې، یا لومړی تر بل لس پورې.
- ضرب او وېش په مساوي ډلومڼې په مساوي ډلو کې کېږدئ، کتارونه جوړ کړئ او وګورئ چې ضرب او وېش څنګه سره تړلي دي.
- د ضرب جدولضربونه د شکل په مرسته زده کړئ او په لوبه کې یې تمرین کړئ: لومړی ۲، ۵ او ۱۰، بیا صفر او یو، بیا د د ضرب جدول پاتې برخه.
- په ۱۰، ۱۰۰ او ۱۰۰۰ ضرب او وېشکله چې یو عدد په ۱۰ کې ضرب کړئ، هر رقم یو ځای کیڼ لوري ته ځي؛ کله چې پر ۱۰ یې ووېشئ، یو ځای ښي لوري ته. دا د مقامي قیمت په جدول کې وګورئ، لومړی له طبیعي عددونو او بیا له اعشاري کسرونو سره.
- عمودي جمع او تفریقعددونه یو د بل لاندې ولیکئ او ستون په ستون یې جمع او تفریق کړئ؛ حاصل راتلونکي ستون ته یوسئ، له څنګ ستون څخه پور واخلئ او ځواب وازمویئ.
- په عمودي ډول ضربضرب په عمودي ډول ولیکئ: لومړی په یو رقمي عدد ضرب د ستون پورته یادښت شوي رقم سره، بیا دوه رقمي په دوه رقمي ضرب، او په پای کې د اعشاري کسرونو ضرب.
- له پاتې سره وېش او اوږد وېشوېش رقم په رقم ولیکئ، وګورئ چې پاتې څه شی دی او په پوښتنه کې ورسره څه وکړئ، او وېش د ضرب په مرسته آزموینه کړئ.
- بشپړونکی: په چوت سره د عددونو جمع او تفریقد چوت په دانو دوه رقمي عددونه جمع او تفریق کړئ. د یویزو لس دانې د لسیزو په یوې دانې بدلې کړئ، او برعکس.
- ضرب عددهای رند و محاسبهٔ اعشاریضرب عددهایی که صفر آخر دارند (۴۰×۳۰ و ۶۵۰×۳۰۰)، جمع و تفریق ستونیِ عددهای اعشاری، و ضرب دو عدد اعشاری با شمردن رقمهای اعشار.
- ضرب ستونی در عدد چندرقمی و عدد گردبا حاصلضربهای جزئی در عدد سهرقمی، عددی که صفر دارد و عدد گرد ستونی ضرب کن.
- ضرب با مکعبها: هر بخش را جدا ضرب کناول ضرب در عددهای دهتایی، بعد ضرب عدد چندرقمی در یک عدد یکرقمی با مکعبهای صدتایی، دهتایی و یکی: هر بخش را جدا ضرب میکنیم و حاصلها را جمع میکنیم.
- جمع و تفریق چهاررقمی با مکعبهای هزارتاییجمع و تفریق عددهای چهاررقمی در جدول ارزش مکانی با مکعبهای یکی، دهتایی، صدتایی و هزارتایی، با تبدیل ده تا به یکی در ستون بعد.
- شمردن دستهای و مسئلههای ضربشمردن با گامهای ۷ و ۲۰۰، «چند برابر» در داستانها، تبدیل دلار به تومان و مسئلههای سرعت با ماشین ضرب.
- اجزای تساوی: جمعشونده، حاصل جمع، حاصل تفریقروی خط عددی تکهتکه جمع و تفریق کن، نام اجزای تساوی را یاد بگیر و تفریق را با جمع پیدا کن.
- عدد نامعلوم و تغییر حاصل جمعجمعشوندهٔ نامعلوم و عددهای نامعلوم تفریق را با قاعده پیدا کن، عبارتها را بدون حساب مقایسه کن و ببین حاصل جمع چطور عوض میشود.
- عددهای دو رقمی: رقمبهرقم، تکهتکه و ترفند گرد کردنعددهای دو رقمی را رقمبهرقم و تکهتکه جمع و تفریق کن و ۳۸ + ۹ را با کمک ۱۰ حساب کن و یکی اضافه را برگردان.
- جدول ضرب و بستگی نتیجه به عددهاجدول ضرب را بررسی کن، پشت سر هم ضرب و تقسیم کن و ببین حاصلضرب و خارجقسمت چطور به عددها بستگی دارند.
- روشهای ذهنی: رقمبهرقم، گرد کردن، تقسیم تکهتکهعددها را رقمبهرقم و با گرد کردن جمع و تفریق کن، عددها را بشکن و تقسیم کن و عددهای گرد را با واحدهای ارزش مکانی تقسیم کن.
- راههای هوشمندانه برای ضرب و تقسیمضرب و تقسیم در ۵، ۲۵، ۵۰، ۱۱، ۱۰۱، ۹ و ۹۹ را با راههای آسان انجام بده.
- قانونهای عملها و محاسبهٔ هوشمندانهبا خاصیتهای جابهجایی، شرکتپذیری و پخشی، حساب کردن را آسان کن و عبارتها را با عددهای گویا ساده کن.
- عبارت، تساوی، نابرابریعبارت و تساوی و نابرابری را از هم تشخیص بده، تساویهای نادرست را خط بزن و عبارتها را بدون محاسبه مقایسه کن.
- تقسیم با باقیمانده بر ۱۰ و ۱۰۰با پوشاندن رقمهای سمت راست بر ۱۰ و ۱۰۰ با باقیمانده تقسیم کن و عددهای مختوم به صفر را با خط زدن صفرهای برابر تقسیم کن.
- زنجیرهٔ عملهاپیکانها را دنبال کن: یک عدد در دایره و یک عمل روی پرچم. عدد آخر زنجیره را پیدا کن و پرچمِ پاکشده را برگردان.
- جدولهای جمعجدول جمع ۱ و ۲ و ۵ و ۷ را بخوان، نتیجهها را بپوشان و دوباره بنویس. بعد جمعهای دهگان دوم (۱۱ تا ۲۰).
- تفریق ۶ و ۷ و ۸ و ۹عدد اول را به صورت جمع دو عدد مناسب بنویس که یکیشان با عدد دوم برابر است. آنوقت جمعشونده دیگر میماند.
- جمع و تفریق یک حاصلجمعیک حاصلجمع را به عدد اضافه کن، از عدد کم کن و یک عدد را از حاصلجمع کم کن؛ تساویها را با پرانتز بنویس.
کسرونه
- کسر څه شی دی؟یو شی په مساوي برخو ووېشئ او په کسر سره وښیئ چې څو برخې مو اخیستې دي.
- کسر د عددونو پر خطکسرونه هم عددونه دي او هر یو د عددونو پر خط خپل ځای لري. له صفر څخه تر یو پورې واټن په مساوي برخو وګورئ او نقطه کېږدئ.
- معادل کسرونهیوه اندازه په بېلابېلو کسرونو ښودل کېدای شي. وګورئ چې کله برخې کوچنۍ یا لویې شي، کسر بدلېږي، خو اندازه نه بدلېږي.
- د کسرونو پرتلهکوم کسر لوی دی؟ پټۍ یوه د بلې لاندې کېږدئ او وګورئ چې د کومې رنګ وړاندې تللی دی.
- د کسرونو جمع او تفریقکسرونه په پټو کې یو تر څنګ کېږدئ، جمع او تفریق یې کړئ. کله چې مخرجونه توپیر ولري، لومړی برخې سره برابرې کړئ.
- د کسرونو ضرب او وېشد پټو په مرسته وګورئ چې په کسر کې ضرب یعنې «څو ځله» یا «د یو شي کوم کسر»، او پر کسر وېش یعنې «څو واره پکې شامل دی».
- اعشاري کسرلسمې او سلمې د عددونو پر خط پیدا کړئ او وګورئ چې اعشاري کسر څنګه لیکل کېږي او لوستل کېږي.
- وېش او کسروېش رقم په رقم ولیکئ او وګورئ چې هر کسر په اصل کې یو وېش دی چې په اعشاري کسر بدلېدای شي.
- د یوه مقدار کسري برخهمڼې مساوي ووېشئ او څو برخې یې واخلئ. بیا د خوړو یوه نسخه لویه او کوچنۍ کړئ.
- فیصد او د کسر، اعشاري او فیصد بدلولفیصد یعنې «له سلو څخه څو». د سلخانهیي مربع او ۱۰۰٪ پټې په مرسته وګورئ چې کسر، اعشاري عدد او فیصد د یوه مقدار درې نومونه دي.
- د مخلوطو کسرونو ضرب او وېشد پټو په مرسته وګورئ چې د مخلوط عددونو ضرب او وېش څنګه کار کوي، او په یوه افاده کې لومړی کومه عملیه ترسره کړئ.
- د اعشاري کسرونو وېش او متوالي اعشاري کسرونهاعشاري وېش د صحیح عددونو په وېش واړوئ، وېش ته دوام ورکړئ تر څو وګورئ چې رقمونه چېرته تکرارېږي، او یو متوالي اعشاري کسر په عام کسر واړوئ.
- کسرالکسرهغه کسر چې صورت یا مخرج یې کسر وي: یو کسر پر پټۍ وویشئ، په کسر کې کسر وشمېرئ او د لاندنۍ کسر په معکوس سره ویش وکړئ.
- تفریق عدد مخلوط و محاسبه با کسرعددهای مخلوط را از هم کم کن، یک واحد را در صورت نیاز به کسر باز کن، عبارتهایی با کسر مرکب را حل کن و یک دستور پخت را برای تعداد بیشتری لیوان بزرگ کن.
- قسمتی از یک عدد و پیدا کردن عدد از روی قسمتشقسمتی از یک عدد را پیدا کن و از روی قسمت، کل را به دست بیاور: اول یک قسمت، بعد کل یا چند قسمت.
- کسر بزرگتر از واحد، پیدا کردن عدد از روی کسرش، درصد و مقدار تقریبی اعشاریکسر بزرگتر از واحد را روی نوارها نشان بده، از روی مقدار یک کسر یا یک درصد کل را پیدا کن، یک عدد را بهصورت درصدی از عدد دیگر بنویس و کسر را تا رقم صدم گرد کن.
- کسری از واحدهای اندازهگیری۶ سانتیمتر چه کسری از یک متر است و ۳ ماه چه کسری از یک سال؟ کسری از یک واحد را با واحد کوچکتر بنویس و با عدد همراه با واحد مقایسه کن.
نسبت او تناسب
- نسبت او په متناسبو اجزاوو وېشد دوهرنګه پټې په مرسته وګورئ چې ۲:۳ څه معنا لري، نسبتونه ساده کړئ، او یو مقدار په ورکړل شوي نسبت ووېشئ.
- تناسب او احدیتد تناسب په جدول مجهول مقدار پیدا کړئ: لومړی د یو واحد لپاره، بیا د هر بل مقدار لپاره. په پای کې معکوس تناسب.
- لویول او ورته شکلونهیو شکل په ټاکلي نسبت لوی کړئ، ورته شکلونه پیدا کړئ، د ورته والي نسبت ولولئ او یو ورته شکل رسم کړئ.
- د بدلون فیصدي، ضریب او اصلي بیهلومړنۍ اندازه یوه ۱۰۰٪ پټه ده. زیاتوالی پټه اوږدوي (۱۲۰٪) او کموالی یې لنډوي (۸۵٪). په پټو ضریب، د بدلون فیصدي او اصلي بیه پیدا کړئ.
- په هر واحد کې اندازه، د یوه واحد بیه او کثافتد نسبت په جدول کې «د هر یوه لپاره» اندازه پیدا کړئ: د هر کیلوګرام بیه، د هرو ۱۰ افغانیو لیټر، او د هر مکعب سانتي متر کتله.
- نقشه او په مقیاس رسمپه خطکش سره پر نقشه او د کور پر نقشه اندازه وکړئ او په مقیاس سره حقیقي اندازه پیدا کړئ.
- د مستقیم تناسب او معکوس تناسب ګرافونهله جدول څخه د مستقیم تناسب ګراف رسم کړئ، k له یوه ټکي پیدا کړئ، د y = kx منحني په لغزنده له یوه ټکي تېره کړئ، د مستقیم تناسب ګراف وپېژنئ او یو معکوس تناسب رسم کړئ.
- اضافي: مرکب تناسبپه مرکب تناسب کې درې اندازې سره بدلېږي. په جدول کې هر ځل یوازې یوه اندازه بدله کړئ او پرېکړه وکړئ چې تناسب مستقیم دی که معکوس.
- مسافت، سرعت، زمان: s = v × tمسافت، سرعت و زمان را از روی جدول و با فرمولهای s = v × t ،v = s ÷ t و t = s ÷ v پیدا کن.
- حرکت دو جسم و کار مشترکفاصلهٔ دو جسمی را که همزمان حرکت میکنند و زمان کار مشترک را با جدول و نقشهٔ حل پیدا کن.
