Степени, корни и окружности на комплексной плоскости
Пользуйся e^{iθ} как точкой единичной окружности, возводи числа в степень по формуле Муавра, находи четыре корня числа как вершины квадрата и строй окружность по условию |z − c| = r.
- Россия: 11 класс
- Франция: 12 класс
- Великобритания: Year 12
- Сирия: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе эта тема есть только на углублённом уровне, в 11 классе («Формула Муавра; корни n-й степени из комплексного числа»); она продолжает тригонометрию 10 класса и учит видеть комплексные числа геометрически. Число eiθ — это точка единичной окружности, которая лежит под углом θ: eiθ = cosθ + isinθ. Число с модулем r и аргументом θ записывают reiθ. Полуоборот — это π радиан, поэтому eiπ = −1.
Формула Муавра: чтобы возвести число в степень n, возведи его модуль в степень n и умножь аргумент на n. Все n корней числа имеют одинаковый модуль, а их аргументы отличаются на 360° : n, так что корни — вершины правильного многоугольника. Корни уравнения zn = 1 называют корнями из единицы, и они лежат на единичной окружности.
Расстояние от z до заданной точки c равно |z − c|. Поэтому |z − c| = r — это окружность с центром c и радиусом r.