Бином Ньютона для любого показателя: приближённые вычисления
Используй первые члены разложения бинома, чтобы приближённо вычислять корни и числа, обратные числам, близким к 1.
- Великобритания: Year 13
- Афганистан: 11 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе этой темы нет, но к ней можно прийти из 11 класса: бином Ньютона для натурального показателя изучают в углублённом курсе, а разложение для любого показателя относится к высшей школе. Для натуральных показателей разложение известно: (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3. Та же формула работает и для дробного или отрицательного показателя n, но тогда она никогда не заканчивается.
(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)2!x2 + …. Когда x мало, x2 гораздо меньше x, поэтому нескольких первых членов хватает для близкого ответа.
Пример: √1,04 = (1 + 0,04)12 ≈ 1 + 0,042 = 1,02. Всего два члена, а ответ очень точный.
Правило: если n не целое число, разложение верно только при |x| < 1. Отметь приближённое значение на увеличенной числовой прямой, впиши коэффициент и изобрази, где разложение верно.