- تقسیم متناسب و مقدار یکسانمسئلهها را با یادداشت کوتاه «قیمت، تعداد، هزینه» حل کن: تقسیم متناسب و پیدا کردن مقدار یکسان از دو اختلاف یا دو مجموع.
- چهارم متناسب و دو بار پیدا کردن مقدار یک واحدمسئلهها را با روش نسبتها و با پیدا کردن مقدار یک واحد حل کن، و مسئلههایی که دو مقدار در آنها عوض میشود.
- ورته شکلونه: اوږدوالی، مساحت او حجمکله چې یو شکل د ورته والي په نسبت k لوی شي، اوږدوالي k چنده، مساحتونه k² چنده او حجمونه k³ چنده کېږي. د نسبت په جدول کې نامعلومه اندازه پیدا کړئ.
- کار: بازده، زمان و کل کارمسئلههای کار را حل کن: بازده در یک ساعت × زمان کار = کل کار انجامشده، با جدول کوتاه.
- مسئلههای تناسب: مقدار ثابتمسئلههایی را حل کن که یک مقدارشان ثابت است (وزن یک جعبه، قیمت یک مداد، وزن کل): اول آن را پیدا کن، بعد به پرسش جواب بده.
- حرکت و کار: یک روش برای هر دومسئلههای حرکت همزمان و کار گروهی را با یک روش حل کن: سرعت × زمان = مسافت و بازده × زمان = کار انجامشده.
پیسې او مالي حسابونه
- له پیسو سره بلدتیا: سکې او نوټونهسکې او نوټونه وپېژنئ، ورسره یو اندازه پیسې جوړې کړئ او وګورئ چې ډېرې سکې تل ډېرې پیسې نه دي.
- سودا اخیستل او پاتې پیسېد څو شیانو بیه سره جمع کړئ، پیسې یې ورکړئ او پاتې پیسې د مخ پر وړاندې شمېرلو په مرسته حساب کړئ.
- په پېر او پلور کې فیصد: تخفیف، ګټه او تاواند ۱۰۰٪ پټۍ په مرسته وګورئ چې تخفیف له بیې څومره کموي، او د دکاندار ګټه او تاوان د پېر د بیې څو فیصده دي.
- ساده ربح او مرکبه ربحسرمایه کال په کال تعقیب کړئ: په ساده ربح کې هر کال همغه اندازه ورزیاتېږي، او په مرکبه ربح کې هر کال په همغه عدد ضربېږي. بیا وګورئ چې د یو شي بیه څنګه هر کال کمېږي.
- درصد و واحد درصدفرق «۵ درصد زیاد شد» با «۵ واحد درصد زیاد شد» چیست؟ نرخ ۲۰٪ که به ۲۵٪ میرسد، سهم دانشآموزان ممتاز و یک مسئلهٔ بانکی.
اندازه کول
- د اندازو پرتله: اوږد، دروند، ډککوم یو اوږد دی؟ کوم یو دروند دی؟ په ګیره، لوېشت او ګیلاس اندازه واخلئ.
- د اوږدوالی، کتله او ظرفیت اندازه کولپه خط کش، ترازو او درجه لرونکي لوښي اندازه واخلئ. لومړی اټکل وکړئ، بیا اندازه واخلئ.
- ساعت او جنتريد ساعت ښودونکي وګرځوئ، د غرمې وروسته وخت د موبایل په څېر ولیکئ او په جنتري کې ورځې پیدا کړئ.
- محیط او مساحتد شکل شاوخوا وګرځئ چې محیط پیدا کړئ، شکل د سطحې په واحدونو پټ کړئ چې مساحت پیدا کړئ، او وګورئ چې دوه شکلونه له مساوي مساحت سره بېل محیطونه لرلای شي.
- ربع ساعت و ترتیب زمان«یک ربع بعد از ۹» و «یک ربع مانده به ۱۰» را روی ساعت نشان بده، ساعت را به دو صورت بنویس و ببین کدام کار بیشتر طول میکشد.
- د واحدونو بدلولمتر په سانتي متر، ګرام په کیلو ګرام او لیتر په ملي لیتر بدل کړئ. د تبدیلۍ چارټ له تاسو سره مرسته کوي.
- د مثلث، متوازي الاضلاع، ذوزنقه او دایره مساحتټوټې ځای پر ځای کړئ چې وګورئ ولې د متوازي الاضلاع مساحت «قاعده × ارتفاع» دی، ولې مثلث د هغه نیمایي دی، ذوزنقه د بلې ذوزنقې سره بشپړه کړئ او د دایرې مساحت اټکل کړئ.
- د مکعب مستطیل حجمله مکعبي واحدونو څخه صندوقونه جوړ کړئ، مکعبونه پوړ په پوړ وشمېرئ او وګورئ چې ولې د مکعب مستطیل حجم «اوږدوالی × عرض × ارتفاع» دی.
- اضافي: د د تودوخې درجه لوستل په ترمامترترمامتر ولولئ او له صفر لاندې تودوخه وښیئ.
- د منشور او استوانه مساحت او حجممنشور او استوانه وګرځوئ، قاعده یې پیدا کړئ، پوړ په پوړ یې ډک کړئ چې وګورئ ولې «حجم = د قاعدې مساحت × ارتفاع» دی، او خلاص شوی شکل یې خلاص کړئ چې د جانبي سطحې مساحت او کلي مساحت یې حساب کړئ.
- اندازهگیری دقیقتر و قسمتی از یک واحدبا واحد خودت اندازه بگیر، قسمتهای کوچک سانتیمتر را بشمار و وسط یک خط را پیدا کن.
- د هرم، مخروط او کره مساحت او حجمهرم په خپل منشور کې او کره په خپله استوانه کې اوبه کړئ ترڅو وګورئ چې ۱۳ او ۲۳ له کومه راځي. مخروط خلاص کړئ ترڅو د دایرې قطاع ووینئ، مولد د د فیثاغورث قضیه په مرسته پیدا کړئ او د یوه برج حجم او مساحت حساب کړئ.
- لوله، قوطی و جعبه: مسئلههای حجم و سطحیک ورق را لوله کن و گنجایشش را به لیتر بگو، مساحت ورق قوطی و جعبه را مقایسه کن و حجم جعبهٔ بدون در را پیدا کن.
- د اندازې دقت: پورتنی او ښکتنی حدتقریب شوې اندازه په حقیقت کې په یوه واټن کې ده. واټن رسم کړئ او د حدونو په مرسته تر ټولو لوی او تر ټولو کوچنی ځواب پیدا کړئ.
- اندازهگیری زمان: دقیقه و ثانیهساعت رسیدن را پیدا کن، زمان گذشته بین دو ساعت را با پیکانهای زمان حساب کن، و دقیقه و ثانیه و ساعت را به هم تبدیل کن.
- کیلومتر، گنجایش و جرم آبمتر و کیلومتر را به هم تبدیل کن، گنجایش ظرف را از حجم مایع درونش جدا کن، و ببین یک لیتر آب چند سانتیمتر مکعب و چند گرم است.
- مساحت لوزی و دایرهمساحت لوزی را با چهار مثلث و با قطرهایش پیدا کن، ببین چرا لوزی نصف مستطیل دورش است، و مساحت دایره را از روی قطاعهایش و با فرمول عدد پی × شعاع × شعاع حساب کن.
- متر و سانتیمتر، کیلوگرم و گرم با هماندازههای دوواحدی را بخوان و بنویس (۳۲۵ سانتیمتر = ۳ متر و ۲۵ سانتیمتر)، واحد مناسب را انتخاب کن و نیم سانتیمتر را روی خطکش بخوان.
- دسیمتر و کار با اندازههایاد بگیر که ۱ دسیمتر برابر ۱۰ سانتیمتر است، روبانها را با دسیمتر اندازه بگیر و طولهای دسیمتری و سانتیمتری را جمع کن.
- اندازههای چندواحدی و چهار عمل روی آنهااندازههای دوواحدی را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کن: همه را با یک واحد بنویس، حساب کن و جواب را دوباره با دو واحد بنویس.
- مساحت مستطیل و یکاهای مساحتمساحت مستطیل را با S = a · b پیدا کن، ضلع مجهول را حساب کن و یکاهای مساحت را بشناس: سانتیمتر مربع، دسیمتر مربع، متر مربع، آر و هکتار.
- زمان: جمع و تفریق عددهای نامدارواحد بزرگ زمان را به واحد کوچکتر تبدیل کن، جمع یا تفریق کن و جواب را با دو واحد بنویس. مدت یک رویداد را از روی شروع و پایانش پیدا کن.
- منشور، مکعبمستطیل و هرم: ویژگیها، برشها، هرم ناقصقطر مکعبمستطیل، حجم منشور مایل، مساحت جانبی هرم منتظم، حجم هرم ناقص و برش هرم را پیدا کن.
- برشهای استوانه، مخروط و کره، معادلهٔ کرهقطر مقطع محوری، شعاع برش مخروط و کره را پیدا کن و مرکز و شعاع را از معادلهٔ کره بخوان.
- منشور: مسئلههایی با قطر و زاویهارتفاع و یال جانبی منشور قائم را از روی یک قطر و یک زاویه پیدا کن، مساحت جانبی را حساب کن و جواب را با رادیکال بنویس.
- هرم: رأس روی کدام نقطهٔ قاعده میافتد؟از روی برابری یالهای جانبی یا زاویههای دووجهی، مشخص کن رأس هرم روی کدام نقطهٔ قاعده تصویر میشود؛ بعد ارتفاع و مساحت جانبی را پیدا کن.
- حجم جسمها: مسئلههاحجم یک قطعه را از بالا آمدن آب، شعاع یک کرهٔ ذوبشده و حجم جسمی که از دوران مثلث یا ذوزنقه ساخته میشود پیدا کن. π را در جواب نگه دار.
- محیط چندضلعیمحیط مثلث ABC و مستطیل DMPK را بهعنوان جمع طول همهٔ ضلعها پیدا کن.
- طول کمان، مساحت قطاع و قطعهٔ دایرهطول کمان n درجه، مساحت قطاع و قطعهٔ دایره را با l = πRn/180 و S = πR²n/360 پیدا کن.
هندسه او شکلونه
- هندسي شکلونه او تناظرپه نقطهلرونکې تخته مثلث او مربع جوړ کړئ، مثلثونه پیدا کړئ او د تناظر محور رسم کړئ.
- گوشه، دایره، مستطیل و تقارنگوشهها را بشمار، شکلی را که گوشه ندارد پیدا کن، مستطیل بکش، شکل را تا کن و آن را به بخشهای مساوی تقسیم کن.
- اجسام: مکعب، استوانه، کره…مکعب، مکعب مستطیل، استوانه، مخروط، کره او هرم وپېژنئ، سطحې او ضلعې وشمېرئ او د مکعب خلاص شوی شکل جوړ کړئ.
- مستقیم خط، نیم خط، قطعه خط او زاویهنیم خطونه پیدا کړئ، په نقطهلرونکې تخته موازي او عمود خطونه رسم کړئ او زاویې له یوه قایم کونج سره پرتله کړئ.
- مثلثونه او څلور ضلعي شکلونهمثلثونه د ضلعو او زاویو له مخې ډلبندي کړئ، د څلور ضلعي شکلونو کورنۍ وپېژنئ او د معین قطرونه رسم کړئ.
- څو ضلعي او د زاویو مجموعهمنظم څو ضلعي پیدا کړئ، د مثلث د زاویو مجموعه ومومئ او څو ضلعي په مثلثونو ووېشئ چې د زاویو مجموعه یې پیدا کړئ.
- د زاویه اندازه کول په نقالهزاویه په نقاله ولولئ او رسم یې کړئ. د یوې کرښې پر سر زاویې، متقابل په راس زاویې او د زاویې ناصف پیدا کړئ.
- دایره، شعاع، قطر او د π عددد دایرې قطر او شعاع اندازه کړئ. یوه فیته د دایرې شاوخوا تاو کړئ او وګورئ چې د دایرې محیط د قطر څو چنده دی.
- د پرکار او خطکش هندسي ترسیمونهد پرکار او خطکش په مرسته وتر او قوس وپېژنئ، عمودي ناصف او ناصف الزاویه ترسیم کړئ او مثلث د ضلعو له مخې جوړ کړئ.
- د دوو موازي کرښو او یوه قاطع خط زاویېدوه موازي کرښې او یو قاطع خط کش او وګرځوئ او وګورئ چې کومې زاویې تل سره مساوي پاتې کېږي، کومې متممې دي، او کله چې کرښې موازي نه وي څه کېږي. بیا د یوې موازي کرښې په مرسته وښیئ چې د مثلث د زاویو مجموعه ۱۸۰ درجې ده.
- د مثلث د ضلعو اړیکه، میانه، ارتفاع، ناصف الزاویه او عمودي ناصفپه درېیو لرګیو مثلث جوړ کړئ او وګورئ چې کوم درې اوږدوالي مثلث جوړوي او کوم یې نه جوړوي. بیا میانه، ارتفاع او عمودي ناصف په داسې مثلث وازمویئ چې شکل یې تاسو پخپله بدلوئ، او وګورئ چې درې میانې تل چېرته سره یو ځای کېږي.
- انطباق منونکی شکلونه او د مثلثونو د انطباق مننې حالتونهیو شکل انتقال کړئ، وڅرخوئ او چپه یې کړئ چې پر بل شکل پروت شي. بیا د دوو مثلثونو متناظر راسونه پیدا کړئ، د انطباق حالت وټاکئ، یو کرښه په کرښه ثبوت ولیکئ او په یوه نفي مثال وښایئ چې «ض ض ز» د انطباق حالت نه دی.
- د فیثاغورث قضیه او معکوس یېد یوه قایمالزاویه مثلث پر ضلعو مربعې جوړې کړئ او مساحتونه پرتله کړئ، په څلورو برابرو مثلثونو وګورئ چې د فیثاغورث قضیه ولې سمه ده، نامعلوم ضلع پیدا کړئ، د قضیې په معکوس سره معلوم کړئ چې مثلث قایمالزاویه دی که نه، او √۲ په پرکار سره پر محور وښیئ.
- په هندسه کې استدلال او ثبوتیو متساوي الساقین مثلث کش کړئ او وګورئ چې د قاعدې زاویې یې تل سره مساوي پاتې کېږي. بیا دا په دلیل ثابت کړئ، په یو نوي ثبوت کې ترې کار واخلئ او په یو د نفي مثال وښایئ چې یوه بله ادعا غلطه ده.
- د تالس قضیه او د مثلثونو ورته والید مثلث له یوې ضلعې سره موازي کرښه وخوځوئ او وګورئ چې پر نورو دوو ضلعو یې د جلا شویو برخو نسبت تل مساوي پاتې کېږي. بیا د قضیې معکوس، ورته مثلثونه او د ورته والي نسبت وازمویئ.
- هندسي محلټولې هغه نقطې پیدا کړئ چې له یوې نقطې، یوې قطعه کرښې، دوو نقطو یا د یوې زاویې له دوو ضلعو ټاکلی واټن لري او وګورئ چې کوم شکل جوړوي. بیا په پرکار هغه سیمه رنګ کړئ چې دوه شرطونه لري.
- د دایرې سره د مستقیمې کرښې حالتونه، مرکزي زاویه، محیطي زاویه او مماس کرښهیوه مستقیمه کرښه پر دایره پورته او ښکته کړئ او وګورئ چې کله دایره قطع کوي، کله ورسره مماس ده او کله ترې جلا ده. دوې دایرې یو بل ته ورسوئ، یوه مماس کرښه د دایرې شاوخوا وګرځوئ او وګورئ چې محیطي زاویه تل د مرکزي زاویې نیمایي ده.
- محیطي او محاطي دایره، په دایره کې مرسوم څلور ضلعي او د اوږدوالي اړیکېد یوه مثلث محیطي او محاطي دایره جوړه کړئ او وګورئ چې مرکز یې چېرته دی. بیا د دایرې پر سر د یوه مرسوم څلور ضلعي راسونه کش کړئ او دوه متقاطع وترونه وازمویئ: کومه اړیکه تل سمه پاتې کېږي؟
- د جسم منظرې او په فضا کې فیثاغورثد مکعبونو یو برج وګرځوئ، مخکنۍ، پورتنۍ او اړخیزه منظره یې پیدا او په جال کې یې رسم کړئ. بیا د مکعب مستطیل قطر په دوه ځله د فیثاغورث قضیه پیدا کړئ.
- بشپړوونکی: د قایم الزاویه مثلث قضیېپه هغه قایم الزاویه مثلث کې چې یوه زاویه یې °۳۰ وي، د هغې مقابله ضلعه د وتر نیمایي ده؛ او پر وتر ورغلې میانه هم د وتر نیمایي ده. دا دوې قضیې وګورئ، یوه یې ثابته کړئ او کار ترې واخلئ.
- اصلها، پارهخطها و قضیههاببین از دو نقطه فقط یک خط میگذرد و AB = AC + CB است، وسط یک پارهخط را پیدا کن و قضیه را از عکسش تشخیص بده.
- بشپړونکی: د مضلعو سره کاشي کاريد یوې منظمه مضلع کاپۍ د یوې نقطې شاوخوا کېږدئ او وګورئ کومې پرته له تشې او پرته له یو پر بل لوېدو ځاییږي، ولې منظم پنځه ضلعي تشه پرېږدي، او د دوو ډوله مضلعو سره کاشي کاري وکړئ.
- بشپړونکی: منظم څو مخیز او مقطعمنظم څو مخیز وګرځوئ، وجهې، راسونه او ضلعې یې وشمېرئ او د V − E + F = ۲ اړیکه پیدا کړئ. بیا یو مکعب په چاړه پرې کړئ او وګورئ چې مقطع کوم شکلونه کېدای شي.
- زاویهٔ خارجی، ضلعها و زاویهها، مثلثهای قائمالزاویهببین زاویهٔ خارجی برابر مجموع دو زاویهٔ داخلی دور از آن است، زاویهٔ بزرگتر روبهروی ضلع بلندتر است و حالتهای همنهشتی مثلثهای قائمالزاویه را به کار ببر.
- وتر، مکان هندسی و چهار مرحلهٔ رسمببین پارهخطی که مرکز را به وسط وتر وصل میکند بر وتر عمود است، فاصلهٔ مرکز تا وتر را پیدا کن و تعداد جوابهای یک مسئلهٔ مکان هندسی را بشمار.
- مقاطع مخروطی: برش یک مخروطیک مخروط را با صفحههای مختلف ببر و ببین دایره، بیضی، سهمی و هذلولی از کجا میآیند. بعد ببین نسبت فاصله از کانون به فاصله از خط هادی چه خمی میسازد.
- چندضلعی منتظم و دایرهٔ محاطی خارجی مثلثضلع و آپوتم یک چندضلعی منتظم را از شعاع دایرهٔ محیطی یا محاطی پیدا کن و شعاع دایرهٔ محاطی خارجی یک مثلث را حساب کن.
- په فضا کې کرښه او مستويد یو مکعب مستطیل په مرسته پیدا کړئ چې په فضا کې دوې کرښې سره څنګه موقعیت لري: موازي، متقاطع که متنافر. بیا کرښه او مستوي، پر مستوي عمود کرښه او د دوو متنافرو کرښو تر منځ زاویه وڅېړئ.
- اصلهای هندسهٔ فضایی و مقطعهااز سه نقطه یک صفحه بگذران، خط برخورد دو صفحه را پیدا کن، خطی را که با صفحه موازی است تشخیص بده و شکل مقطع یک مکعب را نام ببر.
- صفحههای موازی، تصویر و عمودهاموازی بودن دو صفحه را بررسی کن، پارهخطهای بین صفحههای موازی را مقایسه کن و طول یک تصویر موازی و فاصلهٔ یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کن.
- تقارن چندضلعیها و زاویههای داخلی و خارجیمحورهای تقارن چندضلعیهای منتظم را بشمار، زاویهٔ هر گوشهٔ آنها را پیدا کن و ببین چرا مجموع زاویههای خارجی همیشه ۳۶۰ درجه است.
- د دایرې قضیې او د مثلث د زاویې د ناصف قضیهثابته کړئ چې له یوه ټکي نه دوه مماسونه مساوي دي او زده کړئ چې د مثلث د زاویې ناصف مقابله ضلعه د نورو دوو ضلعو په نسبت ویشي.
- عمود و موازی از یک نقطه، و رسم شکل از روی دادههااز نقطهای بیرون خط، عمود و موازي رسم کن و با تحلیل مسئله، لوزی و مثلث متساویالساقین را با پرگار بساز.
- رسم زاویه و مثلث با پرگار و خطکشزاویهای برابر زاویهٔ دادهشده رسم کن. مثلثی بساز از دو ضلع و زاویهٔ بین آنها، از یک ضلع و دو زاویهٔ کنار آن، و مثلث قائمالزاویهای از یک ضلع قائمه و وتر.
- روش مکان هندسی در رسم: نقطه، دایره، مثلثنقطهٔ مطلوب را به صورت برخورد دو مکان هندسی پیدا کن. سه مسئله از کتاب اوکراین: نقطهای روی یک خط به فاصلهٔ معین از خط دیگر، دایرهٔ مماس بر یک خط در نقطهای معین، و مثلث با یک ضلع و شعاع دایرهٔ محیطی.
- اثبات به برهان خلفاثبات به روش برهان خلف را یاد بگیر: فرض کن حکم نادرست است، به تناقض برس و نتیجه بگیر.
- قضیههای سوا، منلائوس، بطلمیوس و خط اویلرچهار قضیهٔ تکمیلی: چه وقت سه خط از رأسهای مثلث به یک نقطه میرسند، چه وقت سه نقطه روی یک خطاند، حاصلضرب قطرهای چهارضلعی محاطی و خط اویلر.
- نیمخط، پارهخط و قطر چندضلعینامگذاری نقطهها با حرف، نیمخط و پارهخط، کشیدن پارهخط با اندازهٔ دادهشده و شمردن قطرهای چندضلعی با «حل مسئلهٔ سادهتر».
- تقارن و تا کردن کاغذشمردن شکلهای متقارن با کمک خط تقارن، کشیدن قرینه و حدس زدن شکل بعد از تا کردن و بریدن کاغذ.
- حل مسئله در هندسه: فرض و حکم و طرحفرض و حکم را از هم جدا کن، قبل از نوشتن اثبات طرح بریز، با عمود و فیثاغورس کوتاهترین مسیر را پیدا کن و کاربرد دایره را در مسئلهها ببین.
- رابطههای طولی در مثلث قائمالزاویه و ویژگیهای تناسبارتفاع وارد بر وتر مثلث قائمالزاویه را بکش و ببین AH² = BH×HC است؛ بعد طول یک ضلع را با این رابطه پیدا کن، ویژگی جمع در تناسب را به کار ببر و رابطهٔ فیثاغورس را از همینجا بساز.
- دایره و قرصدایره را از قرص تشخیص بده، مرکز و شعاعها را پیدا کن و نقطههایی را که روی دایرهاند علامت بزن.
- عمود و مایل، زاویهٔ خط و صفحه، زاویهٔ دووجهیمایل را از عمود و تصویرش پیدا کن، زاویهٔ بین خط و صفحه و زاویهٔ دووجهی را با زاویهٔ خطیاش اندازه بگیر و نشان بده دو صفحه بر هم عمودند.
- متوازیالاضلاع، مستطیل، لوزی و مربععنصرهای چهارضلعی، ویژگیها و شرطهای متوازیالاضلاع و قطرهای مستطیل و لوزی را یاد بگیر.
- ذوزنقه، پارهخط میانی، چهارضلعی محیطی و مساحت ذوزنقهویژگیهای ذوزنقهٔ متساویالساقین، پارهخط میانی، شرط وجود دایرهٔ محاطی در چهارضلعی و مساحت ذوزنقه را یاد بگیر.
- حالت دوم و سوم تشابه مثلثهامثلثهای متشابه را با دو ضلع و زاویهٔ بین آنها یا با سه ضلع پیدا کن، ضلع مجهول را حساب کن و در دام زاویهای که بین ضلعها نیست نیفت.
- پارهخط، طول آن و خطپارهخطها را با گذاشتن یکی روی دیگری مقایسه کن، طول AB را از دو قسمت پیدا کن، فاصلهٔ نقطهها را اندازه بگیر و ببین از دو نقطه چند خط میگذرد.
- چندضلعی، شکلهای همنهشت، مساحت، آر و هکتارچندضلعی را با رأسهایش نامگذاری کن، با گذاشتن یک شکل روی شکل دیگر شکل همنهشت را پیدا کن، فرق شکلهای همنهشت با شکلهای هممساحت را بفهم و مساحت زمین را به هکتار تبدیل کن.
- استوانه و مخروط: قاعدهها و گستردهقاعدههای استوانه و مخروط را پیدا کن و مساحت جانبی استوانه را از گستردهاش حساب کن.
- نقطه، خط راست، خط منحنی، نیمخط، پارهخط و خط شکستهدر تصویر نقطه، خط راست و خط منحنی را پیدا کن. قسمتهایی را که نقطهها روی یک خط میسازند نام ببر و طول یک خط شکسته را حساب کن.
- خطهای موازی که صفحه را قطع میکنند، و تصویر موازیطول پارهخطها را بین خطهای موازی که صفحه را قطع میکنند پیدا کن، و نسبت پارهخطها را در تصویر موازی.
- مرور هندسهٔ فضایی پایهٔ دهمگام درست بعدی را در اثبات دربارهٔ خطهای متنافر انتخاب کن، بعد مسئلههایی دربارهٔ زاویهٔ بین دو خط، تصویر موازی و عمود بر صفحه حل کن.
- خودت را بسنج: چندوجهیها، جسمهای دورانی و حجمآزمونهای چهارگزینهای دربارهٔ مساحت جانبی منشور، استوانه و مخروط و حجم کره.
- چندوجهیها: وجه، یال، رأسقاعدهها، وجههای جانبی و یالهای هرم، منشور و مکعبمستطیل را پیدا کن و وجهها و یالهایشان را بشمار.
- مساحت تصویر قائم یک چندضلعیبا قضیهٔ مساحت تصویر، S' = S · cos α، مساحت تصویر یا مساحت خود چندضلعی را پیدا کن.
- برخورد خط و صفحه، برخورد دو صفحهبا اصلهای هندسهٔ فضایی نقطهٔ برخورد یک خط با صفحهٔ قاعدهٔ مکعب و خط برخورد دو صفحه از یک چهاروجهی را رسم کن.
- نقطهای که از رأسها یا ضلعهای چندضلعی به یک فاصله استاگر نقطهٔ M از رأسهای مثلث به یک فاصله باشد، تصویرش مرکز دایرهٔ محیطی است؛ اگر از ضلعها به یک فاصله باشد، مرکز دایرهٔ محاطی. فاصلهٔ M تا صفحه را پیدا کن.
- زاویه، زاویهٔ قائمه، مستطیل و مربعزاویه را با حرفها نام ببر، با الگو زاویهٔ قائمه را پیدا کن، مستطیل را از چهارضلعیهای دیگر و مربع را از مستطیلهای دیگر تشخیص بده.
- چندضلعیهای منتظم: زاویه، تعداد ضلعها، رسماز روی زاویهٔ چندضلعی منتظم تعداد ضلعهایش را پیدا کن، بررسی کن چنین چندضلعیای هست یا نه، و با وترهای برابر شعاع ششضلعی و چندضلعی ۲n ضلعی بساز.
ځای، لوری او تناظر
- ځای، لوری او څرخېدلکیڼ او ښي لوری، پورته او لاندې او «ترمنځ» پیدا کړئ. بیا غشی څلورمه برخه، نیمه او درې څلورمې برخې څرخ کړئ.
- مختصات او انتقالټکي د هغوی د مختصاتو له مخې د مختصاتو په مستوي کېږدئ، د یوه شکل ورک شوی راس پیدا کړئ او شکلونه انتقال کړئ.
- انعکاس، دوران او مرکزي تناظرد مختصاتو په څلورو ناحیو کې ټکي کېږدئ، شکلونه د یوه محور په نسبت انعکاس کړئ، د یوه ټکي شاوخوا یې دوران ورکړئ او د تناظر مرکز پیدا کړئ.
- هندسي بدلونونه او تجانسوګورئ کوم بدلونونه اوږدوالي، زاویې او د شکل لوری ساتي، یو شکل له یوه مرکز څخه په ۲ او ۱۲ ضریب تجانس کړئ، د تجانس مرکز پیدا کړئ او وګورئ چې مساحت څو چنده کېږي.
- قرینه و دورانقرینهٔ شکل را نسبت به خط عمودی، خط مایل و محور طولها بکش، شکل را از روی نیمهاش کامل کن، شکل را حول نقطههای مختلف دوران بده و مختصات قرینه را پیدا کن.
- ترکیب تبدیلها، تقارن و کاربرد قرینهدو انعکاس پشت سر هم، بازتاب لغزشی، محورهای تقارن یک چندضلعی و کوتاهترین مسیر با کمک قرینه را بشناس.
الګوګانې او ترادفونه
- تکراري بڼې او عددي بڼېهغه شکلونه او عددونه چې د یوه قاعدې سره یو د بل پسې راځي. بڼه پیدا کړئ، دوام یې ورکړئ او سمه یې کړئ.
- د ننوتو او وتو ماشین او د ترادف قاعدهیو عدد ماشین ته ننوځي او بل عدد ترې وځي. د ماشین کار ومومئ، بیا د عددي ترادفونو قاعده.
- د بڼې عمومي حد او هندسي ترادفد اورلګیتونو له بڼې جدول جوړ کړئ، عمومي حد پیدا کړئ او شلم شکل پرته له رسمولو وشمېرئ. بیا هغه ترادفونه وګورئ چې هر ځل ضربېږي.
- ترادف، nم حد او بیرتهراګرځېدونکې اړیکهپه aₙ نښه حدونه حساب کړئ، ترادف د بیرتهراګرځېدونکې اړیکې له مخې جوړ کړئ، متناوب ترادف وپېژنئ او مثلثي عددونه وشمېرئ.
- سیګما او د سلسلو مجموعهد Σ نښه ولولئ، د حسابي او هندسي ترادف د حدونو مجموعه حساب کړئ او وګورئ چې ولې لایتناهي سلسله ځینې وخت عدد کېږي.
- ځانګړې مجموعې، توپیر او ماډل جوړونهد مربعونو مجموعه جوړه کړئ، یوه مجموعه د توپیرونو په طریقه جمع کړئ، د دویمې درجې ترادف nم حد ومومئ او یوه واقعي پوښتنه په حسابي سلسله حل کړئ.
الجبر
- د عملیو ترتیب، د عدد پر ځای توری او فورمولافادې ګام په ګام او په سم ترتیب حساب کړئ. بیا د عدد پر ځای یو توری کېږدئ او له فورمول سره کار وکړئ.
- الجبري افادې، مشابه حدونه او عددي قیمتد الجبري کاشیو په مرسته افادې جوړې کړئ، مشابه حدونه یو ځای کړئ او ساده یې کړئ، بیا د x پر ځای عدد کېږدئ او د افادې عددي قیمت پیدا کړئ.
- معادله او د لومړۍ درجې معادلې حل په تلهمعادله د یوې برابرې تلې په څېر ده. عددونه وازمویئ، بیا هغه معادلې حل کړئ چې x په یوه یا دواړو خواوو کې لري، کسر یا قوس لري؛ هر څه چې له یوې پلې سره کوئ، له بلې سره یې هم وکړئ.
- د متني مسئلو لپاره د معادله جوړولمجهول په یوه توري وښایئ، مسئله په یوه معادله بدله کړئ، حل یې کړئ او ځواب په خپله مسئله کې وازمویئ.
- په قوس کې ضرب او په فکټورونو تجزیهقوس د یوه مستطیل په څېر وګورئ: د ټوټو په مرسته د مستطیل مساحت رنګ کړئ او قوس رفع کړئ؛ بیا سرچپه کار وکړئ او د مستطیل ضلعې پیدا کړئ چې افاده تجزیه کړئ.
- د دوه حده افادو ضرب او مطابقتونهدوه قوسونه د ټوټو د یوه مستطیل په څېر او په جدول کې ضرب کړئ، وګورئ چې ولې د دوو حدونو د مجموعې مربع دوه منځنۍ پټې لري او مطابقت له معادلې څخه توپیر کړئ.
- نامساوات، انتروالونه او د نامساواتو حلد یوه نامساوات حلونه د عددونو پر محور وښیئ: ډکه یا خالي دایره، قطعه خط یا نیم خط. بیا خطي نامساوات حل کړئ او وګورئ چې ولې په منفي عدد ضربول د نامساوات لوری اړوي.
- چندجملهایها: شکل استاندارد، تفریق و ضربچندجملهای را به شکل استاندارد بنویس، با پرانتز تفریق کن، سه جمله را در دو جمله روی شبکه ضرب کن و حاصلضرب را به توان برسان.
- د دوه مجهوله خطي معادلو سیستمهغه ټکی پیدا کړئ چې په دواړو معادلو کې صدق کوي: د دوو کرښو د تقاطع له ځای یې ولولئ، دویمه کرښه رسم کړئ، یو مجهول افنا کړئ، له موازي کرښو سره آشنا شئ او دقیق حل پیدا کړئ.
- د دویمې درجې افادو تجزیه او نور مطابقتونهد دویمې درجې افادې ټوټې د مستطیل په شکل کېږدئ چې دوه قوسونه یې پیدا شي، د صفر جوړو په مرسته منفي نښې وګورئ، لومړی ګډ فکټور بهر کړئ او د مکعبونو له مجموعې سره بلد شئ.
- معادلههای دومجهولی و دستگاههازوجهایی را که در یک معادلهٔ دومجهولی صدق میکنند پیدا کن، نمودارش را بکش، از یک مسئله دستگاه بساز و جوابش را پیدا کن.
- الجبري کسري افادېد یوې کسري افادې صورت او مخرج په فکټورونو تجزیه کړئ او مساوي فکټورونه ساده کړئ. لومړی وګورئ چې x کوم قیمتونه نه شي اخیستلی؛ بیا کسري افادې د ګډ مخرج سره جمع او تفریق کړئ او د ساده کولو له لارې یې تقسیم کړئ.
- تجزیه به روش دستهبندی و اتحاد مکعبچندجملهای چهار جملهای را با دستهبندی تجزیه کن، مجموع و تفاضل مکعبها را تجزیه کن و وقتی چند روش جور است، بدان از کجا شروع کنی.
- دویمه درجه معادله: تجزیه، د مربع تکمیل او د محمد بن موسی فورمولدویمه درجه معادلې د تجزیې په مرسته حل کړئ، د محمد بن موسی خوارزمي په څېر د ټوټو په مرسته مربع بشپړ کړئ او د دیسکریمینانت په مرسته وګورئ چې معادله څو حلونه لري.
- پولینومونه او د هغوی وېشد پولینوم درجه او معیاري ترتیب، بیا د پولینومونو وېش د ضرب د جدول په سرچپه ډکولو، د پاتې سره او د هغو توانونو سره چې نشته.
- د علامو ټاکل او کسري نامساواتومومئ چې یوه افاده چېرې مثبته او چېرې منفي ده: صفرونه یې په نښه کړئ، د محور لاندې د علامو جدول ډک کړئ او د یوه نامساوات لکه x − ۱x + ۲ ≥ ۰ حل ولولئ.
- دوه متحوله خطي نامساوات او د حل ناحیهسرحدي کرښه رسم کړئ، ډکه یا ټکيټکي یې کړئ، یو ټکی وازمویئ او هغه اړخ توروئ چې صدق نه کوي؛ بیا د دوو یا درېیو نامساواتو د حل ناحیه پیدا کړئ.
- نابرابریهای عددی و ویژگیهایشانعددها را با علامت تفاضل a − b مقایسه کن، نابرابری ثابت کن، نابرابریها را طرف به طرف جمع کن و مقدار یک عبارت را تخمین بزن.
- دستگاه نامعادلههای خطی یکمجهولیهر نامعادلهٔ دستگاه را حل کن، جوابها را روی خط نشان بده و بخش مشترکشان را پیدا کن: یک پارهخط، یک عدد یا مجموعهٔ تهی.
- دستگاه معادلههای دومجهولیجواب دستگاهی را که یک معادلهٔ درجهٔ دوم دارد بهصورت نقطههای مشترک نمودارها پیدا کن، آن را با روش جانشینی حل کن و از یک مسئله دستگاه بساز.
- دستگاه معادلههای خطی: روش جایگذاریبهجای یک مجهول، عبارت برابرش را در معادلهٔ دیگر بگذار، پرانتز را فراموش نکن، اول یک مجهول را تنها کن و جواب را روی نمودار و در هر دو معادله بررسی کن.
- ناطقې او جذري معادلېکسري معادلې او هغه معادلې چې جذر لري حل کړئ او اضافي جذرونه په آزموینې سره وغورځوئ.
- د جذرونو مجموعه او ضرب، د دویمې درجې ته د اړولو وړ معادلې او د کرښې او پارابولا تقاطعله ضریبونو د جذرونو مجموعه او ضرب ولولئ، د x څلورم توان معادله د متحول په بدلولو حل کړئ او د کرښې او پارابولا تقاطع ومومئ.
- د پاتې مانده قضیه، د فکټور قضیه او د پولینوم جذرونهپاتې مانده پرته له وېشلو پیدا کړئ، فکټور د فکټور په قضیه وپېژنئ، د دریمې درجې معادلې جذرونه ومومئ او ضریبونه له جذرونو ولولئ.
- دوهم درجه نامساوي او پارامتردوهم درجه نامساوي د فکټورونو په علامه حل کړئ او وګورئ چې په معادله کې یو بل توری څنګه د جذرونو پوښتنه په نامساوي بدلوي.
- د فورمول موضوع بدلولپه فورمول کې یو توری یوازې کړئ: د تلې هماغه کارونه د توریو سره وکړئ.
- د بینوم قضیه د کسري توان لپاره او اټکلد بینوم قضیې له څو لومړیو جملو څخه کار واخلئ او د ۱ سره نږدې عددونو جذر او معکوس اټکل کړئ.
- معادله: قاعدهٔ پیدا کردن عدد مجهولاز روی یک مسئله معادله بساز، با قاعدهٔ پیدا کردن عدد مجهول حلش کن و با جاگذاری امتحان کن.
- محاسبات عبارتهای گویا: تفریق، مخرجهای قرینه، توان و اتحادعبارتهای گویا را با تغییر علامت تفریق کن، عامل لازم برای مخرج مشترک را پیدا کن، با مخرجهای قرینه کار کن، کسر را به توان برسان و اتحاد ثابت کن.
- معادلههای همارز، معادلههای گویا و مسئلههای کلامیبفهم معادلههای همارز و ریشهٔ اضافی چیست، معادلهٔ گویا را با امتحان حل کن و برای مسئلههای حرکت و کار معادله بساز.
- معادلههای درجهٔ دوم ناقص و سهجملهای درجهٔ دومسه نوع معادلهٔ درجهٔ دوم ناقص را حل کن، ریشههای یک سهجملهای درجهٔ دوم را پیدا کن و آن را با ضریب بزرگترین توان تجزیه کن.
- فرمول، معادله و ریشهٔ معادلهاز فرمول مسافت استفاده کن، عدد مجهول را پیدا کن، ریشه را با جاگذاری امتحان کن، جملهها را با علامت مخالف به طرف دیگر ببر و بفهم ax = b کِی جواب ندارد.
- دستگاه معادلهها، مدل مسئلههای کلامیمسئلههای حرکت، کار، رقمها و مستطیل را به معادله ترجمه کن: مجهولها را x و y بنام، دستگاه را بنویس، حل کن و ببین جواب با داستان جور است یا نه.
- عبارت با حرفبهجای خانهٔ خالی یک حرف میگذاریم و عبارتی با حرف میسازیم. مقدار حرف را جای آن بگذار و مقدار عبارت را حساب کن.
- نامعادله با مجهول: اثر هر عدد بر نتیجهنامعادلههای دارای مجهول را به دو روش حل کن: با آزمایش عددها و با تبدیل به معادله. جواب را با سهنقطه بنویس.
مختصات او د مستقیمې کرښې معادله
- د مستقیمې کرښې میل، د y محور سره تقاطع او د مستقیمې کرښې معادلهد کرښې میل د زینې په مثلث اندازه کړئ، د y = mx + h په معادله کې m او h په لغزنده بدل کړئ، کرښه له جدول څخه رسم کړئ او د هغې کرښې معادله پیدا کړئ چې له دوو ټکو تېرېږي.
- د مستقیمې کرښې د معادلې عمومي شکل، موازي او عمود کرښې، واټن او منځنی ټکید کرښې د معادلې عمومي شکل د y = mx + h په شکل ولیکئ، موازي او عمود کرښې رسم کړئ، د دوو ټکو واټن د فیثاغورث په مرسته او منځنی ټکی د اوسط په مرسته پیدا کړئ.
- د کرښې ټوټې ویشل په یو نسبت او له کرښې نه د ټکي واټنهغه ټکی پیدا کړئ چې یوه کرښه ټوټه په ورکړل شوي نسبت ویشي، او له مستقیمې کرښې نه د ټکي واټن د فورمول په مرسته ومومئ.
- د مثلث مساحت د رأسونو له مختصاتو او هندسي مسایلد مثلث مساحت د درېو رأسونو له مختصاتو پیدا کړئ او هندسي مسایل د مختصاتو په مرسته حل کړئ.
- دایره: معادله، کرښه او دایره، مماسد دایرې معادله جوړه او ولولئ، د یوې کرښې تقاطع له دایرې سره ومومئ او مماس او د مماس اوږدوالی پیدا کړئ.
- مخروطي مقاطع او پارابولاپارابولا د هغو ټکو هندسي محل په توګه وپېژنئ چې له محراق او هادي کرښې نه یې واټن مساوي وي، او معادله یې د مبدأ په رأس او په اختیاري رأس سره ولولئ.
- بیضوي، هایپربولا او کرښه د هغوی په اړهد بیضوي او هایپربولا محراقونه له معادلې پیدا کړئ، بیضوي له اختیاري مرکز سره جوړ کړئ، د هایپربولا مجانب رسم کړئ او د کرښې نسبي حالت له پارابولا سره وڅېړئ.
- پارامتري معادلې او قطبي مختصاتمنحني د پارامتري معادلو له مخې ټکي په ټکي رسم کړئ، پارامتر لرې کړئ، یوه خوځښت ته نمونه جوړه کړئ او قطبي مختصات په قایمو مختصاتو واړوئ.
- شیب خط و بردارهای موازیشیب m را از زاویهٔ خط با جهت مثبت محور x پیدا کن (m = tan α، حتی برای زاویهٔ باز)، خطهای عمود بر هم را بساز و برداری موازی با یک بردار دادهشده رسم کن.
- خط و محورها: مثلث، محیط و مساحتنقطههای برخورد خط ax + by = c با محورها، محیط و مساحت مثلثی که جدا میکند و نقطهٔ برخورد دو خط را پیدا کن.
- مختصات نقطه در فضاتشخیص بده نقطه کجاست، بعد فاصلهٔ دو نقطه، وسط پارهخط و نقطهٔ قرینه را از روی مختصات پیدا کن.
تابع او ګراف
- رابطه، مرتبه جوړه او تابعرابطه د غشي په ډیاګرام وښایئ، مرتبې جوړې کارتیزیني مستوي ته یوسئ، وټاکئ چې کومه رابطه تابع ده او د عمودي کرښې ازموینه پر یو ګراف وازمویئ.
- واقعي ګرافونه، چټکتیا او ودهله د واټن ـ وخت ګراف نه ولولئ چې کله درېدلي یو او په کومه چټکتیا تللي یو، د یوې پلي تګ ګراف رسم کړئ، د بوتل ډکېدل له ګراف سره سمون کړئ او دوه چنده کېدونکې وده له ثابتې ودې سره پرتله کړئ.
- د دویمه درجه تابع ګراف (پارابولا)د y = x۲ − ۲x − ۳ جدول له منفي xونو سره ډک او رسم کړئ، وګورئ چې د پارابولا لاندې برخه ولې ګردې ده، جذرونه، د y محور سره تقاطع او د پارابولا راس له ګراف نه ولولئ او وګورئ چې په y = ax۲ کې a څه کوي.
- د f(x) علامه، د تعریف ناحیه او د قیمتونو ناحیهد تابع قیمت له قاعدې نه حساب کړئ، د یوې وتلې ورودي پیدا کړئ، د یو کسر او یوه جذر د تعریف ناحیه ولیکئ او د قیمتونو ناحیه له ګراف نه ولولئ.
- د مطلقه قیمت تابع او د صحیح جز تابعمطلقه قیمت په جدول او ګراف کې وګورئ، د مطلقه قیمت معادله د ګراف او کرښې له دوو تقاطعګانو سره حل کړئ، د صحیح جز زینې ولولئ او د موټر کرایه چې زینهزینه پورته ځي رسم کړئ.
- متزایده او متناقصه تابعونه، جفته او طاقه تابعونههغه انتروالونه پیدا کړئ چې ګراف پکې پورته یا ښکته ځي، ټکي د y محور او مبدأ په اړه قرینه کړئ او د f(−x) په مرسته وازمویئ چې تابع جفته ده، طاقه ده که هېڅ یو.
- د تابعونو جمع، ترکیب او معکوسدوه تابعګانې سره جمع کړئ، د مرکبه تابع په ترکیب کې ترتیب مراعات کړئ، د یوې ماشین معکوس د ګامونو په ګرځولو پیدا کړئ، د معکوس ګراف د y = x په اړه په قرینه کولو جوړ کړئ او د افقي کرښې په مرسته وازمویئ کومه تابع معکوس لري.
- د ګراف انتقال، انعکاس او کششپه لغزندو د y = (x − h)۲ + k ګراف انتقال کړئ، د پارابولا راس له ګراف نه ولولئ، وګورئ چې f(۲x) ټکی چېرته وړي او څو تبدیلۍ سره یو ځای پر یوه پارابولا پلي کړئ.
- دریمه درجه تابع، د پولینوم رسم او مجانبد یوې دریمې درجې تابع جدول ډک او رسم کړئ، د یو پولینوم ګراف د جذرونو او د y له محور سره د تقاطع په مرسته جوړ کړئ او د یوې ناطقې تابع عمودي او افقي مجانبونه په کرښه وښایاست.
- تابع خطی: فرمول، جدول، نمودارتابع را با فرمول، جدول و نمودار نشان بده، خط را از روی a و b رسم کن، ریشهٔ تابع را پیدا کن و ببین تابع کجا مثبت است.
- تابع درجهٔ دوم و ویژگیهای تابعرأس سهمی را با فرمول پیدا کن، ویژگیهای تابع را از روی نمودار بخوان، نامعادلهٔ درجهٔ دوم را با نمودار حل کن و نمودار y = |f(x)| و y = f(|x|) را رسم کن.
- عدد e، اکسپوننشیل ودې او کمښتوګورئ چې ولې (۱ + ۱n)n e ته نږدې کېږي، د y = a×ex ګراف د ورکړل شوي ګراف پر سر کېږدئ او د ودې او کمښت ماډل جوړ کړئ.
- تابع نمایی با پایهٔ دلخواه و معادلهٔ نماییجدول y = ۲x را پر کن، ببین پایهٔ بزرگتر از ۱ منحنی صعودی و پایهٔ بین ۰ و ۱ منحنی نزولی میسازد و معادلهٔ نمایی را با همپایه کردن حل کن.
- لوګاریتم او د لوګاریتم جدولوګورئ چې لوګاریتم هغه طاقت دی چې قاعده باید ورته ورسول شي، د لوګاریتم ګراف د اکسپوننشیل ګراف له هینداره جوړ کړئ او د کرکټرستیک او مانتیس په مرسته له لوګاریتم جدول او انتي لوګاریتم نه کار واخلئ.
- د لوګاریتم قوانین او معادلېد لوګاریتم د ضرب او طاقت قانون وګورئ، یوه لوګاریتمي معادله حل کړئ او د لوګاریتم په مرسته ډېټا په مستقیمه کرښه واړوئ.
- توابع چندضابطهای و علامت، ویژگیهای قدر مطلقمقدار تابع چندضابطهای را بخوان، نمودار تابع علامت را رسم کن، نمودار y = |x − ۱| + ۲ را با جابهجایی V بساز و نامعادلههای قدر مطلقی را روی نمودار بخوان.
- بیشترین و کمترین مقدار، تابعهای توانیبیشترین و کمترین مقدار تابع را روی یک مجموعه پیدا کن، نمودار y = xn را برای n زوج و فرد مقایسه کن و با نمودار y = x−n آشنا شو.
- معادله و نامعادلهٔ نمایی: روشهایک توان مشترک را فاکتور بگیر، با تغییر متغیر t = 2^x معادله را ساده کن، ریشه را از روی نمودار بخوان و بفهم نامعادله چه وقت جهتش را حفظ میکند.
- تابعهای y = kx و y = √x و نمودارشاننمودار هذلولی را از روی جدول رسم کن، ببین شاخههایش در کدام ناحیهها هستند، k را از روی یک نقطه پیدا کن و نمودار y = √x را رسم کن.
- اتحاد لگاریتمی، تغییر مبنا و تابع لگاریتمیاتحاد اصلی لگاریتم را به کار ببر، مبنا را عوض کن و لگاریتمهایی با مبنای بین ۰ و ۱ را مقایسه کن.
- معادله و نامعادلهٔ لگاریتمیمعادلههایی با مجموع لگاریتمها را حل کن، ریشهها را با دامنه بسنج، با t = log x متغیر را عوض کن، مبنای مجهول را پیدا کن و نامعادلههایی با مبنای بین ۰ و ۱ را حل کن.
- تابع y = x² و نمودار آنبرای y = x² جدول مقدارها بساز، نقطهها را رسم کن، ویژگیهای نمودار را بشناس و معادلههای x² = 4 و x² = x + 2 را با نمودار حل کن.
- ویژگیهای تابع از روی نموداراز نمودار تابعی روی [−۴, ۷]، ریشهها، بازههایی که علامت تابع ثابت است، بازهٔ صعودی و بیشترین مقدار را پیدا کن.
- نمودار y = ⁿ√x و توانهای گویانمودار ³√x و ⁴√x و √x را مقایسه کن، دامنهٔ ریشهٔ nام و توان گویا را پیدا کن و عددها را با کمک صعودی بودن مقایسه کن.
وکتورونه
- جهت لرونکې قطعه خط، وکتور او د انتقال وکتوروکتور د پیل له ټکي څخه د پای تر ټکي پورې رسم کړئ او مختصات یې ولولئ، مساوي او معکوس وکتورونه پیدا کړئ او یو شکل د یوه وکتور په واسطه انتقال کړئ.
- د وکتورونو جمع، په وکتور کې د عدد ضرب او واحد وکتورونهوکتورونه د مثلث او متوازي الاضلاع په طریقه جمع کړئ، تفریق یې کړئ، په عدد یې اوږد یا سرچپه کړئ او هر وکتور په i او j ولیکئ.
- اضافي: وکتور په حرکت او ځای بدلون کېد یوه روبوټ حرکتونه جمع کړئ، په مخالف وکتور یې بېرته راوګرځوئ، او وګورئ چې د سیند جریان د لامبو وهونکي لاره څنګه بدلوي.
- په فضا کې وکتور: اوږدوالی، واټن او د جهت کوساینونهپه فضا کې وکتور د یو مکعب مستطیل قطر دی. د وکتور اوږدوالی، د دوو ټکو واټن، منځنی ټکی او د جهت کوساینونه د دوی له مختصاتو پیدا کړئ.
- سکالري او وکتوري ضربد دوو وکتورونو سکالري ضرب یو عدد دی او د دوی تر منځ زاویه ښیي؛ وکتوري ضرب یو وکتور دی چې پر دواړو عمود وي. دواړه محاسبه کړئ او وکاروئ.
- مساحت و حجم با ضرب خارجیاندازهٔ ضرب خارجی دو بردار مساحت متوازیالاضلاع آنهاست. با سه بردار میتوان حجم متوازیالسطوح را با یک دترمینان به دست آورد.
- په فضا کې د کرښې او مستوي معادلهپه فضا کې کرښه د یوه ټکي او یوه د جهت وکتور په مرسته او مستوي د یوه ټکي او یوه نورمال وکتور په مرسته ټاکل کېږي. معادلې یې ولیکئ او ټکي وازمویئ.
- په فضا کې زاویې، تقاطع او واټند کرښې او مستوي تر منځ زاویه، د کرښې او مستوي تقاطع، د یوه ټکي واټن تر مستوي او د دوو مستوي ګانو زاویه د سکالري ضرب او معادلو په مرسته پیدا کړئ.
- په ثبوت او مسئلو حل کې وکتورونهد وزن لرونکو ټکو د ثقل مرکز، په وکتور هندسي ثبوت (د مثلث د دوو ضلعو د منځنیو ټکو نښلوونکې ټوټه) او د سرعت او متوازي الاضلاع مسئلې د وکتور په رسمولو حل کړئ.
- بردار در صفحه: مختصات، اندازه، ضرب داخلیمختصات و اندازهٔ بردار را پیدا کن، ضرب داخلی را با مختصات و با زاویه حساب کن، شرط عمود بودن دو بردار را بنویس و زاویهٔ بین دو بردار را پیدا کن.
- ضرب داخلی بردارها: اندازه، زاویه و مختصاتضرب داخلی را از اندازهها و زاویه به دست بیاور، مربع مجموع بردارها را حساب کن، کسینوس زاویهٔ دو بردار را پیدا کن و زاویهٔ یک مثلث را از رأسهایش بساز.
- بردار در فضا: جمع، ضرب در عدد، همخطی و همصفحهایبردارها را با قاعدهٔ متوازیالسطوح و با مختصات جمع کن، بردار را در عدد ضرب کن و بفهم چه وقت سه بردار در یک صفحهاند.
- بردار روی منشور و مکعب مستطیل: مساوی، مجموع، همخطروی منشور بردارهای مساوی، همجهت و قرینه را از هم تشخیص بده، بردارها را جمع کن، یک بردار را با بردارهای دیگر بنویس و بردارهای همخط را از روی مختصات پیدا کن.
مثلثات
- په قایمالزاویه مثلث کې مثلثاتي نسبتونهیو قایمالزاویه مثلث چې ۳۵ درجې زاویه لري لوی او کوچنی کړئ او وګورئ چې ضلعې بدلېږي خو نسبت یې نه بدلېږي. بیا د هرې زاویې لپاره مقابله ضلع، مجاوره ضلع او وتر پیدا کړئ او د مثلثاتي جدول په مرسته، له ماشین حساب پرته، یوه ضلع او یوه زاویه حساب کړئ.
- د ځانګړو زاویو مثلثاتي نسبتونهد یوه متساوي الاضلاع مثلث او یوې مربع په نیمایي کولو سره د ۳۰، ۴۵ او ۶۰ درجو زاویو د ساین، کوساین او تانجنت دقیق قیمتونه پیدا کړئ، تانجنت د کرښې له میل سره وتړئ او sin x = ۱۲ معادله حل کړئ.
- لوی زاویې، مثلثاتي دایره او راډیانیو ټکی په مثلثاتي دایره باندې له ۹۰ درجو لویو زاویو سره، حتا منفي زاویو سره وڅرخوئ، ساین او کوساین د هغه له ځای ولولئ، زاویه په راډیان وپیمئ او دقیق قیمتونه لکه sin۷π۶ پیدا کړئ.
- اړوندې زاویې، قوس او قطاعیو ټکی په مثلثاتي دایره باندې انعکاس کړئ چې د θ او ۱۸۰ − θ زاویو د ساین او کوساین اړیکه وګورئ، د مرجع زاویې په مرسته cos ۱۲۰° پیدا کړئ او د قوس اوږدوالی او د قطاع مساحت هغه وخت حساب کړئ چې زاویه په راډیان وي.
- د ساین او کوساین ګرافونه، دوره او د نوسان پراخوالید ساین او کوساین ګرافونه ولولئ: کوساین چېرته صفر کېږي، دوره او تر ټولو لوی قیمت په y = sin ۲x او y = ۲sin x + ۱ کې څنګه بدلېږي، او سیکانت او معکوس ساین له همدې منحنیاتو ولولئ.
- مثلثاتي مطابقتونه او ثبوتد sin۲θ + cos۲θ = ۱ او tanθ = sinθcosθ په مرسته یو نسبت له بل نسبت څخه پیدا کړئ، د یو «ثبوت» غلطه کرښه ومومئ او پوه شئ چې د یوې مطابقت ثبوت څه معنا لري.
- مرکبې زاویې، دوه چنده او درې چنده، مجموعه او د ضرب حاصلد زاویو د مجموعې فورمولونو او دقیقو قیمتونو په مرسته sin ۷۵° پیدا کړئ، له دوه چندې او درې چندې زاویې سره کار وکړئ، د ساینونو مجموعه د ضرب حاصل ته واړوئ او √۳sin x + cos x د یو ساین په بڼه ولیکئ.
- مثلثاتي دویمه درجه معادلې او سیستمونهمثلثاتي معادلې د ۰ څخه تر ۳۶۰ درجو د ټولو زاویو په موندلو سره حل کړئ: tan x = −۱، په ساین یا کوساین کې دویمه درجه معادلې (یوه لومړی مطابقت غواړي) او د دوو مجهولو x او y دوه معادلو سیستم.
- د ساین، کوساین، تانجنت قانون او فضایي مسایلپه مقیاس رسم شوي مثلثات د د ساین قانون، د کوساین قانون او د تانجنت قانون په مرسته حل کړئ، بیا له قایمالزاویه مثلثاتو کار واخلئ څو په مکعب مستطیل کې یوه زاویه پیدا کړئ.
- د مثلث مساحت: ساین، هیرون او دایرېد مثلث مساحت له دوو ضلعو او د هغوی ترمنځ زاویې یا له درېیو ضلعو د هیرون په فورمول پیدا کړئ، بیا د مساحت په مرسته د مثلث د دننه او بهر د دایرې شعاع حساب کړئ.
- تانژانت: نمودار، دامنه و دورهٔ تناوبنمودار y = tan x را بخوان: علامتش در هر ربع، جاهایی که تعریف نشده است، دورهٔ تناوبش و جوابهای معادلهٔ tan x = ۱.
- زوج و فرد بودن و فرمولهای کاهش زاویهکشف کن که سینوس، تانژانت و کتانژانت فردند و کسینوس زوج است، بعد قاعدهٔ تبدیل را به کار ببر: چه وقت نام تابع عوض میشود و علامت چیست.
- ویژگیهای تابعهای مثلثاتیویژگیهای سینوس، کسینوس و کتانژانت را از روی نمودارشان بخوان: دوره، زوج یا فرد بودن، ریشهها، بازههای نزولی، دامنه و برد.
- جواب کلی معادلههای مثلثاتیخط y = b نمودار سینوس، کسینوس یا تانژانت را در بینهایت نقطه قطع میکند. همهٔ جوابها را با یک فرمول و n ∈ ℤ بنویس و در معادلهای که به درجهٔ دوم میرسد، ریشهای را که نمیشود کنار بگذار.
- سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه از ۰ تا ۱۸۰ درجهسینوس و کسینوس را با مختصات یک نقطه روی نیمدایرهٔ یکه تعریف کن، مقدار آنها را برای زاویههای باز پیدا کن و از رابطهٔ sin²α + cos²α = 1 استفاده کن.
- حل مثلثمثلث را در چهار حالت حل کن: یک ضلع و دو زاویه، دو ضلع و زاویهٔ بین آنها، سه ضلع، و دو ضلع با زاویهٔ مقابل یکی از آنها.
- نتیجههای قضیهٔ کسینوسهانوع مثلث (تند، قائم یا باز) را از بزرگترین ضلعش پیدا کن، مجموع مربعهای دو قطر متوازیالاضلاع را حساب کن و یک مسئله دربارهٔ ضلعهای AB و BC حل کن.
- کتانژانت، اتحاد مثلثاتی و حل مثلث قائمالزاویهکتانژانت و اتحاد اصلی مثلثاتی را یاد بگیر، مثلث قائمالزاویه را از روی وتر و یک زاویه یا از روی دو ضلع قائم حل کن و مسئلههای کاربردی را حل کن.
احصائیه او ګراف
- د ډیټا راټولول، د شمېرنې کرښې او تصویري ګرافد ټولګي له زده کوونکو وپوښتئ، په کرښو یې وشمېرئ او تصویري ګراف رسم کړئ.
- میله یي ګراف او د منکسرې کرښې ګرافله جدول څخه میلهیي ګراف او د منکسرې کرښې ګراف رسم کړئ، ویې لولئ او د هرې پوښتنې لپاره مناسب ګراف وټاکئ.
- چوبخط، جمع و تفریق با چوبخط و نمودار تصویری دهتاییچیزها را دستهبندی کن و با چوبخط بشمار، با چوبخط جمع و تفریق کن، و نمودار تصویری بکش که هر تصویر ۱۰ تاست.
- دایروي ګراف او اوسطدایروي ګراف رنګ کړئ او ویې لولئ، ستونونه برابر کړئ چې اوسط ومومئ، او د ډیټا ډولونه وپېژنئ.
- موډ، میانه، اوسط او د تحول ساحهد ډیټا کارتونه ترتیب کړئ چې میانه ومومئ، موډ او د تحول ساحه له ټکيلرونکي ګراف څخه ولولئ، وګورئ چې کله یو قیمت بدلېږي اوسط څنګه خوځېږي، او غوره مرکزي مقیاس وټاکئ.
- لرې پرته ډیټا او د ډیټا د دوو ټولګو پرتلهد دوو ټولګیو جوړه ټوپونه د یو مرکزي مقیاس او د تحول ساحې په مرسته پرتله کړئ، یو قیمت ډېر لرې یوسئ او وګورئ چې اوسط، میانه او د تحول ساحه څه کوي، او پرېکړه وکړئ چې یوه لرې پرته ډیټا تېروتنه ده که ریښتینې.
- د ډیټا دسته بندي، مستطیلي ګراف او د فریکونسي څو ضلعي ګرافد زدهکوونکو قدونه په مساوي اوږدوالي دستو کې کېږدئ، د کثرت او نسبي کثرت جدول بشپړ کړئ، داسې مستطیلي ګراف رسم کړئ چې مستطیلونه یې یو له بل سره نښتي وي، او د دستو منځونه سره وصل کړئ.
- د دستهبندي شوې ډیټا اوسط او ډله ییز کثرتد «د دستې منځ × کثرت» ستون په مرسته د دستهبندي شوې ډیټا اوسط ومومئ، د دوو ټولګیو اوسط سم سره یو ځای کړئ، د تجمعي کثرت ستون او ګراف یې جوړ کړئ او میانه له ګراف څخه ولولئ.
- دوه متحوله ډیټا او د تیتوالي ګرافد ډیټا جوړې رسم کړئ، د ډیټا ډول ووایئ، پیوستون تشریح کړئ، تر ټولو مناسبه کرښه وکاږئ، پرې وړاندوینه وکړئ او پیوستون د علت او معلول له اړیکې جلا کړئ.
- ټولنه او نمونه، تصادفي نمونه او د معلوماتو د راټولولو طریقېد یوه ښوونځي له ۶۰۰ زدهکوونکو څخه ۱۰ کسیزه او ۵۰ کسیزه تصادفي نمونه واخلئ او پایله یې له ټول ښوونځي سره پرتله کړئ. یو اړخیزه نمونه پیدا کړئ او د هرې پوښتنې لپاره د معلوماتو د راټولولو مناسبه طریقه وټاکئ.
- بشپړوونکی: د انحراف اوسطد هر ټکي واټن تر اوسط پورې وګورئ، د دغو واټنونو اوسط پیدا کړئ، پوه شئ چې ولې د علامه لرونکو توپیرونو مجموعه تل صفر ده، او د ډیټا دوې ټولګې د هغو د خپرېدو له مخې پرتله کړئ.
- ربعي او صندوقچه یي ګرافترتیب شوې ډیټا په څلورو برخو وویشئ، Q₁ او Q₃ ومومئ، د صندوقچه یي ګراف پنځه شمېرې په ګراف کې وښایاست او د ډیټا منځنۍ نیمایي د ربعي ګانو تر منځ واټن سره اندازه کړئ.
- واریانس، معیاري انحراف او د تغییراتو ضریبخپرېدنه د اوسط څخه د واټنونو په مربع اندازه کړئ: واریانس، معیاري انحراف او د تغییراتو ضریب چې د ډیټا خپرېدنه د مختلفو واحدونو سره پرتله کړي.
- د ډیټا شکل او نورمال منحنید مستطیلي ګراف شکل ولولئ (متناظر که کوږ)، وګورئ چې کوږوالی اوسط له میانې څخه څنګه لرې کوي او د زنګولهییزې ډیټا لپاره د ۶۸–۹۵–۹۹,۷ قاعده وکاروئ.
- پیوستون او د ریګرېشن کرښهد پیوستون ځواک له r څخه ولولئ، اوسط ټکی ومومئ، د ریګرېشن کرښه په میل او د محور له پرې کولو سره جوړه کړئ او د موجودې ډیټا دننه وړاندوینه وکړئ.
- د ساقې او پاڼې ګراف او زمانی لړۍډیټا د ساقې او پاڼې په ګراف کې ولیکئ او ولولئ، بیا یوه زمانی لړۍ د کرښیز ګراف په بڼه رسم کړئ او په متحرک اوسط یې همواره کړئ.
- نابرابرې ډلې او د دوو متحولو ډیټاد مستطیلي ګراف د مختلفو پلنو ډلو سره د فریکونسي کثافت په مرسته رسم کړئ، فریکونسي له میلې لولئ او د یوې ډلې دوه متحولونه په یو ګراف کې ولولئ.
- خط فقر، شاخص قیمت و تورمخط فقر را از میانهٔ درآمدها پیدا کن، شاخص قیمت کالاها را حساب کن و ببین تورم چه تأثیری دارد.
- روند، درونیابی و برونیابیالگو و روند یک سری زمانی را بخوان، مقدار بین دادهٔ ثبتشده را با درونیابی و مقدار بعد از آن را با برونیابی تخمین بزن.
- جمعآوری داده، مقیاس و نمودار خط شکستهجوابهای یک نظرسنجی را با چوبخط جدول کن، برای محور نمودار مقیاس مناسب انتخاب کن و نمودار دمای ۱۲ ماه را بخوان و تفسیر کن.
- درصد در آمار و احتمالنتیجهٔ یک نظرسنجی را به درصد بنویس، از زاویهٔ قطاع دایره درصد را پیدا کن، دایرهٔ درصدی بکش و احتمال را به صورت درصد بنویس.
- انواع متغیر، گردآوری داده و برآوردمتغیر کیفی و کمّی، گسسته و پیوسته را از هم جدا کن، نمونهٔ طبقهای بگیر، پرسشنامهٔ بیطرف را پیدا کن و میانگین جامعه را از روی نمونه اټکل کن.
- جدول دادهها: خواندن و پر کردنیک جدول ساده را بخوان، بزرگترین مقدار را پیدا کن، اختلاف را حساب کن و جدول را از دادهها پر کن.
- دستهبندی بر اساس ویژگیچیزها را بر اساس رنگ و شکل دستهبندی کن، تعداد هر دسته را بشمار و بزرگترین دسته را پیدا کن.
احتمال
- احتمال: خامخا، شونی، ناشونیله کڅوړې توپونه وباسئ، څرخک وڅرخوئ او د رمل دانه واچوئ. ووایاست چې هره پېښه خامخا ده، شونې ده که ناشونې.
- تجربي احتمال او نظري احتمالڅرخک وڅرخوئ، د بوتل سرپوښ واچوئ او د رمل دانه واچوئ: ۱۰ ځله، ۱۰۰ ځله، ۱۰۰۰ ځله. وګورئ چې نسبي کثرت ورو ورو احتمال ته نږدې کېږي.
- د نمونې فضا، مرکبې پېښې او مکمله پېښهد یوې سکې او یو څرخک، دوو سکو او دوو رمل دانو ټول حالتونه وشمېرئ. مطلوب حالتونه په ۶ په ۶ جدول کې پیدا کړئ او د «نه پېښېدو» احتمال د «پېښېدو» له احتمال څخه لاسته راوړئ.
- د وین دیاګرام، پېښې او دوه اړخیز جدولد یوه ټولګي ۳۰ زده کوونکي د فوټبال او شطرنج له مخې په د وین دیاګرام کې ځای پر ځای کړئ، همغه معلومات دوه اړخیز جدول ته یوسئ او بېرته یې راوړئ، پېښه د سټ په څېر وګورئ او د «یا» احتمال د جمع د قاعدې سره حساب کړئ.
- ونه ییز دیاګرام، د شمېرلو اصول او مستقلې پېښېونه ییز دیاګرام وده ورکړئ چې د جامو جوړې او د سیالۍ پایلې وشمېرئ، احتمالونه پر څانګو ولیکئ، د هرې لارې په اوږدو کې ضرب کړئ، لارې سره جمع کړئ او وګورئ چې کله مهره بېرته نه اچول کېږي څه بدلېږي.
- د احتمال قاعدې، دوامداره حالتونه او تمه شوې شمېرد هغو پایلو احتمالونه جمع کړئ چې یوځای نه پېښېږي، پیدا کړئ کومې لستونه احتمالونه کېدای شي، احتمال د اوږدوالي د برخې په توګه حساب کړئ او وړاندوینه وکړئ څو ځله پېښېږي.
- مشروط احتمالد جدول، وین دیاګرام او ونې په مرسته د یوې پېښې احتمال حساب کړئ کله چې بله مخکې پېژنئ، وګورئ ولې د «په شرط» ترتیب مهم دی او له تړلو پېښو سره آشنا شئ.
- خپلواکې پېښې او ټول احتمالپه یوه جدول وازمویئ چې دوې پېښې خپلواکې دي که نه، وګورئ ولې هغه پېښې چې یوځای نه پېښېږي خپلواکې نه دي، او د ونې لارې جمع کړئ چې د هغې پایلې احتمال پیدا کړئ چې له څو لارو نه راځي.
- تصادفي متحول او تمه شوې ارزښتد دوو تاسونو هرې پایلې ته یو عدد ورکړئ، د هغه عدد د ارزښتونو احتمال پیدا کړئ، د یوه تاس اوسط حساب کړئ او پرېکړه وکړئ چې یوه لوبه په هره اچونه کې څومره ارزښت لري.
- احتمال غیرهمشانس و قانون بیزبرای حالتهایی که شانس برابر ندارند، به هر حالت یک وزن بده و جمع بزن. بعد درخت را برعکس بخوان: وقتی پیچ معیوب پیدا شد، از کدام ماشین بوده است؟
- دوه جملهیي او پواسن توزیعد ونې هغه لارې وشمېرئ چې دقیقاً k بریالیتوبونه لري، وګورئ د دوه جملهیي فورمول له کومه راځي او د هغو پېښو لپاره چې تصادفي رسېږي د پواسن فورمول وکاروئ.
- نورمال توزیع او معیاري نمرهله اوسط نه واټن د معیاري انحراف په حساب پر یوې عددي کرښه وښیئ، د ۶۸–۹۵–۹۹,۷ قاعده وکاروئ، معیاري نمره حساب کړئ او د یوې لکۍ احتمال پیدا کړئ.
- د نمونې اوسط، د نمونې نسبت او د مرکزي حد قضیهوګورئ د نمونو اوسط له یوازیني ارزښتونو نه ډېر لږ خپور دی، د اوسط او نسبت معیاري تېروتنه حساب کړئ او د مرکزي حد په قضیې یو احتمال پیدا کړئ.
- احتمال و ترکیباحتمال یک پیشامد را با رابطهٔ P(A) = m ÷ n پیدا کن، وقتی حالتها را با ترکیب C(n, k) و جایگشت P(n, k) میشماریم.
سټ او منطق
- سټونه: عنصر، فرعي سټ، اتحاد، تقاطع او مکملهد عددونو کارتونه د وین د دیاګرام په دایرو کې کېږدئ، سټ د {} قوسونو سره ولیکئ، اتحاد، تقاطع او تفاضل رنګ کړئ او د دیاګرام په مرسته وشمېرئ.
- ترتیبونه او ډلې: ترتیب او ترکیبد حالتونو ونه وده ورکړئ او وشمېرئ څوک کولای شي لومړی او دویم شي، ملګري په یوه کتار کې ودروئ او وګورئ ولې د خلکو یوه ډله له یوه ترتیب نه لږ شمېرل کېږي.
- د بېنوم قضیه او د پاسکال مثلث(a + b)³ درې قوسونه وګورئ او هغه لارې وشمېرئ چې هر جمله جوړوي، ضریبونه د پاسکال له مثلث نه ولولئ او د عددونو لرونکو پراختیاوو لپاره یې وکاروئ.
- پرته له دوه ځلې شمېرلو شمېرل او د کبوتر او ځال اصلد دوو کلبونو زده کوونکي وشمېرئ پرته له دې چې هغه څوک چې په دواړو کې دي دوه ځلې وشمېرئ، د ۲ یا ۳ مضربونه وشمېرئ او د کبوتر او ځال په اصل ډاډه شئ چې دوه شیان په یوه بکس کې راځي.
- گزارهنما، زیرمجموعهها و قوانین مجموعههاگزاره و گزارهنما را از هم جدا کن، مجموعهٔ جواب یک گزارهنما را بساز، تعداد زیرمجموعهها را بشمار و قوانین توزیعپذیری و جذب را روی نمودار ون هاشور بزن.
- بیانونه، «او»، «یا»، «نه» او «که … نو …»وټاکئ کومې جملې بیانونه دي، «او»، «یا» او «نه» سم وکاروئ، د «که … نو …» ژمنه وازمویئ او عکسنقیض ومومئ.
- سورونه، معتبر استدلال او د دموارګان قوانین«ټول» نفي کړئ، «د ۶ هر مضرب د ۳ مضرب دی» رسم کړئ، معتبر استدلال له نامعتبر نه جلا کړئ او د دموارګان قوانین پر سیټونو وکاروئ.
- ثبوت: مستقیم، حالتونه، خلف او استقراپه الجبر ثابت کړئ چې د دوو طاقو عددونو مجموعه جفته ده، یو ادعا په حالتونو وېشلو وازمویئ، په برهان خلف ثابت کړئ چې تر ټولو لوی جفت عدد نشته او د طاقو عددونو لپاره د استقرا ګام واخلئ.
- مرتبې جوړې، رابطه او معادل رابطهA × B په ټکو وښایاست، یوه رابطه غوره کړئ، هغه معکوس کړئ ترڅو معکوسه رابطه ومومئ او وګورئ «یو شان پاتې» ولې معادل رابطه ده.
- شمارش با تکرار: جایگشت با تکرار، گروهبندی و ستاره و خطتیلههای همرنگ را در یک ردیف بچین، رمزهایی با رقم تکراری بشمار، دانشآموزان را در اتاقها تقسیم کن و تعداد انتخابهای گل از چند نوع را با ستاره و خط پیدا کن.
- نمایش مجموعه با نماد ریاضی و مجموعههای نامتناهیمجموعههای ℕ و ℤ و ℚ و ℝ را بشناس، اعضای مجموعهای را از روی شرطش بنویس، شرط یک مجموعه را بنویس و ببین چرا عددهای زوج و طبیعی «هماندازه»اند.
- ضریبهای دوجملهای، مثلث خیام–پاسکال و اثبات با شمارشگروههایی از دوستانت را به دو دسته تقسیم کن، قاعدهٔ مثلث خیام–پاسکال را با شمارش ثابت کن و ببین چرا مجموع هر ردیف توانی از ۲ است.
- گراف: رأس، یال و درجهگراف را بخوان: درجهٔ رأسها را پیدا کن، مجموع درجهها را با تعداد یالها مقایسه کن و ببین چرا گاهی یک گراف ممکن نیست.
- گراف: مجموعهٔ احاطهگرایستگاهها را طوری بگذار که همهٔ نقطههای نقشه پوشش داده شوند و کمترین تعداد لازم، یعنی عدد احاطهگری گراف، را پیدا کن.
- اصل جمع و ضرب، جایگشت و ترکیباصل جمع را از اصل ضرب تشخیص بده، فرمولهای جایگشت n شیء، جایگشت r تایی و ترکیب را به کار ببر و معادلهای با فاکتوریل حل کن.
- مسئلههای شمارشی: فهرستکردن، نمودار درختی و اصل ضربهمهٔ حالتهای قرار گرفتن سه دختر در طبقهها را پیدا کن، نمودار درختی حالتها را بساز و بفهم چرا تعداد حالتها با ضرب به دست میآید.
- اصل جمع و اصل ضرببه چند روش میشود «الف یا ب» و «الف و ب» را انتخاب کرد؟ اصل جمع، اصل ضرب، زوجهای (a, b)، نقشهٔ راهها و مسئلههای رقمها.
مختلط عددونه
- مختلط عددونه: i، جمع، ضرب او وېشله i سره، چې i² = −۱ دی، آشنا شئ، مختلط عددونه په مستوي کې د ټکو په توګه سره جمع کړئ، د قوسونو په څېر یې ضرب کړئ او په مزدوج یې وېشئ.
- د مختلطو ریښو سره دویمه درجه معادلې او پولینومونهوګورئ چې x² + ۴x + ۱۳ = ۰ ولې حقیقي ریښې نه لري، هغه معادلې حل کړئ چې ریښې یې مختلط وي، ریښې په مستوي کې کېږدئ او د دریمې درجې معادلې ورکه ریښه ومومئ.
- د آرګند ډیاګرام: مطلقه اندازه، زاویه او ګرځولمختلط عددونه د آرګند په ډیاګرام کې د ټکو په توګه وګورئ، مطلقه اندازه او زاویه یې ومومئ، د حقیقي محور په نسبت یې عکس کړئ او په ګرځولو او غځولو یې ضرب کړئ.
- په آرګند ډیاګرام کې طاقتونه، ریښې او دایرېله e(iθ) نه د واحد دایرې د ټکي په توګه کار واخلئ، په دموآور قضیه طاقت ورکړئ، د یو عدد څلور ریښې د مربع په توګه کېږدئ او په |z − c| = r دایره رسم کړئ.
ماتریسونه
- متریکس: مرتبه، عنصرونه او ځانګړي ډولونهمتریکس د جدول په څېر ولولئ: عنصر د سطر او ستون په مرسته ومومئ، مرتبه ووایاست او صفر، واحد او قطري متریکسونه جوړ کړئ.
- د متریکسونو جمع، سکالر ضرب، ضرب او ترانسپوزهممرتبې متریکسونه جمع او تفریق کړئ، په یوه سکالر کې ضرب کړئ، سطر په ستون کې ضرب کړئ او سطرونه ستونونه کړئ.
- دیترمینانتد ۲ × ۲ او ۳ × ۳ دیترمینانت حساب کړئ، وګورئ چې د سطرونو ځای بدلول څه کوي او دیترمینانت مساحتونه څنګه بدلوي.
- د متریکس معکوس او د سیستم حلد ۲ × ۲ متریکس معکوس د دیترمینانت په مرسته ومومئ، ۳ × ۳ معکوس د سطري عملیو په مرسته ومومئ او په هغه سیستم حل کړئ.
- د کرامر قاعده او د ګاوس د حذف طریقهسیستم په دیترمینانت (کرامر) حل کړئ، بیا په سطري عملیو (ګاوس) او وګورئ چې صفر دیترمینانت څنګه موازي کرښې ورکوي.
- متریکس د بدلون په توګهمتریکس د مستوي ټکي حرکت ورکوي: پر یوه ټکي یې ترسره کړئ، د i او j له انځور نه یې جوړ کړئ او ثابت ټکي یې ومومئ.
کلکولس (تفاضلي او انتګرالي حساب)
- لېمیټ: یو عدد ته نژدې کېدلد هغه تابع د قیمتونو جدول چې په یوه نقطه کې تعریف شوی نه دی، همدې نقطې ته نژدې ډک کړئ، لېمیټ له ګراف نه ولولئ او وګورئ ولې د کیڼې او ښي خوا لېمیټ باید سره مساوي وي.
- د لېمیټ محاسبه: خواص، صفر پر صفر او سایند جمع او ضرب لېمیټ له ګرافونو نه حساب کړئ، د صفر پر صفر مبهم شکل په تجزیې او ساده کولو خلاص کړئ او د ساین لېمیټ وپیژنئ.
- لایتناهي لېمیټ او په لایتناهي کې لېمیټوګورئ ولې ۱x۲ د صفر شاوخوا لوی کېږي، افقي مجانب رسم کړئ، او د ∞ ÷ ∞ او ∞ − ∞ مبهم شکلونه خلاص کړئ.
- متمادیت او د بدلون سرعتوګورئ کله ګراف پرته له قلم پورته کولو رسمولی شو، د متمادي کېدو لپاره k پیدا کړئ او اوسط د بدلون سرعت ورو ورو د شېبې سرعت ته نژدې کړئ.
- له قاطع نه تر مماس: د مشتق تعریفټکی Q په ګراف کې P ته نژدې کړئ، د قاطع کرښې میل په جدول کې وګورئ چې د مماس میل ته رسیږي، مماس رسم کړئ او پوه شئ ولې په یوه کونج کې مشتق نشته.
- د مشتق قوانیند توان، ضرب، تقسیم او مرکب تابع د مشتق قاعدې په یوه نقطه کې په عدد وازمویئ او په ګراف کې د مماس او عمود سره وڅېړئ.
- د ساین، ایکسپونینشل، لوګاریتم او معکوسو توابعو مشتقد sin x مشتق د صفر شاوخوا وکتل، پر ex مماس رسم کړئ، د ln x د ex د عکس په مرسته مشتق یې پیدا کړئ او د معکوس تابع قاعده arctan ته ورسوئ.
- ضمني، پارامتري، دویمه درجه مشتق او تړلي سرعتونهد دایرې میل په یوه نقطه کې د ضمني مشتق په مرسته پیدا کړئ، د پارامتري منحني میل حساب کړئ، دویم مشتق واخلئ او پوه شئ چې د ضلع بدلون د مساحت بدلون څنګه جوړوي.
- معادلهٔ خط مماس و بیشترین و کمترین مقدار تابع در یک بازهمعادلهٔ خط مماس را با y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) بنویس، مماس موازی یک خط و مماس گذرنده از نقطهای خارج از منحنی را پیدا کن، بعد بیشترین و کمترین مقدار تابع را در [a,b] پیدا کن.
- د مشتق نخښه او د ګراف بڼهد f′(x) په نخښې متزایده تابع او متناقصه تابع ځایونه ومومئ، د ګراف پر مخ بحراني ټکي (اعظمي او اصغري) کېږدئ، د انعطاف ټکی د f″(x) په مرسته ومومئ او اعظمي قیمت حساب کړئ.
- د رول قضیه، د هوپیتال قاعده او د مکلورن لړۍهغه ټکی ومومئ چې مماس کرښه یې افقي ده، د منځنۍ قیمت د قضیې ټکی حساب کړئ، د ۰/۰ ډوله لېمیټ په مشتق ونیسئ او د cosh(x) د مکلورن لړۍ ضریب ومومئ.
- د مساحت اټکل، د ریمان مجموعه او د ذوزنقې قاعدهد y = x۲ لاندې مساحت په نري مستطیلونو او ذوزنقو اټکل کړئ او وګورئ چې کله پټۍ نرۍ شي، اټکلونه کوم عدد ته نږدې کېږي.
- له لومړني تابع څخه تر معین انتیګرال پورېلومړنی تابع ومومئ او وګورئ چې ولې +C په کار دی، معین انتیګرال په F(b) − F(a) حساب کړئ، د تابع اوسط ومومئ او له ۱x انتیګرال سره آشنا شئ.
- د انتیګرال نیولو طریقېمتحول او د انتیګرال سرونه یو ځای وبدلوئ، په قسمي طریقې انتیګرال ونیسئ، کسر په قسمي کسرونو ووېشئ، مثلثاتي تعویض وټاکئ او پرېکړه وکړئ چې غیرحقیقي (ناسم) انتیګرال قیمت لري که نه.
- په انتیګرال د مساحت، حجم او د قوس اوږدوالي حسابپه معین انتیګرال سره د یوې منحني لاندې او د دوو منحنیو ترمنځ مساحت، د دورانی جسم حجم، د قوس اوږدوالی او د قطبي ساحې مساحت حساب کړئ.
- دیفرانسیلي معادلېد بدلون یوه سرعت د دیفرانسیلي معادلې په بڼه ولیکئ، د y = Cekx حل په ګراف کې ومومئ او یوه جلا کېدونکې معادله په ابتدايي شرط سره حل کړئ.
- د ګراف رسمول او اعظمي قیمتد یو ګراف مجانبونه او مهم ټکي ومومئ او د اعظمي قیمت په مرسته داسې مسئلې حل کړئ لکه تر ټولو لویه مساحت او تر ټولو لوی حجم.
- برنامهٔ بررسی تابع و رسم نمودارتابع را طبق برنامه بررسی کن: دامنه، زوج یا فرد بودن، ریشهها، صعودی و نزولی بودن، نقطههای اکستریمم؛ بعد نقطههای کلیدی نمودار را مشخص کن.
- نمودار علامت مشتق و جهت تابعاز روی علامت مشتق در هر بازه با پیکان نشان بده تابع کجا صعودی ↗ و کجا نزولی ↘ است و نقطههای اکستریمم را پیدا کن.
د مسئلې د حل لارې
- د مسایلو حل: شکل رسمولمسئله ولولئ. ووایئ چې څه پوهېږئ او څه غواړئ. شکل یې رسم کړئ او ځواب پیدا کړئ.
- د مسایلو حل: د خونې سره عددي جملهمسئله په یوه عددي جمله بدله کړئ. د هغه عدد پر ځای چې نه یې پېژنئ یوه خونه □ کېږدئ او پیدا یې کړئ.
- د مسایلو حل: منظم لیکل، الګو موندل، حالتونه لرې کول، اټکل او امتحاند مسئلې د حل څلور لارې: ټول حالتونه په ترتیب ولیکئ، الګو پیدا کړئ، ناشوني حالتونه کرښه کړئ، او اټکل وکړئ او امتحان یې کړئ.
- د مسایلو حل: پړاو په پړاو مسئلې، اسانه مسئله او منظم لېستلویه مسئله په څو پړاوونو ووېشئ، لومړی یوه اسانه مسئله حل کړئ، ټول حالتونه په ترتیب ولیکئ، او پخپله د حل طریقه وټاکئ.
- د مسایلو حل: راهبردها با مسئلههای هفتمفهرست منظم، زیرمسئله و مسئلهٔ سادهتر را با مسئلههای پولی و عددهای بزرگتر تمرین کن.
- د مسایلو حل: مسئلهٔ سود و اطلاعات کافیسود فروشنده را در جدول پیدا کن، و ببین کدام عددهای مسئله لازماند و کدام نه، یا یک عدد کم است.
- مسئله: نوشتهٔ کوتاه و حلدادهها را کوتاه بنویس، تساوی بساز، مسئله را در یک یا دو قدم حل کن و جواب را بنویس.
- مسئلهها: چند برابر، چند تا بیشتر، مسئلهٔ معکوسیک عدد را چند برابر کن، با «چند برابر» مقایسه کن، مسئلههای غیرمستقیم و معکوس را حل کن.
- مسئلههای جدولی: قیمت، تعداد، هزینهیادداشت کوتاه را به شکل جدول «قیمت، تعداد، هزینه» بنویس و مسئلههای مجموع، تفاضل و نسبت دو حاصلضرب را حل کن.
- مسئلههای چندمرحلهایمسئلهٔ ساده و چندمرحلهای را از هم تشخیص بده و حل را مرحلهبهمرحله و به صورت یک عبارت با پرانتز بنویس.
- مسئلههای چندمرحلهای با ضرب و تقسیممسئلههای چندمرحلهای را حل کن: باقیمانده، جمع و تفاضل حاصلضربها و چند برابر بیشتر یا کمتر.
- دو مسئله را مقایسه کن: چه چیزی عوض شد؟دو مسئلهٔ مشابه را کنار هم بگذار، پیشبینی کن راه حل چه میشود و مسئلهٔ تغییریافته را حل کن.